考点31 解三角形练习题

考点31 解三角形

一、单选题

1．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

2．在中，若,则的形状是 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

3．在中，若，则的形状是 （ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．不能确定.

4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为

A． B． C． D．

5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是

，则河流的宽度BC等于（ ）

A． B． C． D．

6．如图，设点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点．测出两点间的距离为．，则两点间的距离为（    ）m．

A． B． C． D．

7．中，若，则该三角形一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（    ）．

A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m

9．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．

10．一架直升飞机在高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是和，则塔高为（    ）

A． B．

C．  D．

11．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据:，根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（    ）

A． B． C． D．

12．若点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，则点A在点B的（    ）

A．北偏东方向上 B．北偏西方向上

C．北偏东方向上 D．北偏西方向上

二、填空题

13．若船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，则_________.

14．如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度，为楼顶，线段的长度为，在处测得，在处测得，且此时看楼顶的仰角，已知楼底和、在同一水平面上，则此楼高度____（精确到）

15．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．

16．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面内），则AB=______km..

参考答案

1．A

【分析】

利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．

【详解】

如图所示：

由平面相似可知，，而 ，所以

，而 ，

即＝ ．

故选：A.

【点睛】

本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．

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2．C

【详解】

由正弦定理得，则，

角C为钝角，故选C.

1、正弦定理；2、余弦定理.

3．A

【详解】

由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，

得，

所以三角形是钝角三角形，故选A.

4．D

【详解】

设底边边长为，则由题意知等腰三角形的腰为2a，故顶角的余弦值为，故选D．

5．C

【详解】

，，，

所以

.

故选C.

6．C

【分析】

先根据三角形内角和求，再根据正弦定理求解.

【详解】

在中,，

则

由正弦定理得 ，

所以 m.

故选：C.

【点睛】

本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，属基础题.

7．D

【分析】

利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以或，

所以或，

所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

故选：D

【点睛】

本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.

8．D

【分析】

根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】

由三角形内角和定理可知：，

由正弦定理得:，

故选：D

9．B

【分析】

根据题意画出图形，在中解三角形即可求解.

【详解】

如图：，，，，

在中由余弦定理可得：，

即，

所以，即，

解得：或，

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可.

10．A

【分析】

将实际问题抽象为如图所示的数学模型，利用解直角三角形和正弦定理可求塔高．

【详解】

如图所示，飞机在处测塔顶和塔底．

在中可得，

在中，由正弦定理得，

，所以.

故选：A．

【点睛】

与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.

11．B

【分析】

取，设，可得，进而得出结论．

【详解】

解：取，设，

则，

，，

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为，

则，

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．A

【分析】

根据题意画出几何位置关系，即可判断角度和方向.

【详解】

由题意，点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，可得几何位置关系如下图所示：

则，

所以,故点A在点B的北偏东方向上

故选：A

【点睛】

本题考查了根据位置关系求角度的实际应用，属于基础题.

13．95°

【分析】

根据方位角的概念求解即可.

【详解】

因为船在A处发现灯塔B位于北偏东40°处，灯塔C位于船的南偏东45°处，

所以

故答案为：95°

【点睛】

本题考查方位角的概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．

【分析】

先由正弦定理求得AB和BD，根据Rt△BCD中因为，可得CD＝BD＝150≈212．

【详解】

在△ABD中，由正弦定理，得：，由AB＝600，

得：BD＝＝300，在Rt△BCD中，因为，

所以CD＝BD＝150≈212，

故答案为.

【点睛】

此题考查正弦定理，熟练掌握正弦定理即可，属于简单题目．

15．

【分析】

根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.

【详解】

如图，已知（尺），（尺）， ，

∴，解得，

因此，解得 ，

故折断后的竹干高为尺.故答案为.

【点睛】

本题属于解三角形中的简单题型，主要考察解三角形的实际应用问题，关键在于读懂题意，根据题设做出图形.

16．

【分析】

先由题得，再由正弦定理解得，最后根据余弦定理解得.

【详解】

在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，

∴AC=CD=km.

在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.

∴BC=.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2=()2+2－2×××cos75°=3+2+=5，

∴AB=(km)

故答案为：