考点32 平面向量的线性运算练习题

考点32 平面向量的线性运算

一、单选题

1．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．若，, 则（ ）

A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）

3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则

A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）

4．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

5．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

A． B．

C． D．

6．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．在四边形中，则该四边形的面积为

A． B． C． D．

8．在中，，．若点满足，则（ ）

A． B． C． D．

9．设非零向量，满足，则

A．⊥ B．

C．∥ D．

10．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)

A． B．

C． D．

11．设是平面上给定的4个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

12．已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是

A．无论k，如何，总是无解 B．无论k，如何，总有唯一解

C．存在k，，使之恰有两解 D．存在k，，使之有无穷多解

二、填空题

13．已知向量，且，则___________.

14．已知向量，若，则_________．

15．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换．现有下列命题：

①设是平面上的线性变换，，则

②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；

③对，则是平面上的线性变换；

④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有．

其中的真命题是____________________（写出所有真命题的编号）

参考答案

1．A

【分析】

利用向量的线性运算，即可得到答案；

【详解】

连结，则为的中位线，

，

故选：A

2．B

【详解】

试题分析：因为向量，，所以．故选B．

考点：向量减法的坐标的运算．

3．B

【详解】

因为，选B．

4．C

【分析】

根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题考查的是向量的加减法，较简单.

5．A

【详解】

是所在平面内一点，为边中点，

∴，且，

∴，即，故选A.

6．A

【详解】

试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知

,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.

7．C

【详解】

注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，

.或者注意到分为四个小直角三角形算面积.

【考点定位】

本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.

8．A

【详解】

试题分析：，故选A．

9．A

【详解】

由平方得，即，则，故选A.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.

10．C

【详解】

试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．

考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．

11．B

【分析】

根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．

【详解】

解：设中点为B,C;BC中点为F,

，M=F

故选B．

12．B

【详解】

由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．

【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．

13．

【分析】

由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.

【详解】

因为，所以，解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

14．

【分析】

利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.

【详解】

由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，

解方程可得：.

故答案为：.

15．

【详解】

因为向量与平行，所以，则所以．

考点：向量共线．

16．①③④

【解析】

试题分析：①在中，令得：；故正确.

②因为，所以，二者不相等，故不是线性变换.

③因为，所以，二者相等，故是线性变换.

④在中，令得：；故正确.

考点：新定义概念.