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第5章 第3讲 机械能守恒定律—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案
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这是一份第5章 第3讲 机械能守恒定律—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案，共27页。学案主要包含了教学目标，重、难点，知识梳理，能力展示，小试牛刀，大显身手等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】1、正确理解机械能及机械能守恒定律的内容；
2、能判断物体的机械能是否守恒；
3、掌握利用机械能守恒定律解题的基本方法。
【重、难点】1、判断被研究对象机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能
【知识梳理】
（1）重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。（ ）
（2）被举到高处的物体重力势能一定不为零。（ ）
（3）克服重力做功，物体的重力势能一定增加。（ ）
（4）发生弹性形变的物体都具有弹性势能。（ ）
（5）弹力做正功，弹性势能增加。（ ）
（6）物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。（ ）
（7）物体的速度增大时，其机械能可能减小。（ ）
（8）物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。（ ）
考点一 机械能守恒的理解与判断
1．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功，可以从以下三个方面进行理解：
（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内弹力做功，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒
例1、（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
变式1、（多选）如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
例2、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h．让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
A．圆环机械能守恒 B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
变式2、（多选）如图所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦) ( )
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
变式3、如图所示，一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为( )
A．eq \f(1,8)mgR B．eq \f(1,4)mgR C．eq \f(1,2)mgR D．eq \f(3,4)mgR
机械能守恒条件的理解及判断
1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
考点二 单物体机械能守恒问题
1．机械能守恒的三种表达式对比
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
（1）选取研究对象——物体。
（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
（4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp）进行求解。
例3、如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑固定轨道，AB是半径为R＝15 m的eq \f(1,4)圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的eq \f(14,3)倍。取g＝10 m/s2。（1）求H的大小；（2）试讨论小球能否到达O点，并说明理由；（3）求小球再次落到轨道上的速度大小。
例4、如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则( )
A．hA＝hB＝hC B．hA＝hBhC D．hA＝hC>hB
变式4、（多选）由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2eq \r(RH－2R2)
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2eq \r(2RH－4R2)
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝eq \f(5,2)R
变式5、如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。传送带的运行速度为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0 m，“9”形轨道高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，试求：
（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；
（2）滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；
（3）若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h（保留两位有效数字）。
考点三 多物体机械能守恒问题
例5、如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为 ( )
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
变式6、如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角为θ=300，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m．开始时将B按在地上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S距离后（斜面足够长），细线突然断了。求物块B上升的最大高度。
变式7、如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放，重力加速度g＝10 m/s2．求：（1）弹簧刚恢复原长时细绳上的拉力；（2）物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；（3）物体A的最大速度大小。
例6、如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．
（1）求小球m2沿斜面上升的最大距离s；
（2）若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为eq \f(R,2)，求eq \f(m1,m2)。（结果保留两位有效数字）
变式8、（多选）轻绳一端通过光滑的定滑轮与物块P连接，另一端与套在光滑竖直杆上的圆环Q连接，Q从静止释放后，上升一定距离到达与定滑轮等高处，则在此过程中（ ）
A．任意时刻Q受到的拉力大小与P的重力大小相等
B．任意时刻P、Q两物体的速度大小满足vPC．物块P和圆环Q组成的系统机械能守恒
D．当Q上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
例7、如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v
（2）开始转动后B球可能达到的最大速度vm
（3）B球能上升的最大高度h
变式9、(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
多物体机械能守恒问题的分析技巧
1．对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和运动的距离(高度)关系．
3．列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
考点四 含弹簧类机械能守恒问题
例8、（2015·天津理综·5）如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒 B．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
C．弹簧弹性势能变化了eq \r(3)mgL D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
变式10、（多选）（2016年全国新课标II卷）如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMNA．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
例9、如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧（不拴接），当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量．
变式11、如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB齐平，静止放于光滑斜面上，一长为L的轻质细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，将细线拉至水平，此时小球在位置C，由静止释放小球，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断，D点到AB的距离为h，之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g。求：（1）细绳所能承受的最大拉力；（2）斜面的倾角θ的正切值；（3）弹簧所获得的最大弹性势能．
【能力展示】
【小试牛刀】
1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是 ( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒 D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
2．（多选）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体在海平面上的势能为mgh B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)－mgh D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)
3．如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是 ( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中，机械能守恒
4．如图所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑．若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管轨道A、B内部（圆管A比圆管B高）．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管轨道A内部最高位置时，对管壁恰好无压力．则这名挑战者( )
A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能
B．经过管道A最低点时的动能大于经过管道B最低点时的动能
C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力
D．不能经过管道B的最高点
5．如图所示，质量为m的小球，用OB和O′B两根轻绳吊着，两轻绳与水平天花板的夹角分别为30°和60°，这时OB绳的拉力大小为F1，若烧断O′B绳，当小球运动到最低点C时，OB绳的拉力大小为F2，则F1∶F2等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
6．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为（g＝10 m/s2）( )
A．15 J B．10 J C．25 J D．20 J
7．（多选）如图所示，长度为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一小球，先将细线拉直呈水平，使小球位于P点，然后无初速度释放小球，当小球运动到最低点时，细线遇到在O点正下方水平固定着的钉子K，不计任何阻力，若要求小球能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，则K与O点的距离可能是( )
A．eq \f(1,3)l B．eq \f(3,4)l C．eq \f(1,2)l D．eq \f(4,5)l
8．（多选）如图所示，轨道是由一直轨道和一半圆轨道组成的，一个小滑块从距轨道最低点B为h高度的A处由静止开始运动，滑块质量为m，不计一切摩擦．则( )
A．若滑块能通过圆轨道最高点D，h的最小值为2.5R
B．若h＝2R，当滑块到达与圆心等高的C点时，对轨道的压力为3mg
C．若h＝2R，滑块会从C、D之间的某个位置离开圆轨道做斜上抛运动
D．若要使滑块能返回到A点，则h≤R
9．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（ ）
A．重力做功2mgR B．克服摩擦力做功mgR
C．合外力做功mgR D．机械能减少0.5mgR
10．（2016·全国II卷）小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
11．（多选）如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上（桌面足够大），A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是( )
A．B物体受到细线的拉力保持不变
B．B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
C．A物体动能的增量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和
D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功
12．（多选）半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图所示。小车以速度v向右匀速运动。当小车遇到障碍物突然停止，小球在圆桶中上升的最大高度可能为（ ）
A．等于 B．大于 C．小于 D．等于2R
13．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和eq \r(3)m的小球A和B。A、B之间用一长为eq \r(2)R的轻杆相连，如图所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：（1）B球到达最低点时的速度大小；
（2）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环圆心的竖直高度．
【大显身手】
14．如图甲所示，将质量为m的小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h。若将质量分别为2m、3m、4m、5m的小球，分别以同样大小的速度v0从半径均为R＝eq \f(1,2)h的竖直圆形光滑轨道的最低点水平向右射入轨道，轨道形状如图乙、丙、丁、戊所示。则质量分别为2m、3m、4m、5m的小球中，能到达的最大高度仍为h的是（小球大小和空气阻力均不计）( )
A．质量为2m的小球 B．质量为3m的小球
C．质量为4m的小球 D．质量为5m的小球
15．如图所示，将物体从一定高度水平抛出（不计空气阻力），物体运动过程中离地面高度为h时，物体水平位移为x、物体的机械能为E、物体的动能为Ek、物体运动的速度大小为v。以水平地面为零势能面。下列图象中，能正确反映各物理量与h的关系的是 ( )
16．（多选）如图所示是全球最高的（高度为208米）北京朝阳公园摩天轮，一质量为m的乘客坐在摩天轮中以速率v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻乘客在最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是 ( )
A．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝eq \f(1,2)mv2
B．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为meq \f(v2,R)－mg
C．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR(1－cs eq \f(v,R)t)
D．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝eq \f(1,2)mv2＋mgR(1－cs eq \f(v,R)t)
17．如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的减少量为eq \f(1,3) J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为eq \f(2,3) J
18．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，小球在B、D间某点静止，在小球滑到最低点的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A．小球的动能与重力势能之和保持不变
B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
19．如图所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦．现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )
A．A物体的加速度为eq \f(g,2) B．A、B组成系统的重力势能增大
C．下落t秒时，B所受拉力的瞬时功率为eq \f(1,3)mg2t D．下落t秒时，A的机械能减少了eq \f(2,9)mg2t2
20．（多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．下列说法正确的是 ( )
A．斜面倾角α＝30°
B．A获得的最大速度为2g eq \r(\f(m,5k))
C．C刚离开地面时，B的加速度为零
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
21．（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（ ）
A．环到达B处时，重物上升的高度h＝eq \f(d,2)
B．环到达B处时，环的速度大于重物的速度
C．环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能
D．环能下降的最大高度为eq \f(4,3)d
22．（多选）如图所示，在距水平地面高为0.8m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套一质量m1=5kg的滑块A．半径R=0.6m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m2=3kg的小球B．用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将滑块与球连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块和小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响．现给滑块A施加一个水平向右、大小为55N的恒力F（g=10m/s2）。则（ ）
A．小球B运动到C处时的速度大小为0
B．把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做功为44J
C．小球B被拉到与滑块A的速度大小相等时，
D．把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加了18J
23．（多选）如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，定滑轮到杆的距离OC＝h。开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°。现将A、B同时由静止释放，则下列分析正确的是( )
A．物块B从释放到最低点的过程中，物块A的动能不断增大
B．物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B的机械能先增大后减小
C．PO与水平方向的夹角为45°时，物块A、B速度大小关系是vA＝eq \f(\r(2),2)vB
D．物块A在运动过程中最大速度为 eq \r(\f(2mBgh,mA))
第3讲 机械能守恒定律
答案
例1、CD 变式1、BC 例2、C 变式2、BC 变式3、D
例3、（1）10 m （2）能。理由略 （3）10eq \r(3)m/s（或者17.3 m/s）
例4、D 变式4、BC 变式5、（1）3 s （2）90 N （3）1.4 m
例5、B 变式6、1.2S 变式7、（1）30N （2）20cm （3）1m/s
例6、答案：（1）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R （2）1.9
解析：（1）设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时，m1、m2速度大小分别为v1、v2
如图所示，由运动的合成与分解得：v1＝eq \r(2)v2
对m1、m2组成的系统由机械能守恒定律得：m1gR－m2gh＝eq \f(1,2)m1veq \\al( 2,1)＋eq \f(1,2)m2veq \\al( 2,2)
h＝eq \r(2)Rsin 30°
联立以上三式得：v1＝ eq \r(2\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，v2＝ eq \r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得：m2gs′sin 30°＝eq \f(1,2)m2veq \\al( 2,2)
小球m2沿斜面上升的最大距离s＝eq \r(2)R＋s′
联立以上两式并代入v2得s＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R
（2）对m1由机械能守恒定律得：eq \f(1,2)m1veq \\al( 2,1)＝m1geq \f(R,2) ； 代入v1得：eq \f(m1,m2)＝eq \f(2\r(2)＋1,2)≈1.9
变式8、BCD
例7、解析：以直角尺和两小球组成的系统为研究对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
（1）A到达最低点的过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度总是B的2倍，如图所示。
由系统机械能守恒有：2mg·2L＝3mg·L＋eq \f(1,2)·2m·v2＋eq \f(1,2)·3m()2
解得v＝
（2）B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能的增大量等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，如图所示
eq \f(1,2)·2m·(2v)2＋eq \f(1,2)·3m·v2＝2mg·2Lsin θ－3mg·L(1－cs θ)
＝mgL(4sin θ＋3cs θ－3)≤2mg·L
解得vm＝
（3）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置OA相对竖直位置向左偏了α角，如图所示
由系统机械能守恒有
2mg·2Lcs α＝3mg·L(1＋sin α)，此式可化简为4cs α－3sin α＝3，利用三角公式可解得：sin(53°－α)＝sin 37°，α＝16°
B球上升的最大高度h＝L＋Lsin 16°
变式9、BD 例8、C 变式10、BCD
例9、答案：eq \f(2\r(10),5)l
解析：设第一次压缩量为l时，弹簧的弹性势能为Ep
释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v1
由机械能守恒定律得Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,1)
设小球在最高点E时的速度为v2，由临界条件可知：mg＝meq \f(v\\al( 2,2),R)，v2＝eq \r(gR)
由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al( 2,1)＝mg×2R＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,2)
以上几式联立解得Ep＝eq \f(5,2)mgR
设第二次压缩时弹簧的压缩量为x，此时弹簧的弹性势能为Ep′
小球通过最高点E时的速度为v3，由机械能守恒定律可得：Ep′＝mg·2R＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,3)
小球从E点开始做平抛运动，由平抛运动规律得4R＝v3t,2R＝eq \f(1,2)gt2，解得v3＝2eq \r(gR)，解得Ep′＝4mgR
由已知条件可得eq \f(Ep′,Ep)＝eq \f(x2,l2)，代入数据解得x＝eq \f(2\r(10),5)l
变式11、答案：（1）3mg （2） eq \r(\f(h,L)) （3）mg(x eq \r(\f(h,h＋L))＋h＋L)
解析：（1）小球由C到D，机械能守恒mgL＝eq \f(1,2)mv12，v1＝eq \r(2gL)
在D点，F－mg＝meq \f(v12,L)，F＝3mg
由牛顿第三定律知，细绳所能承受的最大拉力为3mg
（2）小球由D到A做平抛运动：vy＝eq \r(2gh)，tanθ＝eq \f(vy,v1)＝ eq \r(\f(h,L))
（3）小球到达A点时：vA2＝vy2＋v12＝2g(h＋L)
在压缩弹簧的过程中小球与弹簧组成的系统机械能守恒Ep＝mgxsinθ＋eq \f(1,2)mvA2
所以Ep＝mg(x eq \r(\f(h,h＋L))＋h＋L)．
【能力展示】
1、C 2、BD 3、C 4、C 5、D 6、B 7、BD 8、ACD 9、D 10、C
11、BD 12、ACD
13、答案：（1）eq \r(2gR) （2）eq \f(\r(3),2)R
解析：（1）A、B组成的系统机械能守恒：mAgR＋mBgR＝eq \f(1,2)mAveq \\al( 2,A)＋eq \f(1,2)mBveq \\al( 2,B)
又A、B速度大小相同：vA＝vB 得：vA＝vB＝eq \r(2gR)
（2）设B球到圆环右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处的水平面为零势能面，由系统机械能守恒得：mAgR＝mBgRcs θ－mAgRsin θ 代入数据得：θ＝30°
所求竖直高度：h＝Rcs θ＝eq \f(\r(3),2)R
14、C 15、B 16、CD 17、D 18、B 19、D 20、ABC 21、BCD 22、BC
23、AD守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
【教学目标】1、正确理解机械能及机械能守恒定律的内容；
2、能判断物体的机械能是否守恒；
3、掌握利用机械能守恒定律解题的基本方法。
【重、难点】1、判断被研究对象机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能
【知识梳理】
（1）重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。（ ）
（2）被举到高处的物体重力势能一定不为零。（ ）
（3）克服重力做功，物体的重力势能一定增加。（ ）
（4）发生弹性形变的物体都具有弹性势能。（ ）
（5）弹力做正功，弹性势能增加。（ ）
（6）物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。（ ）
（7）物体的速度增大时，其机械能可能减小。（ ）
（8）物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。（ ）
考点一 机械能守恒的理解与判断
1．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功，可以从以下三个方面进行理解：
（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内弹力做功，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒
例1、（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
变式1、（多选）如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
例2、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h．让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
A．圆环机械能守恒 B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
变式2、（多选）如图所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦) ( )
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
变式3、如图所示，一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为( )
A．eq \f(1,8)mgR B．eq \f(1,4)mgR C．eq \f(1,2)mgR D．eq \f(3,4)mgR
机械能守恒条件的理解及判断
1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
考点二 单物体机械能守恒问题
1．机械能守恒的三种表达式对比
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
（1）选取研究对象——物体。
（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
（4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp）进行求解。
例3、如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑固定轨道，AB是半径为R＝15 m的eq \f(1,4)圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的eq \f(14,3)倍。取g＝10 m/s2。（1）求H的大小；（2）试讨论小球能否到达O点，并说明理由；（3）求小球再次落到轨道上的速度大小。
例4、如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则( )
A．hA＝hB＝hC B．hA＝hB
变式4、（多选）由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2eq \r(RH－2R2)
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2eq \r(2RH－4R2)
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝eq \f(5,2)R
变式5、如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。传送带的运行速度为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0 m，“9”形轨道高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，试求：
（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；
（2）滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；
（3）若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h（保留两位有效数字）。
考点三 多物体机械能守恒问题
例5、如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为 ( )
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
变式6、如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角为θ=300，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m．开始时将B按在地上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S距离后（斜面足够长），细线突然断了。求物块B上升的最大高度。
变式7、如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放，重力加速度g＝10 m/s2．求：（1）弹簧刚恢复原长时细绳上的拉力；（2）物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；（3）物体A的最大速度大小。
例6、如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．
（1）求小球m2沿斜面上升的最大距离s；
（2）若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为eq \f(R,2)，求eq \f(m1,m2)。（结果保留两位有效数字）
变式8、（多选）轻绳一端通过光滑的定滑轮与物块P连接，另一端与套在光滑竖直杆上的圆环Q连接，Q从静止释放后，上升一定距离到达与定滑轮等高处，则在此过程中（ ）
A．任意时刻Q受到的拉力大小与P的重力大小相等
B．任意时刻P、Q两物体的速度大小满足vP
D．当Q上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
例7、如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v
（2）开始转动后B球可能达到的最大速度vm
（3）B球能上升的最大高度h
变式9、(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
多物体机械能守恒问题的分析技巧
1．对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和运动的距离(高度)关系．
3．列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
考点四 含弹簧类机械能守恒问题
例8、（2015·天津理综·5）如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒 B．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
C．弹簧弹性势能变化了eq \r(3)mgL D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
变式10、（多选）（2016年全国新课标II卷）如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
例9、如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧（不拴接），当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量．
变式11、如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB齐平，静止放于光滑斜面上，一长为L的轻质细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，将细线拉至水平，此时小球在位置C，由静止释放小球，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断，D点到AB的距离为h，之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g。求：（1）细绳所能承受的最大拉力；（2）斜面的倾角θ的正切值；（3）弹簧所获得的最大弹性势能．
【能力展示】
【小试牛刀】
1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是 ( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒 D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
2．（多选）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体在海平面上的势能为mgh B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)－mgh D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)
3．如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是 ( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中，机械能守恒
4．如图所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑．若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管轨道A、B内部（圆管A比圆管B高）．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管轨道A内部最高位置时，对管壁恰好无压力．则这名挑战者( )
A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能
B．经过管道A最低点时的动能大于经过管道B最低点时的动能
C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力
D．不能经过管道B的最高点
5．如图所示，质量为m的小球，用OB和O′B两根轻绳吊着，两轻绳与水平天花板的夹角分别为30°和60°，这时OB绳的拉力大小为F1，若烧断O′B绳，当小球运动到最低点C时，OB绳的拉力大小为F2，则F1∶F2等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
6．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为（g＝10 m/s2）( )
A．15 J B．10 J C．25 J D．20 J
7．（多选）如图所示，长度为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一小球，先将细线拉直呈水平，使小球位于P点，然后无初速度释放小球，当小球运动到最低点时，细线遇到在O点正下方水平固定着的钉子K，不计任何阻力，若要求小球能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，则K与O点的距离可能是( )
A．eq \f(1,3)l B．eq \f(3,4)l C．eq \f(1,2)l D．eq \f(4,5)l
8．（多选）如图所示，轨道是由一直轨道和一半圆轨道组成的，一个小滑块从距轨道最低点B为h高度的A处由静止开始运动，滑块质量为m，不计一切摩擦．则( )
A．若滑块能通过圆轨道最高点D，h的最小值为2.5R
B．若h＝2R，当滑块到达与圆心等高的C点时，对轨道的压力为3mg
C．若h＝2R，滑块会从C、D之间的某个位置离开圆轨道做斜上抛运动
D．若要使滑块能返回到A点，则h≤R
9．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（ ）
A．重力做功2mgR B．克服摩擦力做功mgR
C．合外力做功mgR D．机械能减少0.5mgR
10．（2016·全国II卷）小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
11．（多选）如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上（桌面足够大），A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是( )
A．B物体受到细线的拉力保持不变
B．B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
C．A物体动能的增量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和
D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功
12．（多选）半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图所示。小车以速度v向右匀速运动。当小车遇到障碍物突然停止，小球在圆桶中上升的最大高度可能为（ ）
A．等于 B．大于 C．小于 D．等于2R
13．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和eq \r(3)m的小球A和B。A、B之间用一长为eq \r(2)R的轻杆相连，如图所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：（1）B球到达最低点时的速度大小；
（2）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环圆心的竖直高度．
【大显身手】
14．如图甲所示，将质量为m的小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h。若将质量分别为2m、3m、4m、5m的小球，分别以同样大小的速度v0从半径均为R＝eq \f(1,2)h的竖直圆形光滑轨道的最低点水平向右射入轨道，轨道形状如图乙、丙、丁、戊所示。则质量分别为2m、3m、4m、5m的小球中，能到达的最大高度仍为h的是（小球大小和空气阻力均不计）( )
A．质量为2m的小球 B．质量为3m的小球
C．质量为4m的小球 D．质量为5m的小球
15．如图所示，将物体从一定高度水平抛出（不计空气阻力），物体运动过程中离地面高度为h时，物体水平位移为x、物体的机械能为E、物体的动能为Ek、物体运动的速度大小为v。以水平地面为零势能面。下列图象中，能正确反映各物理量与h的关系的是 ( )
16．（多选）如图所示是全球最高的（高度为208米）北京朝阳公园摩天轮，一质量为m的乘客坐在摩天轮中以速率v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻乘客在最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是 ( )
A．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝eq \f(1,2)mv2
B．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为meq \f(v2,R)－mg
C．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR(1－cs eq \f(v,R)t)
D．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝eq \f(1,2)mv2＋mgR(1－cs eq \f(v,R)t)
17．如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的减少量为eq \f(1,3) J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为eq \f(2,3) J
18．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，小球在B、D间某点静止，在小球滑到最低点的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A．小球的动能与重力势能之和保持不变
B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
19．如图所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦．现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )
A．A物体的加速度为eq \f(g,2) B．A、B组成系统的重力势能增大
C．下落t秒时，B所受拉力的瞬时功率为eq \f(1,3)mg2t D．下落t秒时，A的机械能减少了eq \f(2,9)mg2t2
20．（多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．下列说法正确的是 ( )
A．斜面倾角α＝30°
B．A获得的最大速度为2g eq \r(\f(m,5k))
C．C刚离开地面时，B的加速度为零
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
21．（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（ ）
A．环到达B处时，重物上升的高度h＝eq \f(d,2)
B．环到达B处时，环的速度大于重物的速度
C．环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能
D．环能下降的最大高度为eq \f(4,3)d
22．（多选）如图所示，在距水平地面高为0.8m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套一质量m1=5kg的滑块A．半径R=0.6m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m2=3kg的小球B．用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将滑块与球连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块和小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响．现给滑块A施加一个水平向右、大小为55N的恒力F（g=10m/s2）。则（ ）
A．小球B运动到C处时的速度大小为0
B．把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做功为44J
C．小球B被拉到与滑块A的速度大小相等时，
D．把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加了18J
23．（多选）如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，定滑轮到杆的距离OC＝h。开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°。现将A、B同时由静止释放，则下列分析正确的是( )
A．物块B从释放到最低点的过程中，物块A的动能不断增大
B．物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B的机械能先增大后减小
C．PO与水平方向的夹角为45°时，物块A、B速度大小关系是vA＝eq \f(\r(2),2)vB
D．物块A在运动过程中最大速度为 eq \r(\f(2mBgh,mA))
第3讲 机械能守恒定律
答案
例1、CD 变式1、BC 例2、C 变式2、BC 变式3、D
例3、（1）10 m （2）能。理由略 （3）10eq \r(3)m/s（或者17.3 m/s）
例4、D 变式4、BC 变式5、（1）3 s （2）90 N （3）1.4 m
例5、B 变式6、1.2S 变式7、（1）30N （2）20cm （3）1m/s
例6、答案：（1）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R （2）1.9
解析：（1）设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时，m1、m2速度大小分别为v1、v2
如图所示，由运动的合成与分解得：v1＝eq \r(2)v2
对m1、m2组成的系统由机械能守恒定律得：m1gR－m2gh＝eq \f(1,2)m1veq \\al( 2,1)＋eq \f(1,2)m2veq \\al( 2,2)
h＝eq \r(2)Rsin 30°
联立以上三式得：v1＝ eq \r(2\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，v2＝ eq \r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得：m2gs′sin 30°＝eq \f(1,2)m2veq \\al( 2,2)
小球m2沿斜面上升的最大距离s＝eq \r(2)R＋s′
联立以上两式并代入v2得s＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R
（2）对m1由机械能守恒定律得：eq \f(1,2)m1veq \\al( 2,1)＝m1geq \f(R,2) ； 代入v1得：eq \f(m1,m2)＝eq \f(2\r(2)＋1,2)≈1.9
变式8、BCD
例7、解析：以直角尺和两小球组成的系统为研究对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
（1）A到达最低点的过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度总是B的2倍，如图所示。
由系统机械能守恒有：2mg·2L＝3mg·L＋eq \f(1,2)·2m·v2＋eq \f(1,2)·3m()2
解得v＝
（2）B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能的增大量等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，如图所示
eq \f(1,2)·2m·(2v)2＋eq \f(1,2)·3m·v2＝2mg·2Lsin θ－3mg·L(1－cs θ)
＝mgL(4sin θ＋3cs θ－3)≤2mg·L
解得vm＝
（3）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置OA相对竖直位置向左偏了α角，如图所示
由系统机械能守恒有
2mg·2Lcs α＝3mg·L(1＋sin α)，此式可化简为4cs α－3sin α＝3，利用三角公式可解得：sin(53°－α)＝sin 37°，α＝16°
B球上升的最大高度h＝L＋Lsin 16°
变式9、BD 例8、C 变式10、BCD
例9、答案：eq \f(2\r(10),5)l
解析：设第一次压缩量为l时，弹簧的弹性势能为Ep
释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v1
由机械能守恒定律得Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,1)
设小球在最高点E时的速度为v2，由临界条件可知：mg＝meq \f(v\\al( 2,2),R)，v2＝eq \r(gR)
由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al( 2,1)＝mg×2R＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,2)
以上几式联立解得Ep＝eq \f(5,2)mgR
设第二次压缩时弹簧的压缩量为x，此时弹簧的弹性势能为Ep′
小球通过最高点E时的速度为v3，由机械能守恒定律可得：Ep′＝mg·2R＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,3)
小球从E点开始做平抛运动，由平抛运动规律得4R＝v3t,2R＝eq \f(1,2)gt2，解得v3＝2eq \r(gR)，解得Ep′＝4mgR
由已知条件可得eq \f(Ep′,Ep)＝eq \f(x2,l2)，代入数据解得x＝eq \f(2\r(10),5)l
变式11、答案：（1）3mg （2） eq \r(\f(h,L)) （3）mg(x eq \r(\f(h,h＋L))＋h＋L)
解析：（1）小球由C到D，机械能守恒mgL＝eq \f(1,2)mv12，v1＝eq \r(2gL)
在D点，F－mg＝meq \f(v12,L)，F＝3mg
由牛顿第三定律知，细绳所能承受的最大拉力为3mg
（2）小球由D到A做平抛运动：vy＝eq \r(2gh)，tanθ＝eq \f(vy,v1)＝ eq \r(\f(h,L))
（3）小球到达A点时：vA2＝vy2＋v12＝2g(h＋L)
在压缩弹簧的过程中小球与弹簧组成的系统机械能守恒Ep＝mgxsinθ＋eq \f(1,2)mvA2
所以Ep＝mg(x eq \r(\f(h,h＋L))＋h＋L)．
【能力展示】
1、C 2、BD 3、C 4、C 5、D 6、B 7、BD 8、ACD 9、D 10、C
11、BD 12、ACD
13、答案：（1）eq \r(2gR) （2）eq \f(\r(3),2)R
解析：（1）A、B组成的系统机械能守恒：mAgR＋mBgR＝eq \f(1,2)mAveq \\al( 2,A)＋eq \f(1,2)mBveq \\al( 2,B)
又A、B速度大小相同：vA＝vB 得：vA＝vB＝eq \r(2gR)
（2）设B球到圆环右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处的水平面为零势能面，由系统机械能守恒得：mAgR＝mBgRcs θ－mAgRsin θ 代入数据得：θ＝30°
所求竖直高度：h＝Rcs θ＝eq \f(\r(3),2)R
14、C 15、B 16、CD 17、D 18、B 19、D 20、ABC 21、BCD 22、BC
23、AD守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
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