初中数学北师大版八年级下册4 分式方程教案及反思

《分式方程》

第1课时

教学目标

（一）教学知识点

1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义．

2．通过观察，归纳分式方程的概念．

（二）能力训练要求

体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．

（三）情感与价值观要求

在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．

教学重难点

教学重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．

教学难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月．根据题意，可得方程－=4．（1）

我们说，分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．

接下来，我们再来看几个这样的例子．

Ⅱ．讲授新课

列出刻画现实世界的数学模型——方程．

［小麦实验田问题］

有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．

你能找出这一问题中所有的等量关系吗？

如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg．

根据题意，可得方程____________．

［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？

［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．

［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？

［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a）

［生］还有一个等量关系是：

第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量（b）

［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢？

［生］根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg．

［生］根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=．（2）

［师］，的实际意义是什么呢？

［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．

［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．

［生］根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：

+3000=（3）

［师］接下来，我们再来看一个问题

［电脑网络培训问题］

王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？

这一问题中有哪些等量关系？

如果设原定是x人，那么每人平均分摊____________元；

人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．

根据题意，可得方程____________．

［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．

［生］由题意，可知：

实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c）

［生］还有一个等量关系为：

原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d）

［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？

［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．

［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？

讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．

［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：

设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程：－4=（4）

［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y－4）元，那么实际参加活动的人数为人，根据题意，利用等量关系（c），得方程：2×=．（5）

［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好．下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型．

如上图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2a，高AD=h，求内接正方形PQRS的边长．

［师生共析］由于SPQR是正方形，SR∥BC，AE⊥SR，所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长，△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差．

由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC，于是有：=（相似三角形对应高的比等于相似比）．所以可设正方形的边长为x，由= 得：=．（其中a、h为常数）（6）

［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流．

［生］从上图中可知SPQR是正方形，所以RQ⊥BC，又因为AD⊥BC，所以AD∥RQ，△ADC∽△RQC．可得=．

即=．

所以，设内接正方形的边长为2x，根据题意，得=．（a、h为常数）．（7）

［师］你们表现得真棒！

观察方程：－=4  （1）

=  （2）

+3000=  （3）

－4=  （4）

2×=  （5）

=．（其中a、h为常数）  （6）

=（其中a、h是常数）  （7）

上面所得到的方程有什么共同特点？

［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．

［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．方程（6）是什么方程？

［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程．

Ⅲ．随堂练习

1．已知鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程．

分析：题中的等量关系是：

101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．

解：x满足的方程是：101×=200．

2．补充练习

某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？

解：抽调管理人员x人后，管理人员有（40－x）人，销售人员有（80+x）人，则

=．

Ⅳ．课时小结

这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．

第2课时

教学目标

（一）教学知识点

1．解分式方程的一般步骤．

2．了解解分式方程验根的必要性．

（二）能力训练要求

1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．

2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．

（三）情感与价值观要求

1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．

2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．

教学重难点

教学重点：

1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决．

2．明确解分式方程验根的必要性．

教学难点：

明确解分式方程验根的必要性．

教学过程

Ⅰ．提出问题，引入新课

［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．

这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法．

解方程+=2－

［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得

3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）．

（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2，

（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4，

（4）合并同类项，得23x=13，

（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=．

Ⅱ．讲解新课，探索分式方程的解法

［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤．下面我们来看一个分式方程．

［例1］解方程：=．  （1）

［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？

［师］同学们说他的想法可取吗？

［生］可取．

［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？

［生］乘以分式方程中所有分母的公分母．

［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单．

［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？

［生］x（x－2）．

［师生共析］方程两边同乘以x（x－2），得x（x－2）×=x（x－2）·，

化简，得x=3（x－2）．  （2）

我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．

［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x．即x=3x－6（去括号）

2x=6（移项，合并同类项）．

x=3（x的系数化为1）．

［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论．

（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）

［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2）  （2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x=3代入方程（1）的左边==1，右边==1，左边=右边，所以x=3是方程（1）的解．

［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法完成例2的解答．

［例2］解方程：－=4

（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）

解：方程两边同乘以2x，得

600－480=8x

解这个方程，得x=15

检验：将x=15代入原方程，得

左边=4，右边=4，左边=右边，所以x=15是原方程的根．

［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．

我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）

议一议

解方程=－2．

（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）

［师］我们来看小亮同学的解法：=－2

解：方程两边同乘以x－3，得2－x=－1－2（x－3）

解这个方程，得x=3．

［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解．

［师］检验的结果如何呢？

［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根．

［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？

［生］x=3是去分母后的整式方程的根．

［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．

（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）

［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．

［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根．

在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根．那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？

［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．

［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？

［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．

［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．

Ⅲ．应用，升华

1．解方程：

（1）=；（2）+=2．

2．回顾，总结

想一想

解分式方程一般需要经过哪几个步骤？

［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．

［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．

3．补充练习

解分式方程：

（1）=；

（2）=（a，h常数）

Ⅳ．课时小结

［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．

［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．

［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．

［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．

Ⅴ．活动与探究

若关于x的方程=有增根，则m的值是____________．

第3课时

教学目标

（一）教学知识点

1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题．

2．用分式方程来解决现实情境中的问题．

（二）能力训练要求

1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．

2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．

（三）情感与价值观要求

1．经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．

2．培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．

教学重难点

教学重点：

1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．

2．根据实际意义检验解的合理性．

教学难点：

寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．

教学过程

Ⅰ．提出问题，引入新课

［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．

接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．

Ⅱ．讲授新课

做一做

某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．

（1）你能找出这一情境的等量关系吗？

（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？

［师］现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系．

［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1）

［生］还有一个等量关系：

第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．

［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．

同学们尽管提出符合情境的问题．

［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？

［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？

［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？

［师生共析］解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得=+500

解这个方程，得x=12

经检验x=12是原方程的解，也符合题意．

所以每年各有12间房屋出租．

［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？

［生］根据第一问的答案可计算，得：

第一年每间房屋的租金为=8000（元），

第二年每间房屋的租金为=8500（元）．

［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？

［生］解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元．第一年租出的房间为间，第二年租出的房间为间，根据题意，得

=

解，得x=8000

x+500=8500（元）

经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意．

所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元．

［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．

［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m3的部分每立方米收费多少元？

［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？

［生］审清题意，找出题中的等量关系．

［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）

你们找到题中的等量关系了吗？

［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的．

［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？

［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5m3的水费与超出5m3部分的水费．

［师］下面我们就来用等量关系列出方程．

［师生共析］设超出5m3部分的水，每立方米收费设为x元，则1月份，

张家超出5m3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5m3的用水量为m3，总用水量为5+；

李家超出5m3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5m3的用水量为m3，总用水量为（5+）m3

根据等量关系，得

+5=（+5）×

解这个方程，得x=2．

经检验x=2是所列方程的根．

所以超出5m3部分的水，每立方米收费2元．

Ⅲ．随堂练习

小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？

［师］我们先来找到题中的等量关系．

［生］题中的等量关系有两个：

15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本．

硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+）

［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．

［生］解：设软皮本的价格为x元，则硬皮本的价格为（1+）x元，那么15元钱可买软皮本本，硬皮本本．根据题意，得，=+1

解，得x=5

经检验x=5是原方程的根，也符合题意，所以（1+）x=×5=7.5（元）

故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元．

Ⅳ．课时小结

列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．

Ⅴ．活动与探究

如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？