知识讲解_平面向量的线性运算_提高练习题

平面向量的线性运算

【学习目标】

1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.

2．能结合图形进行向量的计算．

3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．

4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．

5．掌握向量共线的条件．

【要点梳理】

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

1.向量加法的概念及三角形法则

已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．

2．向量加法的平行四边形法则

   已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任一向量，我们规定．

要点诠释：

两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

1.向量求和的多边形法则的概念

已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有

2．向量加法的运算律

（1）交换律：；

（2）结合律：

要点三：向量的三角形不等式

由向量的三角形法则，可以得到

(1)当不共线时，；

(2)当同向且共线时，同向，则；

(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．

要点四：向量的减法

1．向量的减法

（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．

相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．

（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．

要点诠释：

（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．

（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．

（3）两个向量的差仍是一个向量．

2．向量减法的作图方法

（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．

（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．

要点五：数乘向量

1.向量数乘的定义

实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：

(1)；

(2)①当时，的方向与的方向相同；

②当时.的方向与的方向相反；

③当时，.

2．向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．

3.向量数乘的运算律

设为实数

结合律：；

分配律：，

要点六：向量共线的条件 

1．向量共线的条件

（1）当向量时，与任一向量共线．

（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．

反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．

2．向量共线的判定定理

是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．

3．向量共线的性质定理

若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．

要点诠释：

（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；

（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；

（3）有且只有一个实数，使．

（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.

【典型例题】

类型一：向量的加法运算

例1．如图所示，已知三个向量、、，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量++．

   【解析】  利用三角形法则作++，如图1所示，作，以A为起点，作，再以B为起点，作，则．

利用平行四边形法则作++，如图2所示，作，，，以、为邻边作平行四边形OADB，则，再以、为邻边作平行四边形ODEC，则．

【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．

     举一反三：

    【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．

【证明】如图所示，在四边形CDEF中，，

所以．

在四边形ABFE中，，所以．

所以．

因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以．

【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．

类型二：向量的减法运算

例2．（1）在平面内任画两个非零向量、，求作－；

（2）如图，已知不共线的两个非零向量、，求作向量―，―．

【解析】 （1）①当、共线时，若、同向，如下图甲．任取一点A，作，，则．

若、反向，如上图乙．任取一点，作，，则．

②当、不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O，作，，则．

．

（2）作，，则，，如图（右）．

【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．

（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．

举一反三：

【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（   ）．

（Ａ）     （Ｂ）   （Ｃ）   （Ｄ）

【答案】Ｂ

【高清课堂：向量的线性运算 395568 例2】

【变式2】化简

【解析】原式=．

类型三：与向量的模有关的问题

例3．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；

（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．

【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．

【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，

∴|++|的最大值为6．

（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．

∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，

∴，，

于是，

∴．

  【总结升华】 求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．

举一反三：

【变式1】已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．

【解析】 如图，，，则．

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．

由于．

故，

所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．

根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．

类型四：向量的数乘运算

例4．（2016 安徽合肥月考）计算下列各式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）；

（2）；

（3）．

【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．

举一反三：

    【变式1】计算：

（1）6(3―2)+9(―2+)；

（2）；

（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．

【解析】  （1）原式=18―12―18+9=―3．

（2）

．

（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2

=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)

=6+2．

例5.（2015春 山西运城期中）在边长为1的正△ABC中，，，AD与BE相交于点F．

（1）求的值；

（2）若，求实数的值．

【思路点拨】（1）通过题意可得AD⊥BC，设，，利用，代入计算即可；

（2）通过计算可得，记，通过计算可得，根据平面向量的基本定量计算即得结论．

【解析】（1）由题意，D为BC的中点，

而△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，

设，，又，

则

  ；

（2）根据题意：

记，则，

根据平面向量的基本定理可得：

解得：=4．

【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

举一反三：

【高清课堂：向量的线性运算 395568 例6】

【变式1】如图，已知三边中点为，求证：.

【解析】

=

==

=

=

【变式2】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．

【解析】  ∵，

∴，

∵，

∴，

．

类型五：共线向量与三点共线问题

例6.设两非零向量和不共线，

(1)如果求证三点共线.

(2)试确定实数，使和共线.

【思路点拨】 要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.

【解析】(1)证明 

　　共线，又有公共点，

　　∴三点共线.

(2)解  ∵ 和 共线，

　　∴存在，使，

　　则由于 和不共线，

　　只能有 则.

【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)

举一反三：

【变式1】（2015秋 安徽滁州月考）（1）设两个非零向量，不共线，如果，，，求证：A，B，D三点共线．

   （2）设，是两个不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值．

【答案】（1）略；（2）－8

【解析】（1）证明：∵，

∴与共线，又它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线；

（2），

∵A、B、D三点共线，

∴与共线，则，即，

所以，解得k=－8．

类型六：向量的综合应用

例7．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若，证明O是△ABC的重心．

【思路点拨】 要证明O是△ABC的重心，即证O是△ABC各边中线的交点，可联系重心的性质证之．

【证明】 ∵，

∴，即是与方向相反且长度相等的向量．

如图所示，以OB、OC为相邻两边作OBDC，则，

∴．

在OBDC中，设BC与OD相交于E，则，，

∴AE是△ABC的BC边上的中线，且．

根据平面几何知识，知O是△ABC的重心．

【总结升华】若且直线AB与直线CD不重合，则AB∥CD．

若且直线AB与直线CD不重合，则以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

举一反三：

【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，

求证：．

证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如图．

∵E是AD的中点，∴．

∵F是BC的中点，∴，

又∵，

∴．

∴．

【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．

   例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h，水流的速度是6 km / h．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？

【解析】如图（1）所示，为汽艇在静水中的速度，为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为，在Rt△ADC中，，，，∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h，方向与水流速度的夹角约为63°43′．

如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为，则．在Rt△ABC中，，，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．

【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．

举一反三：

【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？

   【解析】设表示水流速度，表示船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB为一边，以AC为对角线作ABCD，则AD就是船的速度（如图）．

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，，，

所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．