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初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.3 一元一次不等式组课后复习题
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这是一份初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.3 一元一次不等式组课后复习题，共39页。
第09章 重点突破训练：一元一次不等式(组)类型题举例
典例体系(本专题75题39页)
考点1：由不等式性质求字母范围
典例：(2020·浙江绍兴市·八年级期中)已知关于的不等式，两边同除以，得，试化简：．
【答案】-1
【详解】
解：因为，两边同除以，得，
所以，，
所以，
所以
方法或规律点拨
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出．
巩固练习
1．(2021·全国八年级)若，两边同除以后，变为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：若，两边同除以后，变为，
则的取值范围是．
故选：B．
2．(2020·浙江杭州市·八年级期中)如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
故选：A．
3．(2020·河北秦皇岛市·七年级期末)如果不等式的解集为，则必须满足的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：不等式的解集是，符号改变了，所以，即．
故选：B．
4．(2020·淮阳第一高级中学七年级期末)已知不等式的解集是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：不等式(a-3)x＜3-a的解集为x＞-1，
∴a-3＜0，
解得a＜3．
故选：C．
5．(2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考)已知关于x的不等式的解集为，化简的结果为______．
【答案】
【详解】∵的解集为，
∴，
∴．
故答案为：-a-2．
6．(2020·浙江八年级期中)若，且，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】
解：∵，而，
∴，即．
故答案是：．
考点2：不等式(组)解的归一问题
典例：(2020·浙江杭州市·杭州英特外国语学校八年级期中)已知关于x的不等式组的解集为，则的值为___________．
【答案】
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
由题意得：，
解得，
则，
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组，熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键．
巩固练习
1．(2020·陕西商洛市·七年级期末)如图，是关于x的不等式2x-m< -1的解集，则m的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解不等式2x-m< -1得： ，
因为由图可得不等式的解集为，
所以，
所以m=-1．
故选：D．
2．(2021·全国九年级)已知不等式 与不等式的解集相同，则_______．
【答案】
【详解】解： 解不等式得：，
解不等式得：，
两个不等式的解集相同，
，
．
故答案为：．
3．(2020·浙江嘉兴市·八年级期末)小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是，则被污染的数是__________．
【答案】−5
【详解】解：设被污染的数为a，不等式为1−3x＜a．
解得：x＞ ，
由已知解集为x＞2，得到＝2，
解得：a＝−5，
故答案为：−5
4．(2020·贵州安顺市·七年级期末)若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为_____．
【答案】
【解析】试题分析：根据解不等式，可得不等式3m﹣2x＜5的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得m=．
5．(2020·全国单元测试)关于的不等式的解为，则_______．
【答案】-2
【详解】
．
∵是该不等式的解，
∴，
解得，
故答案为：-2．
6．(2020·江西赣州市·七年级期末)若不等式的解集为，则a，b的值分别为_______________．
【答案】、
【详解】
解：∵不等式组的解集为2＜x＜3，
而解不等式组得-a＜x＜b，
∴-a=2，b=3，
即a=-2，b=3．
故答案为：、．
7．(2021·全国八年级专题练习)已知，关于x的不等式(2a-b)x+a-5b＞0的解集为x＜．
(1)求的值．
(2)求关于x的不等式ax＞b的解集．
【答案】(1)；(2)．
【详解】
(1)不等式可变形为，
此不等式的解集为，
，
则解不等式得：，
，
整理得：，
解得；
(2)由(1)可知，，，
则，解得，
故关于x的不等式的解集，即．
考点3：不等式(组)的整数解问题
典例：(2021·全国八年级专题练习)已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是___________．
【答案】2＜a≤3．
【详解】解：，
解不等式①得：x-a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为-a＜x＜1，
∵不等式组的整数解共有3个，即-2，-1，0，
∴-3≤-a＜-2，
∴2＜a≤3，
故答案是：2＜a≤3．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．
巩固练习
1．(2021·全国八年级专题练习)若实数是不等式的一个解，则可取的最小整数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，是不等式的一个解，
∴将代入不等式，得：，
解得：，
则可取的最小整数为，
故选：D.
2．(2021·浙江宁波市·八年级期末)已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
解不等式①得：x,
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是
∴-2≤<-1．
故选择：A．
3．(2021·浙江宁波市·八年级期末)满足不等式的正整数是______．
【答案】1
【详解】满足不等式的正整数是：1．
故答案是：1．
4．(2021·全国八年级专题练习)不等式的最大整数解是________．
【答案】-2
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原不等式的最大整数解为-2．
故答案为：-2．
5．(2021·浙江宁波市·八年级期末)不等式的非负整数解共有__个．
【答案】4
【详解】解：，
，
，
解得：，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为：4．
6．(2021·全国八年级专题练习)若关于x的一元一次不等式只有3个负整数解，则a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】∵关于x的一元一次不等式只有3个负整数解，
∴这三个负整数解只能是-1，-2，-3，
∴a的取值范围为，
故答案为：．
7．(2020·浙江八年级期末)若关于的不等式组．只有4个整数解，则的取值范围是_______．
【答案】
【详解】解：
由①得：，
由②得：
＞
关于的不等式组有解，
不等式组的解集为
不等式组只有4个整数解，
故答案为：
8．(2021·湖南邵阳市·八年级期末)若关于x的不等式组的解集中恰好有三个整数，则m的取值范围是___．
【答案】5≤m＜6
【详解】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：
∵不等式组恰有三个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
则5≤m＜6．
故答案为：5≤m＜6．
9．(2021·四川成都市·八年级期末)关于的不等式组有且只有4个整数解，则常数的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组只有4个整数解，
即不等式组只有4个整数解为﹣1、0、1、2，
则有，
解得：，
故答案为：
10．(2021·四川成都市·石室中学八年级期末)已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________．
【答案】0≤m＜1
【详解】
解： ，
解①得，
解②得x＞m，
则不等式组的解集是m＜x＜．
不等式组有2个整数解，则整数解是1，2．
则0≤m＜1．
故答案是：0≤m＜1．
考点4：一元一次方程与不等式的综合问题
典例：．(2021·全国八年级专题练习)m取何值时，关于x的方程的解大于1．
【答案】m＞2
【详解】
解：方程去分母得：x-2(6m-1)=6x-3(5m-1)，
去括号得：x-12m+2=6x-15m+3，
解得：x=，
根据题意得：，即3m-1＞5，
解得：m＞2．
巩固练习
1．(2021·全国七年级)已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是( )．
A．a＞-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案
【答案】C
【详解】
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1有一个负根
∴成立；
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1没有正根
∴不成立；
∴
故选：C．
2．(2020·安岳县石羊镇初级中学七年级期中)关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解方程得：，
由题意得：，解得： ，
故选：D．
3．(2021·全国八年级专题练习)若关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是( )
A． B． C．a为任何实数 D．a为大于0的数
【答案】A
【详解】解：∵3x+3a=2，
∴x= ，
又∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴a＜.
故选：A.
4．(2021·全国八年级专题练习)已知关于x的方程：的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的值有( )种．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】解：
∵方程的解是非正整数，
∴
∴
∴或2或4或8
∴a=0或2或-2，共3个
故选：A
5．(2021·全国八年级专题练习)(1)关于的方程 与方程的解互为倒数，求的值．
(2)已知关于的方程的解适合不等式，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【详解】
解：(1)
解方程得：，
两个方程解是互为倒数，
另一个解为：，
将代入方程，
得：，
解得：．
故的值为．
(2)
，
方程的解适合不等式，
将代入，得：
故的取值范围为：．
考点5：确定不等式组字母系数范围
典例：(2021·全国七年级)已知不等式组无解，则的取值范围为__．
【答案】
【详解】
解：不等式组无解，
，
解得：，
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．
巩固练习
1．(2021·广东阳江市·九年级一模)若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为( )
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【答案】C
【详解】
由，
解得：，
又∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
故选C
2．(2021·全国八年级专题练习)若不等式组无解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到．
故选：D．
3．(2020·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考)若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：解不等式2x-1＞3x+2，得：x＜-3，
∵不等式组的解集为x＜-3，
∴m≥-3．
故选：A．
4．(2021·贵州铜仁市·八年级期末)若不等式组的解集是，则m的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：
由①得：＞
＜
由②得：
不等式组的解集是，
故答案为：
5．(2021·全国八年级专题练习)若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________．
【答案】
【详解】
解：对不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
考点6：方程组与不等式组的综合问题
典例：(2020·河北唐山市·七年级期末)已知关于，的方程组，其中，下列结论：
①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【详解】
由，解得
∵
∴，
①当时，解得，故①正确；
②不是方程组的解，故②错误；
③当时，解得，此时，故③正确；
④若，即，解得，故④正确；
故选D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键．
巩固练习
1．(2019·保定市第三中学分校八年级期中)若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将两个方程相加可得3x+3y=3-m，
∴x+y=，
∵x+y＞0，
∴＞0，
解得m<3，
故选：B．
2．(2021·四川省九龙县中学校八年级期末)已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【详解】解：
①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得
4m-2+4-5m＞8，
∴m＜-6，
故答案为：m＜-6．
3．(2020·浙江八年级期末)若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
【答案】a＞-4
【详解】
，
由②-①得：2y−2x＝2−a，
∵，则，
∴2−a＜6，
∴a＞-4，
故答案是：a＞-4．
4．(2021·全国八年级专题练习)若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为________．
【答案】．
【详解】解：，
直接把两个方程相加，得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
5．(2020·嵊州市马寅初初级中学八年级期中)关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】，由①－②得，
建立不等式，解得，
故答案为：．
6．(2021·全国八年级)关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1，则m的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
，
两个方程相加得：，即，
由题意得：，
解得，
故答案为：．
7．(2019·山西七年级期末)若关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是____________．
【答案】
【详解】
①-②得：，
将代入②得：，
∵，
∴ +，
∴．
故答案为：．
8．(2020·浙江杭州市·九年级期中)已知
(1)若，求m的值；
(2)求关于的表达式；
(3)若，求的值的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)．
【详解】
(1)由题可知：，
．
(2)∵，
∴，代入中．
∴．
(3)由题可知，
解得：．
由(1)知，
∴，即．
9．(2021·全国八年级专题练习)已知方程组的解满足条件，，求的取值范围．
【答案】
【详解】
②×2-①得：，
把代入②得：，
∵，，
∴，
解得：．
10．(2021·全国八年级专题练习)已知点的坐标满足方程组且点在第四象限．
(1)请用含的代数式表示；
(2)请求出的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】
解：(1)由，可得：
①＋②可得：；
(2)由(1)得：，
∴把代入①可得：，解得：，
∵点在第四象限，
∴，解得：．
11．(2021·全国八年级专题练习)关于x，y的方程组的解都是非正数，求m的取值范围．
【答案】．
【详解】
，
由①②得：，即，
由①②得：，即，
此方程组的解都是非正数，
，即，
解得．
考点7：解不等式(组)
典例：(2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试)(1)解不等式：
(2)解不等式组，并在数轴上表示解集
【答案】(1)，(2)．
【详解】
解：(1)，
去分母得，，
移项得，，
系数化为1得，，
(2)，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式(组)，解题关键是熟练解不等式和利用数轴确定不等式组的解集．
巩固练习
1．(2021·浙江湖州市·八年级期末)解不等式．并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；图见解析
【详解】
去括号，得:
移项，合并同类项得:，
．
在数轴上表示为：
2．(2021·全国八年级专题练习)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【详解】，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
在数轴上表示此不等式的解集如图：
3．(2021·全国八年级专题练习)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
(1) (2)
【答案】(1)，数轴表示见解析；(2)，数轴表示见解析．
【详解】
解：(1)，
移项得，
合并得，
系数化为1得；
(2)
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1得．
在数轴上表示为：
4．(2020·杭州市大关中学八年级期中)解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，在数轴上表示见解析；(2)，在数轴上表示见解析
【详解】解：(1)移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)去分母，得，
去括号，得，
移项，，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
不等式的解集在数轴上表示如下：
5．(2020·江苏苏州市·苏州草桥中学七年级月考)解下列不等式：
(1)；(2)．
【答案】(1)x≤−3(2)x＞−1．
【详解】
(1)
去括号，得3−3x≥2x＋18，
移项，得−3x−2x≥18−3，
合并同类项，得−5x≥15，
系数化成1得：x≤−3．
(2)
去分母，得10−2(2−3x)＞5(1＋x)，
去括号，得10−4＋6x＞5＋5x，
移项，得6x−5x＞5−10＋4，
合并同类项，得x＞−1．
6．(2021·北京师范大学株洲附属学校八年级期末)解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】-2≤x＜2，数轴表示见解析
【详解】
解：，
由①得x<2，
由②得x≥-2，
所以原不等式组的解集为-2≤x＜2，
数轴表示：
7．(2020·浙江八年级期末)解不等式(1)7+2x>6．(2)解不等式组
【答案】(1)(2)
【详解】
解：(1)
解得：；
(2)
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
8．(2020·浙江八年级期末)解下列一元一次不等式(组)：
(1)，并把它的解表示在数轴上．
(2)．
【答案】(1)x＜1，数轴见解析；(2)
【详解】
解：(1)移项得，6x-9x＞-4+1，
合并同类项得，-3x＞-3，
系数化为1，得：x＜1，
表示在数轴上如下：
(2)
解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x5，
则不等式组的解集为；
9．(2021·湖南益阳市·八年级期末)已知不等式组．
(1)求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)在(1)的条件下化简．
【答案】(1)，见解析；(2)．
【详解】
解：(1)解不等式①，得：
，
解不等式②，得：
，
解集表示在数轴上如下：
不等式组的解集为；
(2)由(1)知，
．
考点8：方程(组)与不等式(组)的实际应用问题
典例：(2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考)某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价．
(2)若A、B两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，且费用不多于5400元．
①最多能采购A种型号的电风扇多少台？
②设超市销售完这30台电风扇所获得的利润为W元，试问利润能否达到1400元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)250元；210元；(1)①10台；②不能，理由见解析．
【详解】
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
(2)①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，
依题意得：
解得：，
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．
②不能实现．
依题意有：，
解得：，
∵，
∴超市不能实现利润1400元的目标．
方法或规律点拨
此题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
巩固练习
1．(2020·浙江八年级期末)某厂贷款8万元购进一台机器生产商品.已知商品的成本每个8元，成品后售价是每个15元，应付税款和损耗总费用是销售额的.若每个月能生产销售1000个该商品，问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？
【答案】20
【详解】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款
则
解得：
答：至少20个月后能赚回这台机器的贷款.
2．(2021·浙江杭州市·八年级期末)某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的水果损耗，该水果店以a元/千克的标价出售该种水果．
(1)为避免亏本，求a的最小值．
(2)若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a的最小值．
【答案】(1)a的最小值为20；(2)．
【详解】
解：(1)由题意得：
，
解得，即a的最小值为20；
(2)由题意得:
，
解得．
3．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)台州某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
不答题数
答错题数
得分
A
15
3
2
79
B
19
0
1
94
C
18
1
1
91
D
16
2
2
82
E
18
2
0
94
(1)由表格知，不答一题得________分，答错一题扣_________分．
(2)某参赛者F一共对了14题，不答题数与总得分有何关系？
(3)某参赛者G答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对了几道题？
(4)在前10道题中，参赛者N答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【答案】(1)2；1；(2)不答题数=(总得分-64)3；(3)13；(4)至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分；理由见解析
【详解】
(1)由可知，不答一题的得分为：，
由可知，答错一题的得分为：；
答：不答一题得2分，答错一题扣1分．
(2)设不答题数为，
∴答错题数为，
∴总得分，
总得分，
总得分，
∴不答题数与总得分关系为：不答题数=(总得分-64)3；
(3)设该选手不答题数为，
∴则答错题数为，
∴答对题数为道，
∴，
解得：，
∴答对题数；
(4)前10道题得分为：分，
设后10道题答对道题，
则，，
解得：，
∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．
4．(2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末)近两年，重庆市奉节县紧紧围绕“村有骨干产业、户有致富门路”的发展思路，大力实施农产品产业扶贫项目，实现助农增收其中“乡坛子”什锦套菜礼盒、奉节脐橙10km装广受好评，单价分别为100元/盒和60元/盒．
(1)某公司大力响应扶贫政策，准备用不低于15000元购买什锦套菜礼盒、奉节脐橙共200盒，则至少购入什锦套菜礼盒多少盒？
(2)2021年春节将至，该公司准备再次购入以上两种产品作为员工新春福利．恰逢“学习强国”重庆学习平台开展“党员直播带货、‘渝’你抗疫助农”扶贫农产品公益直播活动．直播中，什锦套菜礼盒以原价8折销售，该公司购买数量在(1)问最少数量的基础上增加了；奉节脐橙售价比原价降低了元，购买数量在(1)问奉节脐橙最多数量的基础上增加了40%．该公司在直播间下单后实际花费比(1)问中最低花费增加2350元，求m的值．
【答案】(1)至少购入什锦套菜礼盒盒；(2)．
【详解】
(1)设购进什锦套菜礼盒x盒，则购进奉节脐橙礼盒(200-x)盒，
根据题意得：，
解得：．
答：至少购入什锦套菜礼盒盒；
(2)根据题意得：
，
整理得：，
解得：．
5．(2021·湖北省武汉市外国语学校美加分校九年级期末)某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【答案】(1)一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；(2)25个
【详解】
解：(1)设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
，解得，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元．
(2)设需要购买a个甲种笔记本，
，
解得：，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
6．(2021·全国八年级)某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒(不少于5盒)．
(1)请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用 ；去乙店购买所需的费用 ．(结果要求化简)
(2)当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；
(3)试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？
【答案】(1)(12x+180)元，(10.8x+216)元；(2)去乙商店购买较为合算；(3)当购买乒乓球的盒数x多于30盒时，去乙商店购买更划算；当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算
【详解】
解：(1)在甲店购买的费用为48×5+(x﹣5)×12=(12x+180)元，
在乙店购买的费用为48×5×0.9+12×0.9x=(10.8x+216)元，
故答案为：(12x+180)元，(10.8x+216)元；
(2)当x=40时，12x+180=12×40+180=660元，
10.8×40+216=648元，
∵648＜660，
∴去乙商店购买较为合算；
(3)由12x+180＞10.8x+216得：x＞30，
由12x+180=10.8x+216得：x=30，
由12x+180＜10.8x+216得：x＜30，
故当购买乒乓球的盒数x超过30盒时，去乙商店购买更划算，当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算．
7．(2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末)2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：
第一批
第二批
型货车的辆数(单位：辆)
8
10
型货车的辆数(单位：辆)
4
25
累计运输物资的吨数(单位：吨)
128
400
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【答案】(1)A：10吨，B：12吨；(2)至少需要B型17辆
【详解】
(1)设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，12吨生活物资
(2)设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得.
解得
又m为整数，
∴m最小取17，
∴至少还需联系17辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
8．(2020·黑龙江大庆市·九年级期末)某商店有商品和商品，已知商品的单价比商品单价多12元，若购买400件B商品与购买100件A商品所用钱数相等．
(1)求，两种商品的单价分别是多少元．
(2)已知该商店购买商品的件数比购买商品的件数的2倍少4，如果需要购买，两种商品的总件数不少于32，且该商店购买的，两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？说明理由．
【答案】(1)A种商品的单价为16元，B种商品的单价为4元；
(2)有两种方案：方案(1)：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案(2)：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
【详解】
设B种商品的单价为x元，则A种商品的单价为(x+12)元，
由题意得： ，
解得x=4，
则x+12=16(元)，
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为(2m﹣4)件，
由题意得： ，
解得：12≤m≤13，
∵m是整数，
∴m=12或13，故有如下两种方案：
方案(1)：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案(2)：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
9．(2021·全国七年级)2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进、两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．
(1)求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
(2)小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，小丹准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；(2)有4种进货方案，方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．方案4费用最低，最低费用为1150元．
【详解】
解：(1)设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，
依题意，得：，
①②得，
把代入①中，得
．
答：型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；
(2)设购进型风扇台，则购进型风扇台，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取72、73、74、75，
小丹共有4种进货方案，方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．
型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价，
方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，
最低费用为元．
10．(2021·全国七年级)为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元，购买2个型垃圾箱比购买3个型垃圾箱少用160元．
(1)每个型垃圾箱和型垃圾箱分别是多少元？
(2)若该小区物业计划用低于2150元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【答案】(1)每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元；(2)有2种购买方案．
【详解】
解：(1)设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
依题意，得：，
解得：，
答：每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元；
(2)设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
依题意，得：，
解得：，
又为整数，
可以为6，7，
有2种购买方案．
11．(2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考)某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型，D型两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购买2块A型木板和3块B型木板共花费220元．
(1)A型木板与B型木板的进价各是多少元？
(2)根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200块，若一块A型木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型木板、2块D型木板，且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的．
①该木板加工厂有几种进货方案？
②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产出来的C型木板、D型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？
【答案】(1)A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块；(2)①该木板加工厂有4种进货方案；方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．②方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
【详解】
解：(1)设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块，
依题意，得：，
解得：．
答：A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块．
(2)①设购入A型木板m块，则购入B型木板(200-m)块，
依题意，得：，
解得：75≤m≤78．
∵m为整数， ∴m=75，76，77，78．
∴该木板加工厂有4种进货方案，
方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；
方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；
方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；
方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．
②方案1获得的利润为(75×2+125)×30+(75+125×2)×25-75×50-125×40=7625(元)，
方案2获得的利润为(76×2+124)×30+(76+124×2)×25-76×50-124×40=7620(元)，
方案3获得的利润为(77×2+123)×30+(77+123×2)×25-77×50-123×40=7615(元)，
方案4获得的利润为(78×2+122)×30+(78+122×2)×25-78×50-122×40=7610(元)．
∵7625＞7620＞7615＞7610，
∴方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
10．(2020·杭州市大关中学八年级期中)随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司销售每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A型号
B型号
第一周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
(1)求A，B两种型号的净水器的销售单价；
(2)若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A种型号：2500元/台，B种型号：2100元/台；(2)A种型号净水器最多能采购10台；(3)能，采购A型号净水器8，B型号净水器22台
【详解】
(1)可设A种型号净水器的销售单价是x元/台，B种型号净水器的销售单价是y元/台，
，
解得，
∴A种型号净水器的销售单价是2500元/台，B种型号净水器的销售单价是2100元/台；
(2)可设A种型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购(30-a)台，
2000a+1700(30-a)≤54000
解得a≤10
∴A种型号净水器最多能采购10台；
(3)A种型号净水器每台利润2500-2000=500元，B种型号每台利润2100-1700=400元
500×10+400×20=13000(元)˃12800元
能实现利润为12800元的目标．
设采购A型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购(30-a)台
500a+400(30-a)=12800
解得a=8
因此方案：采购A型号净水器8、B型号净水器22台．
13．(2019·太原师范学院附属中学八年级月考)在“文明礼貌暨安全教育月”活动中，师院附中拟组织八年级师生去台骀山景区参加登山活动，下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
张老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元.”
小芳：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到台骀山景区，一天的租金共计元.”
小明：“如果我们八年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车则可少租辆，最后一辆车并没有坐满，而且初步计算，我们租的车的数量大于辆.”
根据以上对话，解答下列问题：
客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
求出满足条件的的值.
若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？
【答案】元和元
租车方案有两种：
方案一：座辆，座辆
方案二：座辆，座辆
【详解】
解：设座和座的客车每辆每天的租金分别是元、元，
由题意得
解得
答：座和座的客车每辆每天的租金分别是元和元
由已知，七年级人数为人
由题意
解得
因为为整数
由七年级共人
设座和座车分别为辆辆
则
则有
解得
为可取至的整数
为整数
时，
时，
租车方案有两种：
方案一：座辆，座辆
方案二：座辆，座辆
第09章 重点突破训练：一元一次不等式(组)类型题举例
典例体系(本专题75题39页)
考点1：由不等式性质求字母范围
典例：(2020·浙江绍兴市·八年级期中)已知关于的不等式，两边同除以，得，试化简：．
【答案】-1
【详解】
解：因为，两边同除以，得，
所以，，
所以，
所以
方法或规律点拨
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出．
巩固练习
1．(2021·全国八年级)若，两边同除以后，变为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：若，两边同除以后，变为，
则的取值范围是．
故选：B．
2．(2020·浙江杭州市·八年级期中)如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
故选：A．
3．(2020·河北秦皇岛市·七年级期末)如果不等式的解集为，则必须满足的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：不等式的解集是，符号改变了，所以，即．
故选：B．
4．(2020·淮阳第一高级中学七年级期末)已知不等式的解集是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：不等式(a-3)x＜3-a的解集为x＞-1，
∴a-3＜0，
解得a＜3．
故选：C．
5．(2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考)已知关于x的不等式的解集为，化简的结果为______．
【答案】
【详解】∵的解集为，
∴，
∴．
故答案为：-a-2．
6．(2020·浙江八年级期中)若，且，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】
解：∵，而，
∴，即．
故答案是：．
考点2：不等式(组)解的归一问题
典例：(2020·浙江杭州市·杭州英特外国语学校八年级期中)已知关于x的不等式组的解集为，则的值为___________．
【答案】
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
由题意得：，
解得，
则，
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组，熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键．
巩固练习
1．(2020·陕西商洛市·七年级期末)如图，是关于x的不等式2x-m< -1的解集，则m的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解不等式2x-m< -1得： ，
因为由图可得不等式的解集为，
所以，
所以m=-1．
故选：D．
2．(2021·全国九年级)已知不等式 与不等式的解集相同，则_______．
【答案】
【详解】解： 解不等式得：，
解不等式得：，
两个不等式的解集相同，
，
．
故答案为：．
3．(2020·浙江嘉兴市·八年级期末)小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是，则被污染的数是__________．
【答案】−5
【详解】解：设被污染的数为a，不等式为1−3x＜a．
解得：x＞ ，
由已知解集为x＞2，得到＝2，
解得：a＝−5，
故答案为：−5
4．(2020·贵州安顺市·七年级期末)若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为_____．
【答案】
【解析】试题分析：根据解不等式，可得不等式3m﹣2x＜5的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得m=．
5．(2020·全国单元测试)关于的不等式的解为，则_______．
【答案】-2
【详解】
．
∵是该不等式的解，
∴，
解得，
故答案为：-2．
6．(2020·江西赣州市·七年级期末)若不等式的解集为，则a，b的值分别为_______________．
【答案】、
【详解】
解：∵不等式组的解集为2＜x＜3，
而解不等式组得-a＜x＜b，
∴-a=2，b=3，
即a=-2，b=3．
故答案为：、．
7．(2021·全国八年级专题练习)已知，关于x的不等式(2a-b)x+a-5b＞0的解集为x＜．
(1)求的值．
(2)求关于x的不等式ax＞b的解集．
【答案】(1)；(2)．
【详解】
(1)不等式可变形为，
此不等式的解集为，
，
则解不等式得：，
，
整理得：，
解得；
(2)由(1)可知，，，
则，解得，
故关于x的不等式的解集，即．
考点3：不等式(组)的整数解问题
典例：(2021·全国八年级专题练习)已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是___________．
【答案】2＜a≤3．
【详解】解：，
解不等式①得：x-a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为-a＜x＜1，
∵不等式组的整数解共有3个，即-2，-1，0，
∴-3≤-a＜-2，
∴2＜a≤3，
故答案是：2＜a≤3．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．
巩固练习
1．(2021·全国八年级专题练习)若实数是不等式的一个解，则可取的最小整数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，是不等式的一个解，
∴将代入不等式，得：，
解得：，
则可取的最小整数为，
故选：D.
2．(2021·浙江宁波市·八年级期末)已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
解不等式①得：x,
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是
∴-2≤<-1．
故选择：A．
3．(2021·浙江宁波市·八年级期末)满足不等式的正整数是______．
【答案】1
【详解】满足不等式的正整数是：1．
故答案是：1．
4．(2021·全国八年级专题练习)不等式的最大整数解是________．
【答案】-2
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原不等式的最大整数解为-2．
故答案为：-2．
5．(2021·浙江宁波市·八年级期末)不等式的非负整数解共有__个．
【答案】4
【详解】解：，
，
，
解得：，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为：4．
6．(2021·全国八年级专题练习)若关于x的一元一次不等式只有3个负整数解，则a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】∵关于x的一元一次不等式只有3个负整数解，
∴这三个负整数解只能是-1，-2，-3，
∴a的取值范围为，
故答案为：．
7．(2020·浙江八年级期末)若关于的不等式组．只有4个整数解，则的取值范围是_______．
【答案】
【详解】解：
由①得：，
由②得：
＞
关于的不等式组有解，
不等式组的解集为
不等式组只有4个整数解，
故答案为：
8．(2021·湖南邵阳市·八年级期末)若关于x的不等式组的解集中恰好有三个整数，则m的取值范围是___．
【答案】5≤m＜6
【详解】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：
∵不等式组恰有三个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
则5≤m＜6．
故答案为：5≤m＜6．
9．(2021·四川成都市·八年级期末)关于的不等式组有且只有4个整数解，则常数的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组只有4个整数解，
即不等式组只有4个整数解为﹣1、0、1、2，
则有，
解得：，
故答案为：
10．(2021·四川成都市·石室中学八年级期末)已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________．
【答案】0≤m＜1
【详解】
解： ，
解①得，
解②得x＞m，
则不等式组的解集是m＜x＜．
不等式组有2个整数解，则整数解是1，2．
则0≤m＜1．
故答案是：0≤m＜1．
考点4：一元一次方程与不等式的综合问题
典例：．(2021·全国八年级专题练习)m取何值时，关于x的方程的解大于1．
【答案】m＞2
【详解】
解：方程去分母得：x-2(6m-1)=6x-3(5m-1)，
去括号得：x-12m+2=6x-15m+3，
解得：x=，
根据题意得：，即3m-1＞5，
解得：m＞2．
巩固练习
1．(2021·全国七年级)已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是( )．
A．a＞-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案
【答案】C
【详解】
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1有一个负根
∴成立；
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1没有正根
∴不成立；
∴
故选：C．
2．(2020·安岳县石羊镇初级中学七年级期中)关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解方程得：，
由题意得：，解得： ，
故选：D．
3．(2021·全国八年级专题练习)若关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是( )
A． B． C．a为任何实数 D．a为大于0的数
【答案】A
【详解】解：∵3x+3a=2，
∴x= ，
又∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴a＜.
故选：A.
4．(2021·全国八年级专题练习)已知关于x的方程：的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的值有( )种．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】解：
∵方程的解是非正整数，
∴
∴
∴或2或4或8
∴a=0或2或-2，共3个
故选：A
5．(2021·全国八年级专题练习)(1)关于的方程 与方程的解互为倒数，求的值．
(2)已知关于的方程的解适合不等式，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【详解】
解：(1)
解方程得：，
两个方程解是互为倒数，
另一个解为：，
将代入方程，
得：，
解得：．
故的值为．
(2)
，
方程的解适合不等式，
将代入，得：
故的取值范围为：．
考点5：确定不等式组字母系数范围
典例：(2021·全国七年级)已知不等式组无解，则的取值范围为__．
【答案】
【详解】
解：不等式组无解，
，
解得：，
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．
巩固练习
1．(2021·广东阳江市·九年级一模)若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为( )
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【答案】C
【详解】
由，
解得：，
又∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
故选C
2．(2021·全国八年级专题练习)若不等式组无解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到．
故选：D．
3．(2020·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考)若关于的一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：解不等式2x-1＞3x+2，得：x＜-3，
∵不等式组的解集为x＜-3，
∴m≥-3．
故选：A．
4．(2021·贵州铜仁市·八年级期末)若不等式组的解集是，则m的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：
由①得：＞
＜
由②得：
不等式组的解集是，
故答案为：
5．(2021·全国八年级专题练习)若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________．
【答案】
【详解】
解：对不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
考点6：方程组与不等式组的综合问题
典例：(2020·河北唐山市·七年级期末)已知关于，的方程组，其中，下列结论：
①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【详解】
由，解得
∵
∴，
①当时，解得，故①正确；
②不是方程组的解，故②错误；
③当时，解得，此时，故③正确；
④若，即，解得，故④正确；
故选D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键．
巩固练习
1．(2019·保定市第三中学分校八年级期中)若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将两个方程相加可得3x+3y=3-m，
∴x+y=，
∵x+y＞0，
∴＞0，
解得m<3，
故选：B．
2．(2021·四川省九龙县中学校八年级期末)已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【详解】解：
①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得
4m-2+4-5m＞8，
∴m＜-6，
故答案为：m＜-6．
3．(2020·浙江八年级期末)若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
【答案】a＞-4
【详解】
，
由②-①得：2y−2x＝2−a，
∵，则，
∴2−a＜6，
∴a＞-4，
故答案是：a＞-4．
4．(2021·全国八年级专题练习)若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为________．
【答案】．
【详解】解：，
直接把两个方程相加，得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
5．(2020·嵊州市马寅初初级中学八年级期中)关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】，由①－②得，
建立不等式，解得，
故答案为：．
6．(2021·全国八年级)关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1，则m的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
，
两个方程相加得：，即，
由题意得：，
解得，
故答案为：．
7．(2019·山西七年级期末)若关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的取值范围是____________．
【答案】
【详解】
①-②得：，
将代入②得：，
∵，
∴ +，
∴．
故答案为：．
8．(2020·浙江杭州市·九年级期中)已知
(1)若，求m的值；
(2)求关于的表达式；
(3)若，求的值的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)．
【详解】
(1)由题可知：，
．
(2)∵，
∴，代入中．
∴．
(3)由题可知，
解得：．
由(1)知，
∴，即．
9．(2021·全国八年级专题练习)已知方程组的解满足条件，，求的取值范围．
【答案】
【详解】
②×2-①得：，
把代入②得：，
∵，，
∴，
解得：．
10．(2021·全国八年级专题练习)已知点的坐标满足方程组且点在第四象限．
(1)请用含的代数式表示；
(2)请求出的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】
解：(1)由，可得：
①＋②可得：；
(2)由(1)得：，
∴把代入①可得：，解得：，
∵点在第四象限，
∴，解得：．
11．(2021·全国八年级专题练习)关于x，y的方程组的解都是非正数，求m的取值范围．
【答案】．
【详解】
，
由①②得：，即，
由①②得：，即，
此方程组的解都是非正数，
，即，
解得．
考点7：解不等式(组)
典例：(2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试)(1)解不等式：
(2)解不等式组，并在数轴上表示解集
【答案】(1)，(2)．
【详解】
解：(1)，
去分母得，，
移项得，，
系数化为1得，，
(2)，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式(组)，解题关键是熟练解不等式和利用数轴确定不等式组的解集．
巩固练习
1．(2021·浙江湖州市·八年级期末)解不等式．并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；图见解析
【详解】
去括号，得:
移项，合并同类项得:，
．
在数轴上表示为：
2．(2021·全国八年级专题练习)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【详解】，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
在数轴上表示此不等式的解集如图：
3．(2021·全国八年级专题练习)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
(1) (2)
【答案】(1)，数轴表示见解析；(2)，数轴表示见解析．
【详解】
解：(1)，
移项得，
合并得，
系数化为1得；
(2)
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1得．
在数轴上表示为：
4．(2020·杭州市大关中学八年级期中)解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，在数轴上表示见解析；(2)，在数轴上表示见解析
【详解】解：(1)移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)去分母，得，
去括号，得，
移项，，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
不等式的解集在数轴上表示如下：
5．(2020·江苏苏州市·苏州草桥中学七年级月考)解下列不等式：
(1)；(2)．
【答案】(1)x≤−3(2)x＞−1．
【详解】
(1)
去括号，得3−3x≥2x＋18，
移项，得−3x−2x≥18−3，
合并同类项，得−5x≥15，
系数化成1得：x≤−3．
(2)
去分母，得10−2(2−3x)＞5(1＋x)，
去括号，得10−4＋6x＞5＋5x，
移项，得6x−5x＞5−10＋4，
合并同类项，得x＞−1．
6．(2021·北京师范大学株洲附属学校八年级期末)解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】-2≤x＜2，数轴表示见解析
【详解】
解：，
由①得x<2，
由②得x≥-2，
所以原不等式组的解集为-2≤x＜2，
数轴表示：
7．(2020·浙江八年级期末)解不等式(1)7+2x>6．(2)解不等式组
【答案】(1)(2)
【详解】
解：(1)
解得：；
(2)
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
8．(2020·浙江八年级期末)解下列一元一次不等式(组)：
(1)，并把它的解表示在数轴上．
(2)．
【答案】(1)x＜1，数轴见解析；(2)
【详解】
解：(1)移项得，6x-9x＞-4+1，
合并同类项得，-3x＞-3，
系数化为1，得：x＜1，
表示在数轴上如下：
(2)
解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x5，
则不等式组的解集为；
9．(2021·湖南益阳市·八年级期末)已知不等式组．
(1)求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)在(1)的条件下化简．
【答案】(1)，见解析；(2)．
【详解】
解：(1)解不等式①，得：
，
解不等式②，得：
，
解集表示在数轴上如下：
不等式组的解集为；
(2)由(1)知，
．
考点8：方程(组)与不等式(组)的实际应用问题
典例：(2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考)某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价．
(2)若A、B两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，且费用不多于5400元．
①最多能采购A种型号的电风扇多少台？
②设超市销售完这30台电风扇所获得的利润为W元，试问利润能否达到1400元？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)250元；210元；(1)①10台；②不能，理由见解析．
【详解】
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
(2)①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，
依题意得：
解得：，
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．
②不能实现．
依题意有：，
解得：，
∵，
∴超市不能实现利润1400元的目标．
方法或规律点拨
此题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
巩固练习
1．(2020·浙江八年级期末)某厂贷款8万元购进一台机器生产商品.已知商品的成本每个8元，成品后售价是每个15元，应付税款和损耗总费用是销售额的.若每个月能生产销售1000个该商品，问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？
【答案】20
【详解】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款
则
解得：
答：至少20个月后能赚回这台机器的贷款.
2．(2021·浙江杭州市·八年级期末)某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的水果损耗，该水果店以a元/千克的标价出售该种水果．
(1)为避免亏本，求a的最小值．
(2)若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a的最小值．
【答案】(1)a的最小值为20；(2)．
【详解】
解：(1)由题意得：
，
解得，即a的最小值为20；
(2)由题意得:
，
解得．
3．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)台州某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是5名参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
不答题数
答错题数
得分
A
15
3
2
79
B
19
0
1
94
C
18
1
1
91
D
16
2
2
82
E
18
2
0
94
(1)由表格知，不答一题得________分，答错一题扣_________分．
(2)某参赛者F一共对了14题，不答题数与总得分有何关系？
(3)某参赛者G答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对了几道题？
(4)在前10道题中，参赛者N答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【答案】(1)2；1；(2)不答题数=(总得分-64)3；(3)13；(4)至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分；理由见解析
【详解】
(1)由可知，不答一题的得分为：，
由可知，答错一题的得分为：；
答：不答一题得2分，答错一题扣1分．
(2)设不答题数为，
∴答错题数为，
∴总得分，
总得分，
总得分，
∴不答题数与总得分关系为：不答题数=(总得分-64)3；
(3)设该选手不答题数为，
∴则答错题数为，
∴答对题数为道，
∴，
解得：，
∴答对题数；
(4)前10道题得分为：分，
设后10道题答对道题，
则，，
解得：，
∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．
4．(2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末)近两年，重庆市奉节县紧紧围绕“村有骨干产业、户有致富门路”的发展思路，大力实施农产品产业扶贫项目，实现助农增收其中“乡坛子”什锦套菜礼盒、奉节脐橙10km装广受好评，单价分别为100元/盒和60元/盒．
(1)某公司大力响应扶贫政策，准备用不低于15000元购买什锦套菜礼盒、奉节脐橙共200盒，则至少购入什锦套菜礼盒多少盒？
(2)2021年春节将至，该公司准备再次购入以上两种产品作为员工新春福利．恰逢“学习强国”重庆学习平台开展“党员直播带货、‘渝’你抗疫助农”扶贫农产品公益直播活动．直播中，什锦套菜礼盒以原价8折销售，该公司购买数量在(1)问最少数量的基础上增加了；奉节脐橙售价比原价降低了元，购买数量在(1)问奉节脐橙最多数量的基础上增加了40%．该公司在直播间下单后实际花费比(1)问中最低花费增加2350元，求m的值．
【答案】(1)至少购入什锦套菜礼盒盒；(2)．
【详解】
(1)设购进什锦套菜礼盒x盒，则购进奉节脐橙礼盒(200-x)盒，
根据题意得：，
解得：．
答：至少购入什锦套菜礼盒盒；
(2)根据题意得：
，
整理得：，
解得：．
5．(2021·湖北省武汉市外国语学校美加分校九年级期末)某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【答案】(1)一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；(2)25个
【详解】
解：(1)设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
，解得，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元．
(2)设需要购买a个甲种笔记本，
，
解得：，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
6．(2021·全国八年级)某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒(不少于5盒)．
(1)请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用 ；去乙店购买所需的费用 ．(结果要求化简)
(2)当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；
(3)试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？
【答案】(1)(12x+180)元，(10.8x+216)元；(2)去乙商店购买较为合算；(3)当购买乒乓球的盒数x多于30盒时，去乙商店购买更划算；当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算
【详解】
解：(1)在甲店购买的费用为48×5+(x﹣5)×12=(12x+180)元，
在乙店购买的费用为48×5×0.9+12×0.9x=(10.8x+216)元，
故答案为：(12x+180)元，(10.8x+216)元；
(2)当x=40时，12x+180=12×40+180=660元，
10.8×40+216=648元，
∵648＜660，
∴去乙商店购买较为合算；
(3)由12x+180＞10.8x+216得：x＞30，
由12x+180=10.8x+216得：x=30，
由12x+180＜10.8x+216得：x＜30，
故当购买乒乓球的盒数x超过30盒时，去乙商店购买更划算，当购买乒乓球的盒数x等于30盒时，去两家商店购买都划算；当购买乒乓球的盒数x少于30盒且不少于5盒时，去甲商店购买更划算．
7．(2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末)2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：
第一批
第二批
型货车的辆数(单位：辆)
8
10
型货车的辆数(单位：辆)
4
25
累计运输物资的吨数(单位：吨)
128
400
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了262.4吨生活物资，现已联系了6辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【答案】(1)A：10吨，B：12吨；(2)至少需要B型17辆
【详解】
(1)设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，12吨生活物资
(2)设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得.
解得
又m为整数，
∴m最小取17，
∴至少还需联系17辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
8．(2020·黑龙江大庆市·九年级期末)某商店有商品和商品，已知商品的单价比商品单价多12元，若购买400件B商品与购买100件A商品所用钱数相等．
(1)求，两种商品的单价分别是多少元．
(2)已知该商店购买商品的件数比购买商品的件数的2倍少4，如果需要购买，两种商品的总件数不少于32，且该商店购买的，两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？说明理由．
【答案】(1)A种商品的单价为16元，B种商品的单价为4元；
(2)有两种方案：方案(1)：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案(2)：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
【详解】
设B种商品的单价为x元，则A种商品的单价为(x+12)元，
由题意得： ，
解得x=4，
则x+12=16(元)，
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为(2m﹣4)件，
由题意得： ，
解得：12≤m≤13，
∵m是整数，
∴m=12或13，故有如下两种方案：
方案(1)：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案(2)：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
9．(2021·全国七年级)2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进、两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．
(1)求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
(2)小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，小丹准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；(2)有4种进货方案，方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．方案4费用最低，最低费用为1150元．
【详解】
解：(1)设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，
依题意，得：，
①②得，
把代入①中，得
．
答：型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；
(2)设购进型风扇台，则购进型风扇台，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取72、73、74、75，
小丹共有4种进货方案，方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．
型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价，
方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，
最低费用为元．
10．(2021·全国七年级)为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元，购买2个型垃圾箱比购买3个型垃圾箱少用160元．
(1)每个型垃圾箱和型垃圾箱分别是多少元？
(2)若该小区物业计划用低于2150元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【答案】(1)每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元；(2)有2种购买方案．
【详解】
解：(1)设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
依题意，得：，
解得：，
答：每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元；
(2)设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
依题意，得：，
解得：，
又为整数，
可以为6，7，
有2种购买方案．
11．(2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考)某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型，D型两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购买2块A型木板和3块B型木板共花费220元．
(1)A型木板与B型木板的进价各是多少元？
(2)根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200块，若一块A型木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型木板、2块D型木板，且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的．
①该木板加工厂有几种进货方案？
②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产出来的C型木板、D型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？
【答案】(1)A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块；(2)①该木板加工厂有4种进货方案；方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．②方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
【详解】
解：(1)设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块，
依题意，得：，
解得：．
答：A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块．
(2)①设购入A型木板m块，则购入B型木板(200-m)块，
依题意，得：，
解得：75≤m≤78．
∵m为整数， ∴m=75，76，77，78．
∴该木板加工厂有4种进货方案，
方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；
方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；
方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；
方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．
②方案1获得的利润为(75×2+125)×30+(75+125×2)×25-75×50-125×40=7625(元)，
方案2获得的利润为(76×2+124)×30+(76+124×2)×25-76×50-124×40=7620(元)，
方案3获得的利润为(77×2+123)×30+(77+123×2)×25-77×50-123×40=7615(元)，
方案4获得的利润为(78×2+122)×30+(78+122×2)×25-78×50-122×40=7610(元)．
∵7625＞7620＞7615＞7610，
∴方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
10．(2020·杭州市大关中学八年级期中)随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司销售每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A型号
B型号
第一周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
(1)求A，B两种型号的净水器的销售单价；
(2)若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A种型号：2500元/台，B种型号：2100元/台；(2)A种型号净水器最多能采购10台；(3)能，采购A型号净水器8，B型号净水器22台
【详解】
(1)可设A种型号净水器的销售单价是x元/台，B种型号净水器的销售单价是y元/台，
，
解得，
∴A种型号净水器的销售单价是2500元/台，B种型号净水器的销售单价是2100元/台；
(2)可设A种型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购(30-a)台，
2000a+1700(30-a)≤54000
解得a≤10
∴A种型号净水器最多能采购10台；
(3)A种型号净水器每台利润2500-2000=500元，B种型号每台利润2100-1700=400元
500×10+400×20=13000(元)˃12800元
能实现利润为12800元的目标．
设采购A型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购(30-a)台
500a+400(30-a)=12800
解得a=8
因此方案：采购A型号净水器8、B型号净水器22台．
13．(2019·太原师范学院附属中学八年级月考)在“文明礼貌暨安全教育月”活动中，师院附中拟组织八年级师生去台骀山景区参加登山活动，下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
张老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元.”
小芳：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到台骀山景区，一天的租金共计元.”
小明：“如果我们八年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车则可少租辆，最后一辆车并没有坐满，而且初步计算，我们租的车的数量大于辆.”
根据以上对话，解答下列问题：
客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
求出满足条件的的值.
若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？
【答案】元和元
租车方案有两种：
方案一：座辆，座辆
方案二：座辆，座辆
【详解】
解：设座和座的客车每辆每天的租金分别是元、元，
由题意得
解得
答：座和座的客车每辆每天的租金分别是元和元
由已知，七年级人数为人
由题意
解得
因为为整数
由七年级共人
设座和座车分别为辆辆
则
则有
解得
为可取至的整数
为整数
时，
时，
租车方案有两种：
方案一：座辆，座辆
方案二：座辆，座辆
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