考点34 平面向量的数量积练习题

考点34平面向量的数量积

一、单选题

1．已知,,则

A． B． C． D．

2．已知为单位向量，其夹角为60，则=

A．－1 B．0 C．1 D．2

3．已知两个非零向量满足,则下面结论正确的是(　　)

A． B．

C．  D．

4．已知向量，..若,则x =

A．—1 B．— C． D．1

5．已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

6．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知向量，则

A． B．2

C．5 D．50

8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

9．已知向量，，若，则（　　）

A． B． C． D．

10．设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于

A． B． C．0 D．-1

11．已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是

A． B． C． D．

12．已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A． B． C．2 D．

二、填空题

13．已知向量，若，则__________．

14．设向量⊥,则=________

15．若平面向量满足：；则的最小值是_________

16．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则___.

参考答案

1．C

【详解】

试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.

考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.

2．B

【详解】

.

故选：B.

3．B

【分析】

两边平方化简，可得可得结果.

【详解】

因为，

所以，

化简可得：，故

故选：B

【点睛】

本题考查向量的计算以及向量之间的关系，掌握向量的共线、垂直的充要条件，属基础题.

4．D

【详解】

由得，解得，故选D

考点定位：本题是平面向量问题，意在考查学生对于平面向量点乘知识的理解

5．B

【分析】

考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

6．A

【分析】

首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】

该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

7．A

【分析】

本题先计算，再根据模的概念求出．

【详解】

由已知，，

所以，

故选A

【点睛】

本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．

8．B

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】

因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

9．B

【详解】

∵，∴.

∴，即，

∴,，故选B.

【考点定位】

向量的坐标运算

10．C

【详解】

：正确的是C.

点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.

11．B

【详解】

试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又

，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.

【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题

【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．

12．A

【分析】

先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

【详解】

设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

【点睛】

以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

13．

【分析】

根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．

【详解】

因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】

本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

14．

【详解】

因，由得，解得，故

15．

【详解】

试题分析：因为，所以，，－8，所以

，即的最小值是．

考点：不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．

点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．

16．2

【详解】

试题分析：，与的夹角等于与的夹角，所以

考点：向量的坐标运算与向量夹角