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第5章 第4讲 功能关系 能量守恒定律—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案
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这是一份第5章 第4讲 功能关系 能量守恒定律—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案，共20页。学案主要包含了教学目标，重、难点，知识梳理，考点解读，能力展示，小试牛刀，大显身手等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】1、 理解做功的过程是能量转化的过程
2、理解功是能量转化的量度
3、掌握不同种力做功对应不同形式能量的转移转化
4、加深对功能关系的理解，提高运用功能关系解决问题的能力
【重、难点】1、不同种力做功对应不同形式能量的转移转化
2、运用功能关系解决综合问题
【知识梳理】
（1）力对物体做了多少功，物体就具有多少能。（ ）
（2）能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少。（ ）
（3）在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。（ ）
（4）既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源。（ ）
（5）节约可利用能源的目的是为了减少污染排放。（ ）
（6）滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。（ ）
（7）一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。（ ）
典例精析
考点一 功能关系的理解及应用
【考点解读】
1．搞清力对“谁”做功：对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。
如子弹物块模型中，摩擦力对子弹的功必须用子弹的位移去求解，这个功引起子弹动能的变化。
2．搞清不同的力做功对应不同形式的能的改变
3．两个特殊的功能关系
（1）滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Q＝Ff·x相对．
（2）感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝ΔE电．
例1、（多选）从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H。设上升过程中空气阻力F阻恒定。则对于小球的整个上升过程，下列说法中正确的是( )
A．小球重力势能增加了mgH B．小球机械能减少了F阻H
C．小球动能减少了mgH D．小球的加速度大于重力加速度g
例2、（多选）如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动，在移动过程中，下列说法正确的是( )
A．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能
D．F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和
变式1、已知货物的质量为m，在某段时间内起重机将货物 以a的加速度加速升高h，则在这段时间内叙述正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．货物的动能一定增加mah－mgh B．货物的机械能一定增加mah
C．货物的重力势能一定增加mah D．货物的机械能一定增加mah＋mgh
变式2、如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m与M与地面间接触光滑。开始时，m与M均静止，现同时对施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两个物体开始运动以后的整个过程中，对m、M和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过弹性限度），下列说法中正确的是( )
A．由于F1和F2等大反向，故系统的机械能守恒
B．由于F1和F2分别对m、M做正功，故系统的动能不断增大
C．由于F1和F2分别对m、M做正功，故系统的机械能不断增大
D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大
变式3、（多选）如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g．物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
A．动能损失了mgHB．动能损失了2mgH
C．机械能损失了mgHD．机械能损失了eq \f(1,2)mgH
功能关系的理解和应用原则
1．牢记三条功能关系
（1）重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化．
（2）合外力做的功等于动能的变化．
（3）除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．
2．功能关系的选用原则
（1）在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析．
（2）只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
（3）只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
（4）只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析．
考点二 功能关系与图象问题综合
例3、轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2．以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴。现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的关系如图乙所示。物块运动至x＝0.4 m处时速度为零。则此时弹簧的弹性势能为（g取10 m/s2）( )
A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.0 J
例4、（多选）空中花样跳伞是流行于全世界的一种极限运动．假设某跳伞运动员从静止在空中的飞机上无初速跳下，沿竖直方向下落，运动过程中，运动员受到的空气阻力随着速度的增大而增大，运动员的机械能与位移的关系图象如图所示，其中0～s1过程中的图线为曲线，s1～s2过程中的图线为直线．根据该图象，下列判断正确的是 ( )
A．0～s1过程中运动员受到的空气阻力是变力，且不断增大
B．s1～s2过程中运动员做匀减速直线运动
C．s1～s2过程中运动员做变加速直线运动
D．0～s1过程中运动员的动能不断增大
变式4、（多选）如图甲所示，一物体悬挂在轻绳下端，由静止开始沿竖直方向运动，运动过程中物体的机械能E与物体通过的路程x的关系图如图乙所示，其中0～x1过程的图象为曲线，x1～x2过程的图象为直线．忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．0～x1过程中物体所受拉力是变力，且一定不断减小
B．0～x1过程中物体的动能一定先增加后减小，最后为零
C．x1～x2过程中物体一定做匀速直线运动
D．x1～x2过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动
考点三 摩擦力做功的特点及应用
例5、（多选）如图所示，质量为M，长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块，放在小车的最左端。现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为Ff，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是( )
A．此时小物块的动能为F(x＋L)
B．此时小车的动能为Ffx
C．这一过程中，小物块和小车增加的机械能为Fx－FfL
D．这一过程中，因摩擦而产生的内能为FfL
例6、（多选）如图所示，质量m＝1 kg的物体从高为h＝0.2 m的光滑轨道上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带AB之间的距离为L＝5 m，传送带一直以v＝4 m/s 的速度匀速运动，则( )
A．物体从A运动到B的时间是1.5 s
B．物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做功为2 J
C．物体从A运动到B的过程中，产生的热量为2 J
D．物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10 J
例7、物体以Ek＝100J的初动能从斜面底端沿斜面向上运动，当该物体经过斜面上某一点M时，动能减少了80J，机械能减少了32J，则物体重返斜面底端时的动能为（ ）
A．40J B．36J C．28J D．20J
变式5、如图所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是( )
A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功
B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量
C．第一阶段物体和传送带间摩擦产生的热等于第一阶段物体机械能的增加量
D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功
变式6、（多选）如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）．物块的质量为m，AB＝a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ．现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W．撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g．则上述过程中 ( )
A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－eq \f(1,2)μmga
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－eq \f(3,2)μmga
C．经O点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时，弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
摩擦力做功的分析方法
1．无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都是用力与对地位移的乘积．
2．摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程．
考点四 对能量守恒定律的理解和应用
1．对能量守恒定律的两点理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
例8、如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是( )
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量
D．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
例9、（多选）小球以速率v0从地面竖直向上抛出，回到抛出点时的速率为v，且v＜v0．设小球向上运动的位移中点为P、小球在抛出点时的重力势能为零、小球所受阻力大小恒定．则小球（ ）
A．上升时机械能减小，下落时机械能增大
B．上升时加速度大，下落时加速度小
C．下落过程中动能和重力势能相等的位置在P点上方
D．上升过程中动能和重力势能相等的位置在P点上方
变式7、（多选）(2015·江苏·9)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h．圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g．则圆环( )
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为eq \f(1,4)mv2
C．在C处，弹簧的弹性势能为eq \f(1,4)mv2－mgh
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
例10、如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ。
（2）弹簧的最大弹性势能Epm。
【能力展示】
【小试牛刀】
1．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是（ ）
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
2．一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，并从中穿出。对于这一过程，下列说法正确的是（ ）
A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能
B．子弹减少的动能等于木块增加的动能
C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和
D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块增加的内能之和
3．（多选）（2013·山东·16）如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m（M>m）的滑块通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（ ）
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
4．（多选）在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而竖直向下做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（ ）
A．他的动能减少了Fh B．他的重力势能减少了mgh
C．他的机械能减少了（F－mg）h D．他的机械能减少了Fh
5．（多选）如图所示，一根原长为L的轻弹簧，下端固定在水平地面上，一个质量为m的小球，在弹簧的正上方从距地面高度为H处由静止下落压缩弹簧。若弹簧的最大压缩量为x，小球下落过程受到的空气阻力恒为Ff，则小球从开始下落至最低点的过程（ ）
A．小球重力势能的增量为mg(H＋x－L) B．小球动能的增量为零
C．系统机械能减小FfH D．弹簧弹性势能的增量为(mg－Ff)(H＋x－L)
6．如图所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3 kg的物体被一个劲度系数为120 N/m的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3 m才停下来，下列说法正确的是（g取10 m/s2）（ ）
A．物体开始运动时弹簧的弹性势能Ep＝7.8 J
B．物体的最大动能为7.8 J
C．当弹簧恢复原长时物体的速度最大
D．当物体速度最大时弹簧的压缩量为x＝0.05 m
7．（多选）如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，合外力做功为零
B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等
C．小球从A到B过程与从B到A过程，损失的机械能相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等
8．一小物体从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端，已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦力做功为E/2。若小物块冲上斜面的初动能为2E，则（ ）
A．返回斜面底端时的速度大小为v B．返回斜面底端时的速度大小为2v
C．返回斜面底端时的动能为E D．返回斜面底端的动能为3E/2
【大显身手】
9．（多选）如图所示，一轻弹簧直立于水平地面上，质量为m的小球从距离弹簧上端B点h高处的A点自由下落，在C点处小球速度达到最大．x0表示B、C两点之间的距离；Ek表示小球在C处的动能．若改变高度h，则下列表示x0随h变化的图象和Ek随h变化的图象中正确的是（ ）
10．（多选）如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为eq \f(\r(3),6)．木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
11．（多选）一质量为m的物体在竖直向上的拉力F作用下沿竖直方向向上运动，运动过程中物体的动能与位移的关系如图所示，其中0～x1为一曲线，x1～x2为一与横轴平行的直线，x2～x3为一倾斜直线，不计空气阻力，关于物体在这段位移内的运动，下列说法正确的是( )
A．0～x1过程中拉力F逐渐增大
B．x1～x2过程中物体的重力势能可能不变
C．x2～x3过程中拉力F为恒力
D．0～x3过程中物体的机械能增加
12．（多选）某工地上，一架起重机将放在地面上的一个箱子吊起。箱子在起重机钢绳的作用下由静止开始竖直向上运动，运动过程中箱子的机械能E与其位移x的关系图象如图所示，其中O～x1过程的图线为曲线，x1～x2过程的图线为直线。根据图象可知( )
A．O～x1过程中箱子所受的拉力逐渐增大
B．O～x1过程中箱子的动能一直增加
C．x1～x2过程中箱子所受的拉力一直不变
D．x1～x2过程中起重机的输出功率可能保持不变
13．（多选）图甲为0.1kg的小球从最低点A冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4m半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图象．已知小球恰能到达最高点C，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计．g取10m/s2，B为AC轨道中点．下列说法正确的是( )
A．图甲中
B．小球从B到C损失了0.125J的机械能
C．小球从A到C合外力对其做的功为–1.05J
D．小球从C抛出后，落地点到A的距离为0.8m
14．（多选）（2017·南平检测）如图所示，一质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的木块沿粗糙斜面加速下滑h高度，速度大小由v1增大到v2，所用时间为t，木块与斜面体之间的动摩擦因数为μ。在此过程中( )
A．斜面体受水平地面的静摩擦力为零
B．木块沿斜面下滑的距离为eq \f(v1＋v2,2)t
C．如果给质量为m的木块一个沿斜面向上的初速度v2，它将沿斜面上升到h高处速度变为v1
D．木块与斜面摩擦产生的热量为mgh－eq \f(1,2)mv22＋eq \f(1,2)mv12
15．如图所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右匀速运动，现将质量为m的物体轻轻地放置在木板上的右端，已知物体m和木板之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，从物体m放到木板上到它相对木板静止的过程中，须对木板施一水平向右的作用力F，那么力F对木板做功的数值为( )
A．eq \f(mv2,4) B．eq \f(mv2,2)
C．mv2 D．2mv2
16．（多选）水平地面上有两个固定的、高度相同的粗糙斜面体甲和乙，乙的斜面倾角大，甲、乙斜面长分别为S、L1，如图所示。两个完全相同的小滑块A、B可视为质点，同时由静止开始从甲、乙两个斜面的顶端释放，小滑块A一直沿斜面甲滑到底端C，而小滑块B沿斜面乙滑到底端P后又沿水平面滑行到D（小滑块B在P点从斜面滑到水平面的速度大小不变），在水平面上滑行的距离PD＝L2，且S＝L1＋L2．小滑块A、B与两个斜面和水平面间的动摩擦因数相同，则( )
A．两个滑块在斜面上加速下滑的过程中，到达同一高度时，动能可能相同
B．滑块A到达底端C点时的动能一定比滑块B到达D点时的动能小
C．A、B滑块从斜面顶端分别运动到C、D的过程中，由于克服摩擦而产生的热量一定相同
D．A、B两个滑块从斜面顶端分别运动到C、D的过程中，滑块A重力做功的平均功率小于滑块B重力做功的平均功率
17．（多选）如图所示，一物体m在沿斜面向上的恒力F作用下，由静止从底端沿光滑的斜面向上做匀加速直线运动，经时间t力F做功为60J，此后撤出力F，物体又经过时间t回到出发点，若以地面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．恒力F=2mgsinθ
B．物体回到出发点的动能为60J
C．撤出力F时，物体的重力势能是45J
D．动能与势能相等的时刻一定出现在撤去力F之后
18．轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B 点之间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
第4讲 功能关系 能量守恒定律
答案
例1、ABD 例2、CD 变式1、D 变式2、D 变式3、BC 例3、A
例4、AD 变式4、AB 例5、BD 例6、AC 例7、D 变式5、C
变式6、BC 例8、D 例9、BD 变式7、BD 例10、（1）0.52 （2）24.5 J
【能力展示】
1、D 2、D 3、CD 4、BD 5、BD 6、D 7、BC 8、C 9、BC
10、BC 11、CD 12、CD 13、ACD 14．BD 15．C 16、BD 17、BCD
18、答案：（1）eq \r(6gl) 2eq \r(2)l （2）eq \f(5,3)m≤M解析：（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl ①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＋μmg(5l－l) ②
联立①②式，并代入题给数据得vB＝eq \r(6gl) ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
eq \f(mv2,l)－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,D)＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得vD＝eq \r(2gl) ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2l＝eq \f(1,2)gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得s＝2eq \r(2)l ⑨
（2）设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有eq \f(1,2)MvB′2≤Mgl ⑪ Ep＝eq \f(1,2)MvB′2＋μMg·4l ⑫
联立①⑩⑪⑫式得eq \f(5,3)m≤M几种常见力做功
对应的能量变化
数量关系式
重力
正功
重力势能减少
WG＝－ΔEp
负功
重力势能增加
弹簧弹力
正功
弹性势能减少
W弹＝－ΔEp
负功
弹性势能增加
电场力
正功
电势能减少
W电＝－ΔEp
负功
电势能增加
合力
正功
动能增加
W合＝ΔEk
负功
动能减少
重力或弹力以外的其他力
正功
机械能增加
W其＝ΔE
负功
机械能减少
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
只有能量的转移，没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做功的代数和为零，即要么一正一负，要么都不做功
互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，即至少有一个力做负功
共同点：两种摩擦力都可以对物体做正功或者负功，还可以不做功
【教学目标】1、 理解做功的过程是能量转化的过程
2、理解功是能量转化的量度
3、掌握不同种力做功对应不同形式能量的转移转化
4、加深对功能关系的理解，提高运用功能关系解决问题的能力
【重、难点】1、不同种力做功对应不同形式能量的转移转化
2、运用功能关系解决综合问题
【知识梳理】
（1）力对物体做了多少功，物体就具有多少能。（ ）
（2）能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少。（ ）
（3）在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。（ ）
（4）既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源。（ ）
（5）节约可利用能源的目的是为了减少污染排放。（ ）
（6）滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。（ ）
（7）一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。（ ）
典例精析
考点一 功能关系的理解及应用
【考点解读】
1．搞清力对“谁”做功：对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。
如子弹物块模型中，摩擦力对子弹的功必须用子弹的位移去求解，这个功引起子弹动能的变化。
2．搞清不同的力做功对应不同形式的能的改变
3．两个特殊的功能关系
（1）滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Q＝Ff·x相对．
（2）感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝ΔE电．
例1、（多选）从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H。设上升过程中空气阻力F阻恒定。则对于小球的整个上升过程，下列说法中正确的是( )
A．小球重力势能增加了mgH B．小球机械能减少了F阻H
C．小球动能减少了mgH D．小球的加速度大于重力加速度g
例2、（多选）如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动，在移动过程中，下列说法正确的是( )
A．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能
D．F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和
变式1、已知货物的质量为m，在某段时间内起重机将货物 以a的加速度加速升高h，则在这段时间内叙述正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．货物的动能一定增加mah－mgh B．货物的机械能一定增加mah
C．货物的重力势能一定增加mah D．货物的机械能一定增加mah＋mgh
变式2、如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m与M与地面间接触光滑。开始时，m与M均静止，现同时对施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两个物体开始运动以后的整个过程中，对m、M和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过弹性限度），下列说法中正确的是( )
A．由于F1和F2等大反向，故系统的机械能守恒
B．由于F1和F2分别对m、M做正功，故系统的动能不断增大
C．由于F1和F2分别对m、M做正功，故系统的机械能不断增大
D．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M的动能最大
变式3、（多选）如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g．物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
A．动能损失了mgHB．动能损失了2mgH
C．机械能损失了mgHD．机械能损失了eq \f(1,2)mgH
功能关系的理解和应用原则
1．牢记三条功能关系
（1）重力做的功等于重力势能的变化，弹力做的功等于弹性势能的变化．
（2）合外力做的功等于动能的变化．
（3）除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．
2．功能关系的选用原则
（1）在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析．
（2）只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
（3）只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
（4）只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析．
考点二 功能关系与图象问题综合
例3、轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2．以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴。现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的关系如图乙所示。物块运动至x＝0.4 m处时速度为零。则此时弹簧的弹性势能为（g取10 m/s2）( )
A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.0 J
例4、（多选）空中花样跳伞是流行于全世界的一种极限运动．假设某跳伞运动员从静止在空中的飞机上无初速跳下，沿竖直方向下落，运动过程中，运动员受到的空气阻力随着速度的增大而增大，运动员的机械能与位移的关系图象如图所示，其中0～s1过程中的图线为曲线，s1～s2过程中的图线为直线．根据该图象，下列判断正确的是 ( )
A．0～s1过程中运动员受到的空气阻力是变力，且不断增大
B．s1～s2过程中运动员做匀减速直线运动
C．s1～s2过程中运动员做变加速直线运动
D．0～s1过程中运动员的动能不断增大
变式4、（多选）如图甲所示，一物体悬挂在轻绳下端，由静止开始沿竖直方向运动，运动过程中物体的机械能E与物体通过的路程x的关系图如图乙所示，其中0～x1过程的图象为曲线，x1～x2过程的图象为直线．忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．0～x1过程中物体所受拉力是变力，且一定不断减小
B．0～x1过程中物体的动能一定先增加后减小，最后为零
C．x1～x2过程中物体一定做匀速直线运动
D．x1～x2过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动
考点三 摩擦力做功的特点及应用
例5、（多选）如图所示，质量为M，长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块，放在小车的最左端。现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为Ff，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是( )
A．此时小物块的动能为F(x＋L)
B．此时小车的动能为Ffx
C．这一过程中，小物块和小车增加的机械能为Fx－FfL
D．这一过程中，因摩擦而产生的内能为FfL
例6、（多选）如图所示，质量m＝1 kg的物体从高为h＝0.2 m的光滑轨道上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带AB之间的距离为L＝5 m，传送带一直以v＝4 m/s 的速度匀速运动，则( )
A．物体从A运动到B的时间是1.5 s
B．物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做功为2 J
C．物体从A运动到B的过程中，产生的热量为2 J
D．物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10 J
例7、物体以Ek＝100J的初动能从斜面底端沿斜面向上运动，当该物体经过斜面上某一点M时，动能减少了80J，机械能减少了32J，则物体重返斜面底端时的动能为（ ）
A．40J B．36J C．28J D．20J
变式5、如图所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是( )
A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功
B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量
C．第一阶段物体和传送带间摩擦产生的热等于第一阶段物体机械能的增加量
D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功
变式6、（多选）如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）．物块的质量为m，AB＝a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ．现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W．撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g．则上述过程中 ( )
A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－eq \f(1,2)μmga
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－eq \f(3,2)μmga
C．经O点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时，弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
摩擦力做功的分析方法
1．无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都是用力与对地位移的乘积．
2．摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程．
考点四 对能量守恒定律的理解和应用
1．对能量守恒定律的两点理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
例8、如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是( )
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量
D．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
例9、（多选）小球以速率v0从地面竖直向上抛出，回到抛出点时的速率为v，且v＜v0．设小球向上运动的位移中点为P、小球在抛出点时的重力势能为零、小球所受阻力大小恒定．则小球（ ）
A．上升时机械能减小，下落时机械能增大
B．上升时加速度大，下落时加速度小
C．下落过程中动能和重力势能相等的位置在P点上方
D．上升过程中动能和重力势能相等的位置在P点上方
变式7、（多选）(2015·江苏·9)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h．圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g．则圆环( )
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为eq \f(1,4)mv2
C．在C处，弹簧的弹性势能为eq \f(1,4)mv2－mgh
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
例10、如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ。
（2）弹簧的最大弹性势能Epm。
【能力展示】
【小试牛刀】
1．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是（ ）
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
2．一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，并从中穿出。对于这一过程，下列说法正确的是（ ）
A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能
B．子弹减少的动能等于木块增加的动能
C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和
D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块增加的内能之和
3．（多选）（2013·山东·16）如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m（M>m）的滑块通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（ ）
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
4．（多选）在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而竖直向下做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（ ）
A．他的动能减少了Fh B．他的重力势能减少了mgh
C．他的机械能减少了（F－mg）h D．他的机械能减少了Fh
5．（多选）如图所示，一根原长为L的轻弹簧，下端固定在水平地面上，一个质量为m的小球，在弹簧的正上方从距地面高度为H处由静止下落压缩弹簧。若弹簧的最大压缩量为x，小球下落过程受到的空气阻力恒为Ff，则小球从开始下落至最低点的过程（ ）
A．小球重力势能的增量为mg(H＋x－L) B．小球动能的增量为零
C．系统机械能减小FfH D．弹簧弹性势能的增量为(mg－Ff)(H＋x－L)
6．如图所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3 kg的物体被一个劲度系数为120 N/m的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3 m才停下来，下列说法正确的是（g取10 m/s2）（ ）
A．物体开始运动时弹簧的弹性势能Ep＝7.8 J
B．物体的最大动能为7.8 J
C．当弹簧恢复原长时物体的速度最大
D．当物体速度最大时弹簧的压缩量为x＝0.05 m
7．（多选）如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，合外力做功为零
B．小球从A到C过程与从C到B过程，减少的动能相等
C．小球从A到B过程与从B到A过程，损失的机械能相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，速度的变化量相等
8．一小物体从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端，已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦力做功为E/2。若小物块冲上斜面的初动能为2E，则（ ）
A．返回斜面底端时的速度大小为v B．返回斜面底端时的速度大小为2v
C．返回斜面底端时的动能为E D．返回斜面底端的动能为3E/2
【大显身手】
9．（多选）如图所示，一轻弹簧直立于水平地面上，质量为m的小球从距离弹簧上端B点h高处的A点自由下落，在C点处小球速度达到最大．x0表示B、C两点之间的距离；Ek表示小球在C处的动能．若改变高度h，则下列表示x0随h变化的图象和Ek随h变化的图象中正确的是（ ）
10．（多选）如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为eq \f(\r(3),6)．木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
11．（多选）一质量为m的物体在竖直向上的拉力F作用下沿竖直方向向上运动，运动过程中物体的动能与位移的关系如图所示，其中0～x1为一曲线，x1～x2为一与横轴平行的直线，x2～x3为一倾斜直线，不计空气阻力，关于物体在这段位移内的运动，下列说法正确的是( )
A．0～x1过程中拉力F逐渐增大
B．x1～x2过程中物体的重力势能可能不变
C．x2～x3过程中拉力F为恒力
D．0～x3过程中物体的机械能增加
12．（多选）某工地上，一架起重机将放在地面上的一个箱子吊起。箱子在起重机钢绳的作用下由静止开始竖直向上运动，运动过程中箱子的机械能E与其位移x的关系图象如图所示，其中O～x1过程的图线为曲线，x1～x2过程的图线为直线。根据图象可知( )
A．O～x1过程中箱子所受的拉力逐渐增大
B．O～x1过程中箱子的动能一直增加
C．x1～x2过程中箱子所受的拉力一直不变
D．x1～x2过程中起重机的输出功率可能保持不变
13．（多选）图甲为0.1kg的小球从最低点A冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4m半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图象．已知小球恰能到达最高点C，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计．g取10m/s2，B为AC轨道中点．下列说法正确的是( )
A．图甲中
B．小球从B到C损失了0.125J的机械能
C．小球从A到C合外力对其做的功为–1.05J
D．小球从C抛出后，落地点到A的距离为0.8m
14．（多选）（2017·南平检测）如图所示，一质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的木块沿粗糙斜面加速下滑h高度，速度大小由v1增大到v2，所用时间为t，木块与斜面体之间的动摩擦因数为μ。在此过程中( )
A．斜面体受水平地面的静摩擦力为零
B．木块沿斜面下滑的距离为eq \f(v1＋v2,2)t
C．如果给质量为m的木块一个沿斜面向上的初速度v2，它将沿斜面上升到h高处速度变为v1
D．木块与斜面摩擦产生的热量为mgh－eq \f(1,2)mv22＋eq \f(1,2)mv12
15．如图所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右匀速运动，现将质量为m的物体轻轻地放置在木板上的右端，已知物体m和木板之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，从物体m放到木板上到它相对木板静止的过程中，须对木板施一水平向右的作用力F，那么力F对木板做功的数值为( )
A．eq \f(mv2,4) B．eq \f(mv2,2)
C．mv2 D．2mv2
16．（多选）水平地面上有两个固定的、高度相同的粗糙斜面体甲和乙，乙的斜面倾角大，甲、乙斜面长分别为S、L1，如图所示。两个完全相同的小滑块A、B可视为质点，同时由静止开始从甲、乙两个斜面的顶端释放，小滑块A一直沿斜面甲滑到底端C，而小滑块B沿斜面乙滑到底端P后又沿水平面滑行到D（小滑块B在P点从斜面滑到水平面的速度大小不变），在水平面上滑行的距离PD＝L2，且S＝L1＋L2．小滑块A、B与两个斜面和水平面间的动摩擦因数相同，则( )
A．两个滑块在斜面上加速下滑的过程中，到达同一高度时，动能可能相同
B．滑块A到达底端C点时的动能一定比滑块B到达D点时的动能小
C．A、B滑块从斜面顶端分别运动到C、D的过程中，由于克服摩擦而产生的热量一定相同
D．A、B两个滑块从斜面顶端分别运动到C、D的过程中，滑块A重力做功的平均功率小于滑块B重力做功的平均功率
17．（多选）如图所示，一物体m在沿斜面向上的恒力F作用下，由静止从底端沿光滑的斜面向上做匀加速直线运动，经时间t力F做功为60J，此后撤出力F，物体又经过时间t回到出发点，若以地面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．恒力F=2mgsinθ
B．物体回到出发点的动能为60J
C．撤出力F时，物体的重力势能是45J
D．动能与势能相等的时刻一定出现在撤去力F之后
18．轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B 点之间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
第4讲 功能关系 能量守恒定律
答案
例1、ABD 例2、CD 变式1、D 变式2、D 变式3、BC 例3、A
例4、AD 变式4、AB 例5、BD 例6、AC 例7、D 变式5、C
变式6、BC 例8、D 例9、BD 变式7、BD 例10、（1）0.52 （2）24.5 J
【能力展示】
1、D 2、D 3、CD 4、BD 5、BD 6、D 7、BC 8、C 9、BC
10、BC 11、CD 12、CD 13、ACD 14．BD 15．C 16、BD 17、BCD
18、答案：（1）eq \r(6gl) 2eq \r(2)l （2）eq \f(5,3)m≤M
Ep＝5mgl ①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＋μmg(5l－l) ②
联立①②式，并代入题给数据得vB＝eq \r(6gl) ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
eq \f(mv2,l)－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,D)＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得vD＝eq \r(2gl) ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2l＝eq \f(1,2)gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得s＝2eq \r(2)l ⑨
（2）设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有eq \f(1,2)MvB′2≤Mgl ⑪ Ep＝eq \f(1,2)MvB′2＋μMg·4l ⑫
联立①⑩⑪⑫式得eq \f(5,3)m≤M
对应的能量变化
数量关系式
重力
正功
重力势能减少
WG＝－ΔEp
负功
重力势能增加
弹簧弹力
正功
弹性势能减少
W弹＝－ΔEp
负功
弹性势能增加
电场力
正功
电势能减少
W电＝－ΔEp
负功
电势能增加
合力
正功
动能增加
W合＝ΔEk
负功
动能减少
重力或弹力以外的其他力
正功
机械能增加
W其＝ΔE
负功
机械能减少
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
只有能量的转移，没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做功的代数和为零，即要么一正一负，要么都不做功
互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，即至少有一个力做负功
共同点：两种摩擦力都可以对物体做正功或者负功，还可以不做功
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