考点32 线性回归方程与列联表（讲解） （解析版）练习题

考点32 回归方程与独立性检验

【思维导图】

【常见考法】

考法一 回归方程

1．某工厂某产品产量(千件)与单位成本（元）满足回归直线方程，则以下说法中正确的是（    ）

A．当产量为千件时，单位成本为元

B．当产量为千件时，单位成本为元

C．产量每增加件，单位成本约下降元

D．产量每减少件，单位成本约下降元

【答案】C

【解析】令，

因为，

所以产量每增加件，单位成本约下降元.故选：C

2．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为

A．75万元 B．85万元

C．99万元 D．105万元

【答案】B

【解析】由题意得，

∴样本中心为．

∵回归直线过样本中心，∴，解得，

∴回归直线方程为．当时，，

故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B．

3．某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（，）（），如表所示：

已知．

（1）求的值；

（2）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；

（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当时，将销售数据（，）称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率．

参考公式：，．

【答案】（1）90；（2）；（3）．

【解析】（1）由，得，解得．

（2）经计算，，，，所以，

，所以所求的线性回归方程为．

（3）由（2）知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．与销售数据对比可知满足（）的共有3个：，，．

从6个销售数据中任取2个的所有可能结果有（种），其中2个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有（种），于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为．

考法二 非线性回归方程

1．某同学的父亲决定今年夏天卖西瓜赚钱，根据去年6月份的数据统计连续五天内每天所卖西瓜的个数与温度之间的关系如下表：

（1）求这五天内所卖西瓜个数的平均值和方差；

（2）求变量之间的线性回归方程，并预测当温度为时所卖西瓜的个数.

附：，(精确到).

【答案】（1）26，27.2（2），15

【解析】

（1），

方差为.

（2），，，

所以，，

所以回归直线方程为，

当时，，所以预测当温度为时所卖西瓜的个数为.

2．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（b，c为大于0的常数）.按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

根据所给统计量，求y关于x的回归方程.

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为，，，

有3件为非优等品，记为，，，

现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：

，

选中的两件均为优等品的事件为，

所以所求概率为.

（2）对两边取自然对数得

令，则，且

由所给统计量及最小二乘估计公式有：

，

由得，

所以关于的回归方程为.

3．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：

经计算：，，，，，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.

（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（结果精确到0.1）；

（2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程，且相关指数为.

(i)试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；

（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.

附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，；相关指数为：.

【解析】(Ⅰ)由题意得， 

∴33−6.6326=−139.4，

∴关于的线性回归方程为：=6.6x−139.4．

（注：若用计算出，则酌情扣1分）

(Ⅱ) （i）线性回归方程=6.6x−138.6对应的相关指数为：

，

因为0.9398＜0.9522，

所以回归方程比线性回归方程=6.6x−138.6拟合效果更好．

（ii）由（i）知，当温度时，

，

即当温度为35C时该批紫甘薯死亡株数为190.

考法三 独立性检验

1．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机调查100名性别不同的居民是否做到“光盘”行动，得到如下列联表：

经计算．    附表：

参照附表，得到的正确结论是（    ）

A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘行动与性别无关”

C．有以上的把握认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”

D．有以上的把握认为“该市居民能否做到光盘行动与性别无关”

【答案】C

【解析】由题意可知，

结合临界值表可知，

因而在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”，或表述为有以上的把握认为“该市居民能否做到光盘行动与性别有关”；

结合选项可知，C为正确选项，故选：C.

2．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有人对线上教学满意，女生中有名表示对线上教学不满意.

（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；

（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在这名学生中抽取名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.

附：.

【答案】（1）填表见解析；有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）.

【解析】（1）列联表如下：

又，

这说明有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.

（2）方法一：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，

其中男生名，设为、；女生人设为，

则从这名学生中抽取名学生的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件，

其中抽取一名男生与一名女生的事件有，，，，，，共个基本事件，根据古典概型，从这名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为.

方法二：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，

其中男生2名，设为；女生3人，根据古典概型，从这名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为

3．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．

（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；

附：

，其中．

（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．

【答案】（1）列联表见解析；没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）．

【解析】（1）列联表如下：

根据列联表中的数据，得的观测值的观测值，

所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”．

（2）由已知可得从步数在3001～6000的人群有男性2人，女性3人.

设步数在3001～6000中的男性的编号为1，2，女性的编号为，，．设选中的人中男性人数超过女性人数为事件A．

选取三人的所有情况为，，，，，，，，，，共10种情况．

符合条件的情况有，，，共3种情况．故所求概率为．

4．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．

（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；

（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；

（3）已知每件产品的纯利润（单位：元）与产品质量指标的关系式为．若每台新设备每天可以生产件产品，买一台新设备需要万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．

参考公式：，其中．

【答案】（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为、；（2）列联表见解析，有的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）.

【解析】（1）估计新设备所生产的产品优质品率为，

估计旧设备所生产的产品优质品率为；

（2）根据题中所给数据可得到如下列联表：

，

因此，有的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；

（3）新设备所生产的产品的优质品率为，

每台新设备每天所生产的件产品中，估计有件优质产品，有件合格品，

则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为（元），

（天），因此，估计至少需要天方可收回成本.