辽宁省六校协作体2022届高三上学期期中联考数学试题

数学试卷

考试时间：120分钟  满分150分

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A={x|-4<x<2},B={x|x2-x-6<0},则AB=

A．(-4,3)                        B．(-4,-2)  

C．(-2,2)                        D．(2,3)

2.已知则“存在使得”是“”的（    ）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3.已知复数z满足zi=4-3i,其中i为虚数单位,则复数z的共轭复数等于（  ）

A．.3-4i                       B．3+4i        

C．-3-4i                       D．-3+4i 

4.已知四边形ABCD的三个顶点为A(0,2)，B(-1,-2)，C(3,1)，且，则顶点D的坐标为(   )

A．(2,)                         B．(2,)     

C．(3,2)                         D．(1,3)                

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6.设，则（      ）

A．                   B．    

C． D．

7.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c2=(a-b)2+6，C=,则ABC的面积为（     ）

A．3                          B．

C．                        D．3

8.边长为2的正三角形ABC内一点M(包括边界)满足:,则的取值范围是（   ）

A．                    B．        

C．                    D．

二、多选题（共4道题，每题5分，共20分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分）

9．已知，则（    ）

A．的展开式中的常数项是56    

B．的展开式中的各项系数之和为0

C．的展开式中的二项式系数最大值是70

D．的展开式中不含的项

10.下列说法正确的是（）

A．当x(0,1)时，x        B．sin2x+的最小值为2

C．                     D．若a>1,b>，则

11.在公比为q等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=1，a5=27a2，则下列说法正确的是（    ）

A．q=3 B．数列是等差数列

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

12.已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（    ）

A．0 B． 

C． D．1

三、填空题（每题5分，共20分）

13．已知函数f(x)的定义域是R，f(1-x)=f(1+x)，且f(x)在(1,+)为单调递增函数，则满足条件的f(x)=_________.(写出一个满足条件的函数即可）

14．某品牌摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为______.

15．已知f(x)=2sin(2x+),若x1,x2,x3[0,],使得f(x1)=f(x2)=f(x3),若x1+x2+x3的最大值为M，最小值为N，则M+N=          .

16．设函数f(x)=ex(sinx-cosx)，若0x2021,则函数f(x)的所有极大值之和为            .

四．解答题：共6道题，共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在ABC中，内角的对边分别为，且.

(1)求角B的大小；

(2)①，②，③以上三个条件任选两个，求边a，角C.

18．已知向量，，.

(1)若，求的值；

(2)当时，求函数的值域.

19．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；

(3)关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.

20．忽如一夜春风来，翘首以盼的5G时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前.为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如表：

对数据作初步的处理，相关统计量的值如表：

其中，，且绘图发现，散点（）集中在一条直线附近.

(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；

(2)按照某项指标测定，当购买人数y与月资费x的比在区间内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”，现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用.记三人中使用“主打套餐”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.

21．已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.

(1)求数列的通项；

(2)令bn=，证明：.

22．已知函数f(x)＝.

(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；

(2)若当x>0时，f(x)>恒成立，求正整数k的最大值．

数学答案

一．单选题：1．C  2．C 3．D  4．A  5．C  6．A  7. C   8. B

二．多选题： 9．BC  10.ACD  11．ABC   12．ACD

三．填空题：13．f(x)= （写出正确答案即可） 14．0.25   

15.            16.

四．解答题：

17.解：（1）由正弦定理，可将化为，，

则，即，所以；.........................5分

（2）若选①②，由可得，

因为，由余弦定理可得，

则，解得，

由得．..........................................10分

若选①③，由正弦定理可得，，则，所以，则；因此．

若选②③，由可得，因为，所以，由得．

18.（1）因为，，

所以，因为，

所以，所以........................................2分

所以.....6分

（2），...................8分

因为，所以

当，即时，取最小值；

当，即时，取最大值2.

所以当时，函数的值域为......................12分

19. (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：

f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.

又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.

所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.....................................4分

(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.

由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，

所以f(x)的最大值为f(0)＝2，f(x)的最小值为f(t)＝t3－3t2＋2.

②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

f(x)的最小值为f(2)＝－2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个.

f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.

所以f(x)的最大值为f(0)=2.....................................8分

(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，

g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).

在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，

则即，解得-2<c≤0........................12分

20.（1）∵散点（）集中在一条直线附近）.设回归直线方程为，

由，，

则，

，.........................................................4分

∴变量交于v的回归方程为，

∵，，∴，∴，

综上，y关于x的回归方程为........................................6分

（2）由，

解得，∴，68，78，∴C、D、E为“主打套餐”，

则三人中使用“主打套餐”的人数X服从超几何分布，

X的可能取值为0，1，2，3，

，，，，

∴X的分布列为：

                                      ...........................10分

.........................................12分

21,（1）数列为等差数列，依题意,

所以d=1,  所以.....................................6分

（2）=.....8分

                                             ...................12分

22.(1)  f ′(x)＝[－1－ln(x＋1)]＝－[＋ln(x＋1)]．

由x＞0，x2＞0，＞0，ln(x＋1)＞0，得f ′(x)＜0.

所以f(x)在单调递减........................................................4分

(2) 当x＞0时，f(x)＞恒成立．

即h(x)＝＞k对x＞0恒成立．

所以h(x)的最小值大于k..........................................................6分

由h′(x)＝，记Φ(x)＝x－1－ln(x＋1)．(x＞0)

则Φ′(x)＝＞0，

∴Φ(x)在(0，＋∞)上连续递增．............................................8分

又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，

∴Φ(x)＝0存在惟一实数根a,且满足：a∈(2,3),a＝1＋ln(a＋1)

........................................10分

由x＞a时，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a时，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：h (x)(x＞0)的最小值为h(a)＝＝a＋1∈(3,4)．

因此正整数K的最大值为3...................................................12分