高中数学人教版新课标B必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试学案设计

这是一份高中数学人教版新课标B必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试学案设计，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　　根据题意有
解得x≥1且x≠2.
2．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)
A．单调递减的奇函数 B．单调递增的偶函数
C．单调递减的偶函数 D．单调递增的奇函数
答案　A
解析　方法一　(数形结合法)：先画出f(x)＝x3的图像，再将其关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图像如图，由图像得y＝f(－x)为减函数，由图像关于原点对称得f(－x)为奇函数．

方法二　(直接法)：因为f(x)＝x3，
所以f(－x)＝－x3，
所以y＝－x3是单调递减的奇函数．
3．函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案　B
解析　当α>0时，有α2＝4，∴α＝2；
当α≤0时，有－α＝4，∴α＝－4.
因此，α＝－4或2.
4．已知f ＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)
A．15 B．7 C．31 D．17
答案　C
解析　令－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f ＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　)
A．2 B．－2 C．－3 D．3
答案　C
解析　∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，且f(x)的定义域为R，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
6．函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和(1,2)上分别有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B.
C. D．(－∞，－3)∪
答案　B
解析　方法一　由零点存在定理知，只需满足
解得 方法二　利用排除法，当a＝0时，f(x)＝－2x＋1，显然不满足题意，排 除A，C；当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，只有一个零点，排除D.
7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　)


答案　A
解析　　由图像知y＝f(x)为偶函数，y＝g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数且x≠0.由图像知x∈时，f(x)>0，g(x)<0，x∈时，f(x)<0，g(x)<0，所以x∈时，y＝f(x)·g(x)<0，x∈时，y＝f(x)·g(x)>0.
8．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
答案　A
解析　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以g(x)＜g(4)＝－2，所以a＜－2.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是奇函数
答案　BC
解析　对A, f(x)的值域为{0,1}，故A错误．对B, f(x)的定义域为R.故B正确．
对C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立．故C正确．对D, 因为f(0)＝1，故D错误．
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是(　　)
A．f(0)＝0
B．若f(2)＝3，则f(－2)＝－3
C．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
D．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
答案　ABC
解析　A项，f(0)＝0正确；B正确；C项正确，D不正确，因为奇函数在对称区间上具有相同的单调性．
11．已知函数f(x)＝ax2－2ax－3(a>0)，则(　　)
A．f(－3)>f(3) B．f(－2) C．f(4)＝f(－2) D．f(4)>f(3)
答案　ACD
解析　f(x)＝ax2－2ax－3(a>0)对称轴为x＝1，且在[1，＋∞)上是增函数，
f(－3)＝f(5)>f(3)，选项A正确；f(－2)＝f(4)>f(3)，选项B错误；
f(4)＝f(－2)，选项C正确；f(4)>f(3)，选项D正确．
12．具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的有(　　)
A．y＝x－ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝(x≠－1)
答案　ACD
解析　对于A：f ＝－＝－x＋＝－f(x)，所以函数y＝x－符合题意；
对于B：f(x)＝x＋，f ＝＋＝x＋＝f(x)，所以函数y＝x＋不符合题意；
对于C：当01，所以有f ＝－＝－x＝－f(x)，
当x＝1时，f(1)＝0，
当x>1时，0<<1，所以有f ＝＝－＝－f(x)，所以函数y＝符合题意；
对于D: f ＝＝＝－＝－f(x)，
所以符合题意．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
答案　6
解析　根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，解得f(2)＝6.
14．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________________．
答案　(－5,0)∪(5，＋∞)
解析　由f(x)>x，得或解得x>5或－5 15．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．
答案　[25，＋∞)
解析　因为函数f(x)的增区间为，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，
所以≤－2，m≤－16，－m≥16.
f(1)＝4－m＋5≥4＋16＋5＝25.
16．对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________， y＝h(x)－的零点个数为_______．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　1　2
解析　h(x)＝min{f(x)，g(x)}，
当2－x2>x，即－2 当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.
故h(x)＝
其图像如图中实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2 由图像可知，当x取1时，h(x)取最大值1.

所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1.由 h(x)－＝0得h(x)＝，直线y＝与h(x)的图像的交点有两个，所以函数y＝h(x)－有两个零点．


四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝.
(1)求f(5)的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解　(1)因为函数f(x)是奇函数，且x<0时，f(x)＝，
所以－f(5)＝f(－5)＝＝－，
所以f(5)＝.
(2)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝＝－f(x)，
所以x>0时，f(x)＝－＝.
所以f(x)＝
18．(12分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
解　(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得
解得a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
任取x1 则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)
＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1 所以f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2) 所以函数f(x)在R上单调递减．
19．(12分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像．
解　(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图像如图所示．

20．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1图像的上方，试确定实数m的取值范围．
解　(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a<1 (3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m的取值范围为(－∞，－1)．
21．(12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
解　(1)由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
(2)易知获得的利润y＝
＝120，x∈[1,10]，
令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t>0，那么该函数在(0, ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
解　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为；
由f(0)＝－3，f ＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以
所以a＝.