专题14 函数的概念与性质（能力测评卷）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

章末检测（一)  集合与常用逻辑用语  能力卷

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是(　　)

A．y＝x＋1     B．y＝－x3      C．y＝    D．y＝x|x|

【答案】D

【解析】选项A中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项B中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意；选项C中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意；选项D中，如图所示：函数为奇函数，且在R上为增函数，符合题意．故选D.

2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列结论正确的是(　　)

A．y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)           B．y＝f(x)在其定义域上为减函数

C．y＝f(x)是偶函数                     D．y＝f(x)是奇函数

【答案】B

【解析】设幂函数f(x)＝xn，点代入得，2n＝，解得n＝－，∴f(x)＝x－，根据幂函数的性质可得，选项B正确．

3．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(0,1)      B．[0,1]    C．(－∞，0]∪[1，＋∞)    D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

【答案】D

【解析】：由题意知：x2－x>0，解得x<0或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．

4．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋1，则f(10)＝(　　)

A．30     B．19    C．6     D．20

【答案】B

【解析】令x＝3得f(10)＝32＋3×3＋1＝19.

5．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]  B．(－∞，－1)    C．[1，＋∞)  D．(－∞，1)

【答案】A

【解析】由于f(x)＝|x＋a|的零点是x＝－a，且在直线x＝－a两侧左减右增，要使函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则－a≥－1，解得a≤1.故选A.

6．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：

若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为(　　)

A．475度     B．575度    C．595.25度      D．603.75度

【答案】D

【解析】不超过230度的部分费用为：230×0.5＝115；超过230度但不超过400度的部分费用为：(400－230)×0.6＝102,115＋102<380；设超过400度的部分为x，则0.8x＋115＋102＝380，∴x＝203.75，故用电603.75度．

7．已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)

A．[0,1]     B．[1,2]    C．[0,2]     D．[2,4]

【答案】D

【解析】∵函数f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5.又f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2,4]，故选D.

8．已知定义域为R的函数y＝f(x)在(0,4)上是减函数，又y＝f(x＋4)是偶函数，则(　　)

A．f(2)<f(5)<f(7)  B．f(5)<f(2)<f(7)

C．f(7)<f(2)<f(5)  D．f(7)<f(5)<f(2)

【答案】B

【解析】因为y＝f(x＋4)是偶函数，所以f(x＋4)＝f(－x＋4)，因此f(5)＝f(3)，f(7)＝f(1)，因为y＝f(x)在(0,4)上是减函数，所以f(3)<f(2)<f(1)，f(5)<f(2)<f(7)，选B.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为(　　)

A．－1     B．1     C．2    D．3

【答案】BD

【解析】当α＝－1时，幂函数y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A不符合；当α＝1时，幂函数y＝x，符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选BD.

10．某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列五种说法中正确的是(　　)

A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢

B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢

C．第三年后，这种产品停止生产

D．第三年后，年产量保持不变

【答案】AC

【解析】由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误；在[3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D错误，故选AC.

11．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)

A．f(－3.9)＝f(4.1)

B．函数f(x)的最大值为1

C．函数f(x)的最小值为0

D．方程f(x)－＝0有无数个根

【答案】ACD

【解析】f(－3.9)＝(－3.9)－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1<[x]≤x，因此0≤x－[x]<1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错，C正确；方程f(x)－＝0的解为x＝k＋(k∈Z)，D正确，故选ACD.

12．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的值可能是(　　)

A．2     B．3    C．4    D．5

【答案】ABC

【解析】函数y＝x2－4x－4的部分图象如图，f(0)＝f(4)＝－4，f(2)＝－8.因为函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，所以m的取值范围是[2,4]，故选ABC.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．若函数f(x)＝在[－1,1]上是奇函数，则f(x)的解析式为________．

【答案】f(x)＝

【解析】∵f(x)在[－1,1]上是奇函数，

∴f(0)＝0，∴a＝0，

∴f(x)＝，又f(－1)＝－f(1)，∴，解得b＝0，∴f(x)＝.

14．（2020·黑龙江高二期末（文））已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.

【答案】2

【解析】由题意可知，解得，故答案为：

15．（2020·江苏泰州�高三三模）若定义在上的奇函数满足，，则的值为_______．

【答案】

【解析】由于定义在上的奇函数满足，则该函数是周期为的周期函数，且，则，，，

又，，则，因此，.

16.（2020·重庆市南坪中学校高一期中）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，.则函数__________；关于不等式的解集__________．

【答案】       

【解析】函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，

∴，，

又，…①

∴，

即，…②

由①②求得函数，.

易知是定义域上的单调增函数，

所以不等式可化为，

即，整理得，

解得或，

所以不等式的解集为，

故答案为，

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知函数f(x)＝－，

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)求f(－1), f(12)的值．

【解析】(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，

即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．

(2) .

f(12)＝＝.

18.(12分)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·xm－1为偶函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

【解析】(1)由题意得m2－5m＋7＝1，

即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3.

又f(x)为偶函数，所以m＝3，此时f(x)＝x2.

(2)由(1)知，g(x)＝x2－ax－3，因为g(x)＝x2－ax－3在[1,3]上不是单调函数，所以1<<3，解得2<a<6，即a的取值范围为(2,6)．

19．(12分)（2019·山东高一月考）已知函数，

(1)若该函数在区间上是减函数，求的取值范围.

(2)若，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．

【解析】（1）因为函数在区间上是减函数,
所以,解得,

所以的取值范围.
（2）当时，，则在和上单调递减，因为，所以在的最大值是，最小值是，

所以该函数在区间上的最大值为，最小值为．

20.（2019·河南高一月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．

（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象；

（2）求出函数f（x）（x＞0）的解析式；

（3）若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

【解析】函数f(x)的图象如下：

（2）因为f(x)为奇函数，则f(-x)=- f(x)当x时，

f(-x)=- f(x)=

故f(x)

（3）由（1）中图象可知：y=f(x)与y=a的图象恰好有三个不同的交点

<1

21．（2020·山东高一期末）已知函数.

（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

（2）当时，解关于x的不等式.

【解析】（1）由题意得，，且，

则.

由，得.于是，即

所以函数在区间上单调递增 

（2）原不等式可化为.因为，故.

（i）当,即时，得或.    

（ii）当,即时，得到,所以；

（iii）当，即时，得或. 

综上所述，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

22．（2020·浙江高一课时练习）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.

【解析】（1）由题意，当时，v(x)=100，

当时，设，则

解得：，

∴

（2）由题意，

当时，的最大值为

当时，，

的最大值为

∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.