辽宁省六校协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案

2021-2022学年度(上)高二年级省六校协作体期中考试

数学试卷

考试时间：120分钟 满分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知=(1，k，-2)，=(2k，2，4)，若⊥，则实数k的值为

A.-2     B.-1     C.2     D.1

2.直线l1：2x+y-1=0与直线l2：4x+2y+3+a(2x+y-1)=0(实数a为参数)的位置关系是

A.l1与l2相交     B.l1与l2平行

C.l1与l2重合     D.l1与l2的位置关系与a的取值有关

3.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=

A.2     B.1     C.     D.4

4.方程=1的对应曲线图形是

5.如图，在四面体D-ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列正确的是

A.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面ABD

D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

6.方程x2-xcosθ+sinθ=0的两个不等实根为m，n，那么过点A(m2，m)，B(n2，n)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是

A.相交      B.相切或相交      C.相切     D.与θ的大小有关

7.已知双曲线C：与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，C的左､右焦点分别为F1，F2。若k1k2=，且C的焦点到渐近线的距离为1，则

A.a=4

B.C的离心率为

C.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2

D.若△PF1F2的面积为2，则△PF1F2为钝角三角形

8.设F1、F2是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，若的最小值是，则m的值为

A.     B.     C.     D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知直线l：(t+2)x+(t-1)y+3=0，则下述正确的是

A.直线l的斜率可以等于0               B.直线l的斜率一直存在

C.直线t＝－0.5时直线的倾斜角为      D.点P(1，3)到直线l的最大距离为2

10.如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点。将△ADE沿DE折起，使A到A'，且平面ADE⊥平面BCDE，连接AB，AC。则下列结论中正确的是

A.BD⊥A'C                          B.四面体A'CDE的外接球表面积为8

C.BC与A'D所成角的余弦值为      D.直线A'B与平面A'CD所成角的正弦值为

11.在平面直角坐标系xoy中，已知点P(x0，y0)和曲线C：x2+my2=1，则对于直线l：x0x+my0y=1下列说法正确的是

A.若x0=，y0=，m=1，则直线l与曲线C没有交点

B.若x0=，y0=1，m=-1，则直线l与曲线C有二个交点

C.若x0=，y0=，m=则直线l与曲线C有一个交点

D.直线l与曲线C的位置关系和P在哪里无关

12.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是

A.离心率的取值范围为(0，)    B.当离心率为时，|QF1|+|QP|的最大值为4+

C.存在点Q使得=0     D.的最小值为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点P(1，1)和圆C：x2+y2-2mx+4y+m+6=0，若过点P作圆C的切线有两条，则实数m的取值范围是            。

14.对任意的实数，求点P(-2，2)到直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0的距离d的取值范围为            。

15.如图，在直角△ABC中，C=，BC=20，AB=40。现将其放置在平面α的上面，其中点A，B在平面α的同一侧，点C∈平面α，BC与平面α所成的角为，则点A到平面α的最大距离是            。

16.设P是椭圆+y2=上的任一点，EF为圆N：x2+(y-2)2=1的任一条直径，则的最大值为            。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知动点C与两个定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为。

(1)求动点C的轨迹方程T。

(2)若△ABC边BC的中点为D，求动点D的轨迹方程T。

18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，AA1=AB=AC=2。

(1)证明：DF⊥AE；

(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值。

19.已知圆C：x2+y2-4x-4y+4=0。

(1)若过点P(1，0)的直线l与圆C相交所得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)若Q是直线l'：3x+4y+6=0上的动点，QA，QB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形QACB面积的最小值。

20.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，AA1=AB，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥平面D1AC，设AB=2。

(1)求二面角E-AC-D1的大小。

(2)在线段D1E上是否存在一点P，使A1P//平面EAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

21.2021年9月下旬，中国海军为应对台湾海峡的局势，派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习。某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如下图A，B，C，且OA=OB=OC=3，假想敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默。

(1)建立适当的坐标系，并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程；

(2)在A，B两处舰艇对假想敌舰攻击后，C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最少是多少？

22.设实数k≠0，椭圆D：的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中为N，点O是坐标原点，直线ON交直线x=3于点M。

(1)若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；

(2)求证：MF⊥PQ；(3)求的最大值。

2021—2022学年度（上）高二年级省六校协作体期中考试答案

一、单项选择题：

 1．C   2．B    3．C   4．A    5．A    6．B    7．D     8.  B           

二、多项选择题：

9．AC     10．BCD   11．ABC   12．BD    

三、填空题：

13．      14．[0,4)             15．30       16．8

四、解答题：

17．（1）；（2）

设，由，则点的轨迹方程为………………………………………………………………5分.

由，则点的轨迹方程为，(或).

设，则，将代入

可得:，化简得:，(或).…………………………………………………………………10分（不抠点减2分）

18．（1）证明见解析；（2）．

（1）证明：在直三棱柱中，有，

又，，平面，又平面，．

，，

如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，．

设，则，，

，．………………………………………………6分

（2）当D为的中点时，，，，

设平面DEF的法向量为，则，即令得，，

易知平面ABC的法向量为，所以，

即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．………………………………6分

19．（1）或；（2）.

圆的方程化为标准式为:

（1）当斜率不存在时，代入圆方程得，弦长为，满足条件; …2分

当斜率存在时，设，即，圆心到直线的距离

解得:，  ………………………………………………………………………………  4分                

，

所以直线方程为或………………………………………………6分

（2）当时，四边形面积取得最小值，……………………………………………………………8分

.…………………………………………………12分

20．（1）；（2）存在，.

（1）连接，交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设，则，，.

∵平面，∴，，∴，∴，即，

∴，，

设平面的法向量为，由，得，令，则，

又平面的一个法向量为，

∴，由图知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的平面角的大小为；……………………………………………6分

（2）假设在线段上存在点满足题意，设，

得，

∵，，∴，

∴∵平面，∴，∴，∴，

∴存在点使平面，此时.……………………………………………12分

21．（1）；（2）

解：建立以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，
（1）设假想敌舰的位置，由题意可知，

由圆锥曲线的定义可知，该曲线是以，为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，

即，，，，

点的轨迹方程为：……………4分

（2）设方程上一点，由题意知， 即：………………………………………6分

故==

                     =，………………………………………10分

当时，．……………………………………………………12分

22．（1）；（2）证明见解析；（3）.

（1）因为点P的横坐标为1，由得P的坐标为或．F的坐标为．

当P的坐标为时，直线PQ：，即，

代入椭圆方程，，即，得Q的横坐标为.

当P的坐标为时，同样得Q的横坐标为.因此，点Q的横坐标为；………………………………………………………………………………………………………4分

（2）联立方程组，其解为，．

消去y，得，即．

由，所以N的横坐标为，

得N的纵坐标为，得N的坐标为．………6分

所以直线ON的斜率为，方程为，与直线交于点．

故直线FM的斜率为，于是，因此；…………………..…8分

（3）

．

令，由，得，

…………………….……10分

又，得．

即，所以的取值范围为，最大值为．……………12分