人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课后测评

这是一份人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课后测评，共32页。试卷主要包含了方程在自然数范围内的解有，二元一次方程在自然数范围内的解等内容，欢迎下载使用。

第08章 重点突破训练：二元一次方程组类型题举例
典例体系(本专题共65题32页)

考点1：不定方程的整数解
典例：(2020·江苏盱眙·初一期末)把60个乒乓球分别装在两种不同型号的盒子里(两个盒子必须都装)，大盒装6个，小盒装4个，当把乒乓球都装完的时候恰好把盒子都装满，那么不同的装球方法有( )．
A．2种 B．4种 C．6种 D．8种
【答案】B
【解析】假设大盒有x个，小盒有y个
根据题意得：
结合题意，x和y均为正整数
当时，，不符合题意
当时，，符合题意
当时，，不符合题意
当时，，符合题意
当时，，不符合题意
当时，，符合题意
当时，，不符合题意
当时，，符合题意
当时，，不符合题意
当时，，不符合题意
∴共有4种装球方法
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的性质并运用到实际问题中，从而完成求解．
巩固练习
1．(2019·浙江温岭·初一期末)疫情期间，小王购买，两种不同的口罩对比试用，价格分别为每只2元和3元，一共花了24元，则有( )种不同的购买方案．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：设买x个A口罩，y个口罩，由题意得，
2x+3y=24，
整理得：，
因为买了两种不同的口罩，所以x、y都是正整数，y必须是偶数，
所以y=2时，x=9；
y=4时，x=6；
y=6时，x=3；
综上所述，符合题意的x、y的整数解共有3组，所以共有3种不同的购买方案．
故选：C．
2．(2020·河北昌黎·初一期末)方程在自然数范围内的解有( )
A．只有1组 B．只有4组 C．无数组 D．以上都不对
【答案】B
【解析】方程变形得：x＝7－2y，
当y＝0时，x＝7；y＝1时，x＝5；y＝2时，x＝3；y＝3时，x＝1，
则方程在自然数范围内的解为，，，．
故选B．
3．(2020·珠海市第八中学初一期中)小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】C
【解析】解：设买了x支钢笔，y支圆珠笔，
根据题意得：5x+2y＝30，
∵x、y是正整数，
∴或，
∴小明共有2种购买方法．
故选：C．
4．(2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初一期中)关于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非负整数解的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】方程
解得：
当时，
当时，
当时，
当时，
综上，二元一次方程的非负整数解的个数有4个
故选：C.
5．(2020·四川高坪·初一期末)二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：2x+3y=15，
解得：x=，
当y=1时，x=6；当y=3时，x=3，
则方程的正整数解有2对．
故选：B
6．(2020·石家庄市第二十七中学初一期中)二元一次方程在自然数范围内的解( )
A．有无数组 B．只有1组 C．只有3组 D．只有4组
【答案】C
【解析】解：将x=0代入方程得：y=8.5；
将x=1代入方程得：y=7；
将x=2代入方程得：y=5.5；
将x=3代入方程得：y=4；
将x=4代入方程得：y=2.5；
将x=5代入方程得：y=1，
则二元一次方程在自然数范围内的解只有3组．
故选：C．
7．(2020·河南初一期末)将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有(　　)
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】C
【解析】解：设兑换成10元x张，20元的零钱y元，由题意得：
10x+20y=100，
整理得：x+2y=10，
方程的整数解为：
方程的整数解为：
因此兑换方案有6种，
故选C．
8．(2020·浙江萧山·初一期末)现有1角、5角、1元硬币共16枚，总值8元．则5角的硬币是____枚．
【答案】7．
【解析】解：设1角的硬币有x枚，5角的硬币有y枚，则1元的硬币有(16﹣x﹣y)枚，
依题意，得：x+5y+10(16﹣x﹣y)=80，
∴y=16﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴x=5，y=7．
故答案为：7．
9．(2020·江苏沭阳·初一期末)二元一次方程的非负整数解有_____组
【答案】3
【解析】解：，
，
，
所以负的非负整数解是：，，，共3组，
故答案为：3．
10．(2020·河北霸州·初一期末)把一根长为的电线剪成和长的两种规格的电线(每种规格的电线至少有一条)．设截成长的电线根，长的电线根，根据题意可列方程为，若剪出根长的电线后，剩余部分刚好剪成长的电线_________根．
【答案】
【解析】解：把y=7代入方程得：
解得：
则剩余部分刚好剪成长的电线6根；
故答案为：6
考点2：含有字母系数的二元一次方程组
典例：(2020·株洲景炎学校初一期中)已知关于x，y的二元一次方程(a为实数)
(1)若方程组的解始终满足，求a的值；
(2)已知方程组的解也是方程的解
①探究实数a，b满足的关系式；②若a，b都是整数，求满足①中所有整数a、b的值．
【答案】(1)2；(2)①ab+6a=3；②a=3，b=-5或a=-3，b=-7或a=1，b=-3或a=-1，b=-9
【解析】解：(1)，
②-①得：3y=6a-3，即y=2a-1，
把y=2a-1代入y=a+1中得：2a-1=a+1，
解得：a=2；
(2)①把y=2a-1代入方程组第一个方程得：x=a+2，
方程组的解为，
代入得：ab+6a-3=0，即ab+6a=3；
②由ab+6a=3可得：a=，
∵a，b都是整数，
∴b+6=1或-1或3或-3，
当b+6=1，即b=-5时，a=3，
当b+6=-1，即b=-7时，a=-3，
当b+6=3，即b=-3时，a=1，
当b+6=-3，即b=-9时，a=-1．
方法或规律点拨
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解法以及性质是解题的关键.
巩固练习
1．(2020·江苏句容·初一期末)已知方程组的解满足，则整数k的最小值为( )
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】C
【解析】，
①+②得：，
，
∵方程组的解满足，
∴，
解得：，
∴整数k最小值是，
故选：C．
2．在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是()
A．当时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当时解得为的倍
C．，满足关系式 D．不存在自然数使得，均为正整数
【答案】D
【解析】解：A、当a＝2时，方程组为
，
①＋②×2得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝−1，
则x＋y＝1−1＝0，
即方程的两根互为相反数，
∴A选项不符合题意；
B． 当x=2y时，原方程组可变为：

解得：
∴当且仅当时解得为的倍；
∴B选项不符合题意．
C．，
①＋②×2得：7x＝5a−3，
解得：x＝，y＝，
∵x−5y＝，正确，
∴C选项不符合题意；
D、由C可知：x＝，y＝，
要使x为自然数，可得5a−3＝7，14，21，…；同理a−9＝7，14，21，…，
当a＝16时，x＝11，y＝1，
所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
3．(2020·南阳市实验学校初一月考)七班“奋斗组”关于，的方程组，进行小组下面是两名成员得出的结论：
小明：是方程组的解；
小东：不论取什么实数，的值始终不变．
请判断这两名组员的结论是否正确，并说明理由．
【答案】小明的结论不正确，小东的结论正确，理由见解析
【解析】解：小明：将代入方程组中得：，
解①得：a=2，
解②得：a=，
故小明的说法错误；
小东：，
③-④得：8y=4-4a，
解得y=，
将y=代入③得x=，
x+y=+=3，
即不论a取什么实数，x+y的值始终不变，
故小东的说法正确．
4．(2020·绍兴市文澜中学初一期中)若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值．
【答案】
【解析】解：由方程组得：，
∵ 此方程组的解也是方程2x+3y＝6的解
∴ 2×7k+3×(﹣2k)＝6，即8k=6，
解得：，
故k的值为．
5．(2020·河南宛城·初一月考)八年级(1)班“奋斗组”对关于的方程组进行讨论，下列是两个小组成员分别得出的结论：
小金：是方程组的解；
小蝶：不论取什么实数，的值始终不变．
请问“奋斗组”的两名成员谁的结论是正确的，谁的结论是错误的？并说明理由．
【答案】小蝶的说法正确，小金的说法错误，理由见解析
【解析】解：小金：将代入方程组中得：，
解①得：a=2，
解②得：a=，
故小金的说法错误；
小蝶：，
①-②得：8y=4-4a，
解得y=，
将y=代入①得x=，
x+y=+=3，
即不论a取什么实数，x+y的值始终不变，
故小蝶的说法正确．
6．(2020·石家庄市第二十七中学初一期中)已知关于，的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【解析】解：(1)方程，
解得：，
当时，；，；
∴方程组的正整数解为：
(2)联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：；
(3)由题意得，方程组的解和无关，所以的系数为0，即，
代入方程得：，即，
∴其公共解为．
考点3：二元一次方程组的特殊解法
典例：(2020·湖北初一期末)阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法)，那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得
，得
把代入(3)得，即
所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程(3)．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
【答案】
【解析】解：
②−①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③，
①−③×7得：4y＝8，解得：y＝2，
把y＝2代入③得：x＝−1，
所以原方程组的解为：．
法或规律点拨
本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．方巩固练习
1．(2020·湖南邵东·期末)已知是方程组的解，则的值是(　　)
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解析】将代入，
可得：，
两式相加：，
故选A．
2．(2020·珠海市第八中学初一期中)已知方程组，则( )
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在方程组，
①-②得：．
故选：C．
3．(2019·浙江温岭·初一期末)若方程组的解为，则方程组的解为______．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∵方程组的解为，
∴，
∴，
故答案为：．
4．(2020·湖北广水·初一期末)若方程组的解是，则方程组的解是____________．
【答案】
【解析】解：∵方程组 的解是
∴方程组的解是，即
故答案为：．
5．(2020·珠海市文园中学初一期中)已知，则x+y﹣2020＝_____．
【答案】-2017
【解析】解：，
①+②得，5x+5y＝15，即x+y＝3，
所以，x+y﹣2020＝3﹣2020＝﹣2017．
故答案为﹣2017．
6．(2020·绍兴市昌安实验学校初一期中)如果关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【解析】解： 由方程组可得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，解得，
故答案为．
7．(2020·吉林铁东·初一期末)若方程组的解适合x+y＝2，则k的值为____．
【答案】3
【解析】

①+②得
5x+5y=5k-5,
∴x+y=k-1,
∴k-1=2,
∴k=3.
8．(2020·孟津县双语实验学校初一月考)阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组．
解：由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
从而可得，
原方程组的解是．
(1)请你仿照上面的解题方法解方程组：；
(2)请大胆猜测关于x，y的方程的解是什么？(不用写解答过程)
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)，
由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
从而可得，
原方程组的解是．
(2)根据题干和(1)的结果，
猜测方程的解是．
9．(2020·山东初一期末)先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2(2x+5y)+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×(﹣1)＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
【答案】
【解析】解：，
将②变形，得，
即，
把①代入③，得3×5+y＝12，解得，
把代入①，得，解得，
则原方程组的解为．
考点4：古典文化中的二元一次方程组
典例：(2019·北京怀柔·初一期末)《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”请列方程组解决此问题．
【答案】人数为7人，鸡的价钱为53钱
【解析】
【分析】
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】
解：设人数为x人，鸡的价钱为y钱，根据题意，列方程组得：
．
解方程组得．
答：人数为7人，鸡的价钱为53钱．
方法或规律点拨
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
巩固练习
1．(2020·吉林长春·初三一模)《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如果设木条长尺，绳子长尺，
根据题意得：．
故选：．
2．(2020·重庆初二开学考试)我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一道题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马二牛价不满一万，如半牛之价．1问牛、马价各几何？”其大意是：今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足1000钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？若设每头牛的价格为x钱，每匹马的价格为y钱，则根据题意列方程组正确的为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意，
故选：C．
3．(2020·湖南邵东·初三三模)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设绳长尺，长木为尺，
依题意得，
故选B．
4．(2020·浙江东阳·初一期末)《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为(　　)

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为；
故选：B．
5．(2019·吉林吉林·初三月考)我国古代有这样一个数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？大意是：用绳测量井深，若将绳子折成三等分(如图1)，则一份绳长比并深多尺；若将绳子折成四等分(如图2)，则一份绳长比井深多尺，求绳长和井深各是多少尺．

【答案】绳长是尺，井深是尺
【解析】解:设绳长是尺，井深是尺
依据题意，得
解这个方程组，得
苍:绳长是尺，井深是尺.
6．(2020·江西)唐朝的高彦休在《唐阙史》中讲述了这样一则故事，尚书杨损在选拔官员时出了一道数学题：一位行人傍晚经过一片树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是群窃贼在讨论分赃之事，只听得窃贼说：每人6匹，则多出5匹；每7匹又少了8匹．试问：窃贼共有几人？赃物共有几匹？
【答案】窃贼13人，赃物83匹
【解析】设窃贼共有x人，赃物共有y匹，
由题意得：，解得：，
答：窃贼共有13人，赃物共有83匹．
7．(2020·安徽马鞍山·初三二模)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？
【答案】每枚黄金重两，每枚白银重两
【解析】(1)设每枚黄金重两，每枚白银重两，
根据题意，得
解得
答：每枚黄金重两，每枚白银重两．
8．(2019·浙江衢州·初一期中)列方程(组)解应用题：
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？
【答案】有人，该物品价值元．
【解析】设有人，该物品价值元，
根据题意得：
解得：．
答：有人，该物品价值元．
9．(2019·江西初三二模)《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各为多少升？
【答案】上禾每束之实8升，下禾每束之实3升
【解析】解：设上、下禾每束之实各为升和升．
依题意，得．
解得．
答：上禾每束之实8升，下禾每束之实3升．
10．(2019·河北磁县·初一期末)在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
【答案】这个两位数是36．
【解析】设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y,
根据题意，得
解得
答：这个两位数是36.
故答案是：这个两位数是．
考点5：二元一次方程组在营销问题中的应用
典例：(2020·莆田擢英中学初一月考)小李在某商场购买两种商品若干次(每次商品都买) ，其中前两次均按标价购买，第三次购买时，商品同时打折．三次购买商品的数量和费用如下表所示：

购买A商品的数量/个
购买B商品的数量/个
购买总费用/元
第一次



第二次



第三次



(1)求商品的标价各是多少元？
(2)若小李第三次购买时商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
(3)在(2)的条件下，若小李第四次购买商品共花去了元，则小李的购买方案可能有哪几种？
【答案】(1)商品标价为80元, 商品标价为100元. (2)商场打六折出售这两种商品.
(3)有3种购买方案,分别是A商品5个,B商品12个;A商品10个,B商品8个;A商品15个,B商品4个.
【解析】解: (1)设商品标价为元, 商品标价为元,
由题意得,
解得.
所以商品标价为80元, 商品标价为100元.
(2)由题意得,元,
,
所以商场是打六折出售这两种商品.
(3)商品折扣价为48元, 商品标价为60元
由题意得,,
化简得, ,
,
由于与皆为正整数,可列表:

15
10
5

4
8
12
所以有3种购买方案.
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
巩固练习
1．(2019·保定市第三中学分校期末)目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3800元购进节能灯120只，这两种节能灯的进价、售价如表：

进价(元/只)
售价(元/只)
甲种节能灯
30
40
乙种节能灯
35
50
(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只?
(2)全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元?
【答案】(1)甲、乙两种节能灯各进80只，40只；(2)该商场获利1400元
【解析】(1)设甲种节能灯进了x只，乙种节能灯进了y只，
依题意得：，
解得：，
答：甲、乙两种节能灯各进80只，40只；
(2)由题意可得，
该商场获利为：(40-30)×80+(50-35)×40=800+600=1400(元)，
答：该商场获利1400元．
2．(2020·湖南岳阳·初一期末)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1720元，其中甲水果13元/千克，乙水果16元/千克；6月份，这两种水果的价格上调额为：甲种水果15元/千克，乙种水果20元/千克．该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，却多支付货款280元，
(1)求该店6月份购进甲、乙两种水果分别多少千克？
(2)该店6月份甲种水果售价为20元/千克，乙种水果售价是26元/千克，在甲种水果出售55千克、乙种水果全部售完后，商店决定对甲水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为400元，问甲种水果打几折？
【答案】(1)该店6月份购进甲、乙两种水果分别是120千克，10千克；(2)甲种水果打8折．
【解析】(1)设该店6月份购进甲、乙两种水果分别是x千克，y千克，
由题意可得，
解得：，
答：该店6月份购进甲、乙两种水果分别是120千克，10千克；
(2)设甲种水果打m折，
由题意可得：400＝(26−20)×10＋(20−15)×55＋(20×−15)×(120−55)，
∴m＝8，
答：甲种水果打8折．
3．(2019·浙江嵊州·初一期中)某大型超市投入15000元资金购进、两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：
类别/单价
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
A品牌
20
32
B品牌
35
50
(1)该大型超市购进、品牌矿泉水各多少箱？
(2)全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润？
【答案】(1)该超市进品牌矿泉水400箱，品牌矿泉水200箱；(2)该超市共获利润7800元．
【解析】解：(1)设该超市进品牌矿泉水箱，品牌矿泉水箱，
依题意，得：，
解得：．
答：该超市进品牌矿泉水400箱，品牌矿泉水200箱．
(2)(元)
答：该超市共获利润7800元．
4．(2020·河南内乡·初一期中)某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，5个福娃2枚徽章145元，10个福娃3枚徽章280元(5个福娃为1套)，则：
(1)一套“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？
(2)买5套“福娃”玩具和10枚徽章共需要多少元？
【答案】(1)一套“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元；(2)买5套“福娃”玩具和10枚徽章共需要725元．
【解析】(1)设一套“福娃”玩具的价格为x元，一枚徽章的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：一套“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．
(2)125×5+10×10＝725(元)．
答：买5套“福娃”玩具和10枚徽章共需要725元．
5．(2020·珠海市第八中学初一期中)为备战体育中考，学校新购买一批排球和实心球，在某体育用品商店，若购买10个排球和20个实心球需用960元，若购买20个排球和10个实心球需用1380元．
(1)排球、实心球的单价各是多少元？
(2)寒假期间，该店开展了促销活动，所有商品一律九折销售．则购买20个排球和20个实心球实际共需要花费多少元？
【答案】(1)排球的单价为60元，实心球的单价为18元；(2)购买20个排球和20个实心球实际共需要花费1404元
【解析】(1)设排球的单价为x元，实心球的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
答：排球的单价为60元，实心球的单价为18元．
(2)60×0.9×20+18×0.9×20＝1404(元)．
答：购买20个排球和20个实心球实际共需要花费1404元．
6．(2020·江苏海安·初一期中)温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1 000个四季柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．
(1)若销售a箱纸盒装和a袋编织袋装四季柚的收入共950元，求a的值；
(2)当销售总收入为7 280元时：
①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋．
②若该经销商留下b(b>0)箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求b的值．

【答案】(1) a＝5；(2)①纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋；②b为9.
【解析】(1)由题意得64a＋126a＝950，得a＝5.
(2)①设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋．
由题意得
解得
∴纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋．
②当8x＋18y＝1 000时，得x＝＝125－，由题意得64＋126y＝7 280，得y＝40－.
∵x，y，b都为整数，且x≥0，y≥0，b＞0，
∴b＝9，x＝107，y＝8.∴b为9.
7．(2020·广东省四会市星华学校初一期末)某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价
成本价
销售价(元/箱)
甲
24
36
乙
33
48
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
【答案】(1)商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱(2)该商场共获得利润6600元
【解析】(1)设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，
由题意得：，
解得：，
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；
(2)300×(36−24)+200×(48−33)=3600+3000=6600(元)，
答：该商场共获得利润6600元．
8．(2020·浙江上虞·初一期末)确保室内空气新鲜，一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共160台，A型号净化器进价是1500元/台，B型号净化器进价是3500元/台，购进两种型号净化器共用去360000元．
(1)求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？
(2)为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台净化器的毛利润达到110000元，求每台A型号净化器的售价．(注：毛利润=售价-进价)
【答案】(1)商场购进A型号净化器100台，B型号净水器60台；(2)每台A型号净化器的售价为2000元．
【解析】解：(1)设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，
依题意，得：
，
解得：．
答：商场购进A型号净化器100台，B型号净水器60台．
(2)设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为2m元，
依题意，得：100m+60×2m=110000，
解得：m=500，
∴1500+m=2000．
答：每台A型号净化器的售价为2000元．
9．(2020·重庆奉节·初二期末)奉节脐橙，中华名果．深冬季节，大量外商云集奉节．某大型商场先购进福本和纽荷尔两种品种进行试销．已知福本与纽荷尔进价都为150元每箱，该商场购进福本的数量比纽荷尔少20箱，购进成本共15000元．如果该商场以每件福本按进价加价100元进行销售，每件纽荷尔按进价加价60%进行销售，则可全部售完．
(1)求购进福本和纽荷尔各多少箱？
(2)春节期间，该商场按上次进价又购进与上一次一样数量的福本和纽荷尔，并展开了降价促销活动，在促销期间，该商场将每箱福本按进价提高(m+10)%进行销售，每箱纽荷尔按上次销售价降低m%销售，结果全部销售完后销售利润比上次利少了3040元，求m的值．
【答案】(1)福本购进40箱，纽荷尔购进60箱；(2)30．
【解析】答：(1)设福本购进x箱，纽荷尔购进y箱，
根据题意得：，
解得：，
答：福本购进40箱，纽荷尔购进60箱；
(2)根据题意列方程得：
，
整理得：，
解得：m＝30，
答：m的值为30．
10．(2020·山东曹县·初一期末)某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买件甲种商品和件乙种商品需元；打折后，买件甲种商品和件乙种商品需元．
(1)打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？
(2)某人购买甲种商品件，乙种商品件问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？
【答案】(1)打折前甲种商品每件元，乙种商品每件元；(2)3640元
【解析】解：(1)设打折前甲种商品每件元，乙种商品每件元，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
所以打折前甲种商品每件元，乙种商品每件元；
(2)(元)，
所以打折后购买这些商品比不打折可节省元．
考点6：几何图形中二元一次方程组
典例：(2018·全国初二单元测试)已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图①，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 _△ACD的面积(选填“>”“<”或“＝”)．
(2)如图②，若CD，BE分别是△ABC的AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为： ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 .
(3)如图③，AD∶DB＝1∶3，CE∶AE＝1∶2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

【答案】(1)＝；(2)，20；(3)S四边形ADOE＝13.
【解析】解：(1)如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，∴S△ABD＝BD·AH，
S△ACD＝CD·AH，∴S△ABD＝S△ACD；
(2)列方程组解方程组得
∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOE＝S△AOD＋S△AOE＝10＋10＝20；
(3)如图3，连接AO，∵AD∶DB＝1∶3，
∴S△ADO＝S△BDO，∵CE∶AE＝1∶2，
∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为解得
∴S四边形ADOE＝S△ADO＋S△AEO＝x＋2y＝13.

方法或规律点拨
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，列二元一次方程组解决几何问题，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
巩固练习
1．(2020·广东潮南·初一期末)利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )

A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
【答案】D
【解析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=79，由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=73，两个方程相加得：(h-y+x)+(h-x+y)=152，解得：h=76cm．故选D．
2．(2020·浙江椒江·初一期末)如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为(　　)

A．(﹣6，4) B．(，) C．(﹣6，5) D．(，4)
【答案】B
【解析】设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴﹣2x=﹣，x+y=，
∴点B的坐标为(﹣，).
故选：B.
3．(2020·株洲景炎学校初一期中)如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于______．

【答案】8
【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴xy=4×2=8．
故答案为8．
4．(2020·浙江南浔·初三月考)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形，记格点多边形内的格点数为，边界上的格点数为b(如图1，格点三角形ABC，,)，则格点多边形的面积可表示为，其中为常数．
(1)在图2中各画出一个面积为12的格点多边形，依次为平行四边形(非菱形)、菱形；
(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
(2)利用(1)中的格点多边形确定的值；
(3)利用该公式求出图1中的面积以及A点到直线BC的距离．

【答案】(1)图形见解析；(2)；(3)．
【解析】(1)要使平行四边形的面积为12，则选其一条边长为4，该边上对应的高为3，据此画图如下：(答案不唯一)
要使菱形的面积为12，则选其两条对角线的长分别为4和6，据此画图如下：(答案不唯一)

(2)平行四边形：
菱形：
则
解得
即；
(3)由(2)可知，
中，,
的面积为
由勾股定理得：
设A点到直线BC的距离为
则，即
解得
即A点到直线BC的距离为．
5．(2019·北京交通大学附属中学初一期末)如图，在平面直角坐标系中，把一个点的横、纵坐标都乘以同一个实数，然后将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点
(1)若，，，，则点坐标是_____；
(2)对正方形及其内部的每个点进行上述操作，得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为．求；
(3)在(2)的条件下，己知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标．

【答案】(1)；(2)，，；(3)
【解析】(1)∵，，，，
∴
∴
故答案为：；
(2)根据题意得：

解得
即，，；
(3)设点的坐标为，根据题意得

解得
∴的坐标为．
6．(2018·浙江温州·初一期末)如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：

(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
(2)若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积．
【答案】(1)大正方形和小正方形的边长分别是6厘米和2厘米(2)
【解析】(1)设大正方形和小正方形的边长分别是x厘米和y厘米，
由题意得，，
解得：，
答：大正方形和小正方形的边长分别是6厘米和2厘米；
(2)设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为zcm，
由题意得，6−2＝3×(2−z)，
解得：z＝，
∴大正方形中末被小正方形覆盖的阴影部分的面积＝6×6−4×2×2＋6××＝．