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初中数学人教版七年级下册6.3 实数课后练习题
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这是一份初中数学人教版七年级下册6.3 实数课后练习题，共25页。
第六章 重点突破训练：实数的性质及应用
典例体系(本专题41题25页)
考点1：实数常规计算
典例：(2020·邯郸市复兴区户村中学初一期末)计算：
(1)
(2)
【答案】；．
【解析】解：原式
；
原式
．
故答案为；．
方法或规律点拨
本题考核知识点：实数运算.解题关键点：熟记实数运算法则.
巩固练习
1．(2020·广东阳东初一期末)计算：．
【答案】5－π
【解析】解：
＝－2＋4－π＋3
＝5－π．
2．(2020·辽宁西丰初一期末)计算：(1)
(2)
【答案】(1)2；(2)5
【解析】解：(1)原式=
=2；
(2)原式==5
3．(2020·莆田第二十五中学初一期末)计算：．
【答案】
【解析】原式 ．
4．(2020·宁夏盐池初一期末)计算：
【答案】2
【解析】
原式＝﹣2﹣+5+﹣1＝2．
5．(2020·辽宁兴城初二期末)计算：
【答案】-1
【解析】解：原式=
=
=-1
6．(2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一期中)计算：
【答案】0
【解析】解：
=
=．
考点2：自定义新运算
典例：(2019·贵州安顺初一期末)对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：
(a，b)★(c，d)=bc－ad．
例如：(1，2)★(3，4)=2×3－1×4=2．
根据上述规定解决下列问题：
(1)有理数对(2，－3)★(3，－2)=_______；
(2)若有理数对(－3，2x－1)★(1，x+1)=7，则x=_______；
(3)当满足等式(－3，2x－1)★(k，x＋k)=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．
【答案】(1)－5；(2)1；(3)k=1，﹣1，﹣2，﹣4．
【解析】解：(1)﹣5
(2)1
(3)∵等式(－3，2x－1)★(k，x＋k)=5＋2k的x是整数,
∴(2x﹣1)k﹣(﹣3)(x﹢k)=5﹢2k,
∴(2k﹢3)x=5,
∴,
∵k是整数,
∴2k+3=±1或±5,
∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4．.
方法或规律点拨
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
巩固练习
1．(2020·金昌市金川总校第五中学初一期末)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
(1)求4△3的值；
(2)求(x+2)△5=0中x的值．
【答案】(1)7；(2)x1=3, x2=-7
【解析】解：(1)4△3＝42－32 ＝16－9＝7.
(2)(x+2)△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .
2．(2020·河北邢台三中初一期末)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ax＋2by－1，(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T(1，－1)＝－2，T(－3，2)＝4．
(1)求a，b的值；
(2)利用(1)的结果化简求值：(a－4b)(4a－3b)－(2a＋b)(2a－b)
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)∵T(1,-1)＝－2，T(-3,2)＝4，
∴
解得：，
故答案为：．
(2)原式
，
将代入：
原式，
故答案为．
3．(2020·江苏锡山初一期末)定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．
(1)填空：(-3) (-2)= ；
(2)若则x的取值范围为 ；
(3)已知，求x的取值范围；
(4)利用以上新运算化简：．
【答案】(1)1 ；(2)；(3)或；(4)
【解析】(1)∵，
∴(-3)( -2)=-3-2×(-2)=1，
故答案为： 1；
(2)∵
∴，
解得：，
故答案为：；
(3)由题意可知分两种情况讨论：
①，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：；
②，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：；
综上所述：x的取值范围为或；
(4)∵
=
=
∴，
∴
．
4．(2020·江苏省泰兴市济川中学初二期末)定义新运算：对于任意实数，、，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
(1)求，求的值；
(2)若的值小于10，请判断方程：的根的情况．
【答案】(1)1或-5；(2)有两个不相等的实数根
【解析】解：(1)x⊕(﹣4)＝6
；
∴x的值为1或-5.
(2)3⊕a＜10，
3(3﹣a)+1＜10
10﹣3a＜10
a＞0，
∵
，
所以该方程有两个不相等的实数根.
考点3：实数与数轴
典例：(2020·江苏镇江中考真题)(算一算)
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
(找一找)
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
(画一画)
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(用一用)
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
【答案】(1)5，8；(2)N；(3)图见解析；(4)①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【解析】解：(1)【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣(﹣3)＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
(2)【找一找】：记原点为O，
∵AB＝+1﹣(﹣1)＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，
∴N为原点．
故答案为：N．
(3)【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣(c﹣n)＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
(4)【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a(Ⅰ)；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a(Ⅱ)；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程(Ⅱ)×2﹣方程(Ⅰ)得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
巩固练习
1．(2020·广西防城港初一期中)我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
【答案】(1) OA =；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.
【解析】解：(1)OB2＝12+12＝2，
∴OB＝，
∴OA＝OB=
(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A.
2．(2020·武汉七一华源中学初一月考)如图，点 A 表示，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2.5 个单位到达点 B，设点 B 所表示的数为 m，且 n+2.5 的平方根是 0．
(1) 求 m、n 的值；
(2) 求 ? − 4 − ? − 1 +的 值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】解：(1)∵点 A 沿数轴向右直爬2.5个单位到达点B
∴，
∵n+2.5 的平方根是 0，
∴，即；
(2)当，时，
．
3．(2020·四川三台初二期中)实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简.
【答案】-2a+b
【解析】由图可知，，且，
所以，，
所以
．
4．(2019·浙江永康初一期末)如图，点是数轴上的两点，为原点，点表示的数是1，点在点的左侧，．
(1)求点表示的数；
(2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若点到，两点的距离的和是15，求的值；
(3)动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)-4；(2)6；(3)或3．
【解析】(1)∵点表示的数是l，点在点的左侧，，
∴点表示的数是；
(2)根据题意得：，
解得：，
∴当点到两点的距离的和是15时，的值为6；
(3)当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，
①当点在点左侧时，，
解得：；
②当点在线段上时，，
解得：；
③当点在点右侧时，，
∴此种情况不成立；
综上所述，存在这样的值，使，的值为或3．
5．(2020·湖北茅箭初二期中)已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式-+|1-b|．
【答案】-2a．
【解析】由题意，可得a＜0＜b，且|a|＜1，|b|＞2，
-+|1-b|
=1-a-(a+b)+(b-1)
=1-a-a-b+b-1
=-2a．
6．(2019·湖北房县初一期末)数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a－3|+(b－4)2=0．
(1)请直接写出a= ，b= ；
(2)如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；
(3)如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．
【答案】(1)a=3，b=4；(2)t=或 ；(3)此时点M对应的数为12．
【解析】(1)∵|a－3|+(b－4)2=0．
∴a－3=0，b－4=0
∴a=3，b=4
(2)①点M未到达O时(0＜t≤时)，
NP=OP=2t，AM=3t，OM=10－3t，
即2t+10－3t=3t，解得t=
②点M到达O返回时(＜t≤时)，
OM=3t－10，AM=20－3t，
即2t+3t－10=20－3t，解得t=
③点M到达O返回时，即t＞时，不成立
(3)①依题意，当M在OA之间时，
NO+OM+AM+MN+OA+AN
=4t+3t+(10－3t)+7t+10+(10+4t)=15t+30=94，
解得t=＞，不符合题意，舍去；
②当M在A右侧时，
NO+OA+AM+AN+OM+MN=4t+10+(3t－10)+(4t+10)+3t+7t=94，
解得 t=4，
点M对应的数为12
答：此时点M对应的数为12．
7．(2019·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中)如图①,在直角三角形中， ,则有,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”．
请利用上面的“勾股定理”，解决下面的问题:
如图②，在三角形中,,求的长；
如图③，线段垂直于数轴, ,请在数轴上找出表示的点．
【答案】；见解析
【解析】解：
；
由可知，以为圆心长为半径画圆，交轴正半轴一点,这个点就是点；
8．(2020·浙江东阳初一期末)教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为 ， ；
(2)请你参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成一个正方形．
①在图3中画出裁剪线，并在图4位置画出所拼正方形的示意图．
②在数轴上分别标出表示数以及﹣3的点，(图中标出必要线段长)
【答案】(1)，；(2)①详见解析；②详见解析
【解析】解：(1)由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点左侧，
∴点A表示的实数为，
由图可得，点B到原点的距离为：，点B在原点右侧，
∴点B表示的实数为，
故答案为：，；
(2)如图所示：
(3)表示数以及﹣3的点如图所示：
考点4：实数运算与规律探究
典例：．(2020·山西交城初二期中)观察下列式子变形过程，完成下列任务：
(1)类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；
(2)算：.
【答案】(1)，验证见解析；(2)
【解析】(1)，
验证：
，
，
(2)，
，
．
故答案为(1)，验证见解析；(2)
方法或规律点拨
本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．
巩固练习
1．(2020·吉林长岭初二期末)观察下列各式：①，②；③，…
(1)请观察规律，并写出第④个等式： ；
(2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律： ；
(3)请证明(2)中的结论．
【答案】(1) ；(2) ；(3)详见解析．
【解析】解：(1)
(2)
(3)
故答案为(1)
2．(2020·山东招远初三期中)阅读下列材料，并解答问题：
①；
②；
③；
④；……
(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；
(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；
(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．
【答案】(1)；(2)=；(3).
【解析】(1)观察前4个等式，可知第⑤个等式是，
故答案为；
(2)观察可知等式左边是，右边是，
所以用含n的等式表示为： =；
(3)＋＋＋…＋
=+++…+
=
=.
3．(2020·河北泊头初二期中)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，1＜＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
(3)已知：90+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根．
【答案】(1)5，﹣5；(2)2；(3)﹣13，13．
【解析】解：(1)∵5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是−5，
故答案为：5， ﹣5，
(2)3＜＜4，5＜＜6，
由题意可知：a＝﹣3，b＝5，所以原式＝﹣3+5﹣＝2；
(3)10＜＜11，
由题意可知：x＝100，y＝﹣10，
所以原式＝100++59-(-10)=169，
169的平方根为±13，
所以平方根为﹣13，13．
4．(2020·沭阳县修远中学初二月考)观察下列等式：
回答下列问题：
(1)化简： (无需化为最简二次根式)
(2)化简： (为正整数)
(3)利用上面所揭示的规律计算(无需化为最简二次根式)：
【答案】(1) (2) (3)
【解析】解：(1)；
故答案为：；
(2)；为正整数)；
故答案为：；
(3)
．
5．(2020·云南西山初三学业考试)观察下列等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第个等式：_ ；
(2)计算：．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)
(2)
6．(2020·全国初一课时练习)阅读下面的解答过程．
计算：．
解：因为，
所以原式
．
根据以上解题方法计算：
(1)________(n为正整数)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【解析】(1)
(2)
．
(3)原式
．
7．(2020·湖南茶陵初二期末)观察下列各式及其验证过程：
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
针对上述各式反应的规律，写出用为任意自然数，且表示的等式，并说明它成立．
【答案】;.
【解析】解：
验证：；
，
证明：．
考点5：实数的实际应用问题
典例：(2020·河南巩义初一期末)有一块正方形钢板，面积为16平方米．
(1)求正方形钢板的边长．
(2)李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．(参考数据：，)．
【答案】(1)4米 (2)见解析
【解析】解：(1)正方形的面积是16平方米，
正方形钢板的边长是米；
(2)设长方形的长宽分别为米、米，
则，
，
，
，，
长方形长是米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键.
巩固练习
1．(2020·重庆綦江初二月考)(1)已知x=，求代数式x2+5x-6的值．
(2)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．
【答案】(1)；(2)AC=
【解析】(1)解：当x=时，
原式=
=
=；
(2)解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10-x)2．
解得：x=，即AC=．
2．(2020·山西兴县初二期中)为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：
有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求剩余木料的面积？
(2)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．
【答案】(1)6；(2)2
【解析】(1)∵两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为和，
∴剩余木料的面积为；
(2)∵剩余木料的长为，宽为，且，，
∴从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．
3．(2019·重庆北碚西南大学附中初二月考)“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：
①先画一个矩形，把它分成p×q个方格(p，q分别为两乘数的位数)在方格上边、右边分别写下两个因数；
②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；
③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；
④最后得到结果(方格左侧与下方数字依次排列)．比如：
(1)图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝ ，x9×784＝
(2)图2是用“铺地锦”计算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．
【答案】(1)2，30576；(2)m和n的值分别为1和2或7和0
【解析】解：(1)由“铺地锦”格子可知：x＝3，y＝7，z＝2，
∴x9×784＝39×784=30576，
故答案为2，30576．
(2)由题意bd＝16．
①当b＝d＝4时，a＝6，c＝3，m＝1，n＝2．
②当b＝2，d＝8时，a＝3，c＝6，m＝1，n＝2，
③当b＝8，d＝2时，a＝2，c＝9，m＝7，n＝0，
∴m和n的值分别为1和2或7和0．
考点6：多项式化简求值
典例：(2020·广东中考真题)先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】解：原式
，
将，代入得：
原式．
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．
巩固练习
1．(2020·新疆中考真题)先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】解：
当，上式
2．(2020·吉林高新技术产业开发区初三一模)先化简，再求值：，其中＝－3，＝．
【答案】,23
【解析】原式，
当，时，原式．
3．(2020·右玉县二中初二期中)已知，求x2+y2+2xy﹣2x﹣2y的值．
【答案】12﹣4
【解析】∵，
∴x2+y2+2xy﹣2x﹣2y
＝(x+y)2﹣2(x+y)
＝(x+y)(x+y﹣2)
＝
＝2×(2﹣2)
＝12﹣4．
4．(2020·吉林二道初三一模)先化简，再求值：其中．
【答案】,1
【解析】原式
当时，原式．
5．(2020·鄱阳县第二中学初二月考)利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如：时，移项，两边平方得，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的题目，已知，
求：(1)a2+a的值；
(2)a3-2a+2020的值．
【答案】(1)；(2)2019
【解析】解：(1)∵
移项变形可得
两边平方得
∴
∴
(2)
=
=
=
=
=2019
第六章 重点突破训练：实数的性质及应用
典例体系(本专题41题25页)
考点1：实数常规计算
典例：(2020·邯郸市复兴区户村中学初一期末)计算：
(1)
(2)
【答案】；．
【解析】解：原式
；
原式
．
故答案为；．
方法或规律点拨
本题考核知识点：实数运算.解题关键点：熟记实数运算法则.
巩固练习
1．(2020·广东阳东初一期末)计算：．
【答案】5－π
【解析】解：
＝－2＋4－π＋3
＝5－π．
2．(2020·辽宁西丰初一期末)计算：(1)
(2)
【答案】(1)2；(2)5
【解析】解：(1)原式=
=2；
(2)原式==5
3．(2020·莆田第二十五中学初一期末)计算：．
【答案】
【解析】原式 ．
4．(2020·宁夏盐池初一期末)计算：
【答案】2
【解析】
原式＝﹣2﹣+5+﹣1＝2．
5．(2020·辽宁兴城初二期末)计算：
【答案】-1
【解析】解：原式=
=
=-1
6．(2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一期中)计算：
【答案】0
【解析】解：
=
=．
考点2：自定义新运算
典例：(2019·贵州安顺初一期末)对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：
(a，b)★(c，d)=bc－ad．
例如：(1，2)★(3，4)=2×3－1×4=2．
根据上述规定解决下列问题：
(1)有理数对(2，－3)★(3，－2)=_______；
(2)若有理数对(－3，2x－1)★(1，x+1)=7，则x=_______；
(3)当满足等式(－3，2x－1)★(k，x＋k)=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．
【答案】(1)－5；(2)1；(3)k=1，﹣1，﹣2，﹣4．
【解析】解：(1)﹣5
(2)1
(3)∵等式(－3，2x－1)★(k，x＋k)=5＋2k的x是整数,
∴(2x﹣1)k﹣(﹣3)(x﹢k)=5﹢2k,
∴(2k﹢3)x=5,
∴,
∵k是整数,
∴2k+3=±1或±5,
∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4．.
方法或规律点拨
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
巩固练习
1．(2020·金昌市金川总校第五中学初一期末)在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
(1)求4△3的值；
(2)求(x+2)△5=0中x的值．
【答案】(1)7；(2)x1=3, x2=-7
【解析】解：(1)4△3＝42－32 ＝16－9＝7.
(2)(x+2)△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .
2．(2020·河北邢台三中初一期末)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ax＋2by－1，(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T(1，－1)＝－2，T(－3，2)＝4．
(1)求a，b的值；
(2)利用(1)的结果化简求值：(a－4b)(4a－3b)－(2a＋b)(2a－b)
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)∵T(1,-1)＝－2，T(-3,2)＝4，
∴
解得：，
故答案为：．
(2)原式
，
将代入：
原式，
故答案为．
3．(2020·江苏锡山初一期末)定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．
(1)填空：(-3) (-2)= ；
(2)若则x的取值范围为 ；
(3)已知，求x的取值范围；
(4)利用以上新运算化简：．
【答案】(1)1 ；(2)；(3)或；(4)
【解析】(1)∵，
∴(-3)( -2)=-3-2×(-2)=1，
故答案为： 1；
(2)∵
∴，
解得：，
故答案为：；
(3)由题意可知分两种情况讨论：
①，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：；
②，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：；
综上所述：x的取值范围为或；
(4)∵
=
=
∴，
∴
．
4．(2020·江苏省泰兴市济川中学初二期末)定义新运算：对于任意实数，、，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
(1)求，求的值；
(2)若的值小于10，请判断方程：的根的情况．
【答案】(1)1或-5；(2)有两个不相等的实数根
【解析】解：(1)x⊕(﹣4)＝6
；
∴x的值为1或-5.
(2)3⊕a＜10，
3(3﹣a)+1＜10
10﹣3a＜10
a＞0，
∵
，
所以该方程有两个不相等的实数根.
考点3：实数与数轴
典例：(2020·江苏镇江中考真题)(算一算)
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
(找一找)
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
(画一画)
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(用一用)
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
【答案】(1)5，8；(2)N；(3)图见解析；(4)①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【解析】解：(1)【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣(﹣3)＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
(2)【找一找】：记原点为O，
∵AB＝+1﹣(﹣1)＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，
∴N为原点．
故答案为：N．
(3)【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣(c﹣n)＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
(4)【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a(Ⅰ)；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a(Ⅱ)；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程(Ⅱ)×2﹣方程(Ⅰ)得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
巩固练习
1．(2020·广西防城港初一期中)我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
【答案】(1) OA =；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.
【解析】解：(1)OB2＝12+12＝2，
∴OB＝，
∴OA＝OB=
(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A.
2．(2020·武汉七一华源中学初一月考)如图，点 A 表示，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2.5 个单位到达点 B，设点 B 所表示的数为 m，且 n+2.5 的平方根是 0．
(1) 求 m、n 的值；
(2) 求 ? − 4 − ? − 1 +的 值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】解：(1)∵点 A 沿数轴向右直爬2.5个单位到达点B
∴，
∵n+2.5 的平方根是 0，
∴，即；
(2)当，时，
．
3．(2020·四川三台初二期中)实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简.
【答案】-2a+b
【解析】由图可知，，且，
所以，，
所以
．
4．(2019·浙江永康初一期末)如图，点是数轴上的两点，为原点，点表示的数是1，点在点的左侧，．
(1)求点表示的数；
(2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若点到，两点的距离的和是15，求的值；
(3)动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)-4；(2)6；(3)或3．
【解析】(1)∵点表示的数是l，点在点的左侧，，
∴点表示的数是；
(2)根据题意得：，
解得：，
∴当点到两点的距离的和是15时，的值为6；
(3)当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，
①当点在点左侧时，，
解得：；
②当点在线段上时，，
解得：；
③当点在点右侧时，，
∴此种情况不成立；
综上所述，存在这样的值，使，的值为或3．
5．(2020·湖北茅箭初二期中)已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式-+|1-b|．
【答案】-2a．
【解析】由题意，可得a＜0＜b，且|a|＜1，|b|＞2，
-+|1-b|
=1-a-(a+b)+(b-1)
=1-a-a-b+b-1
=-2a．
6．(2019·湖北房县初一期末)数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a－3|+(b－4)2=0．
(1)请直接写出a= ，b= ；
(2)如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；
(3)如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．
【答案】(1)a=3，b=4；(2)t=或 ；(3)此时点M对应的数为12．
【解析】(1)∵|a－3|+(b－4)2=0．
∴a－3=0，b－4=0
∴a=3，b=4
(2)①点M未到达O时(0＜t≤时)，
NP=OP=2t，AM=3t，OM=10－3t，
即2t+10－3t=3t，解得t=
②点M到达O返回时(＜t≤时)，
OM=3t－10，AM=20－3t，
即2t+3t－10=20－3t，解得t=
③点M到达O返回时，即t＞时，不成立
(3)①依题意，当M在OA之间时，
NO+OM+AM+MN+OA+AN
=4t+3t+(10－3t)+7t+10+(10+4t)=15t+30=94，
解得t=＞，不符合题意，舍去；
②当M在A右侧时，
NO+OA+AM+AN+OM+MN=4t+10+(3t－10)+(4t+10)+3t+7t=94，
解得 t=4，
点M对应的数为12
答：此时点M对应的数为12．
7．(2019·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中)如图①,在直角三角形中， ,则有,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”．
请利用上面的“勾股定理”，解决下面的问题:
如图②，在三角形中,,求的长；
如图③，线段垂直于数轴, ,请在数轴上找出表示的点．
【答案】；见解析
【解析】解：
；
由可知，以为圆心长为半径画圆，交轴正半轴一点,这个点就是点；
8．(2020·浙江东阳初一期末)教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为 ， ；
(2)请你参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成一个正方形．
①在图3中画出裁剪线，并在图4位置画出所拼正方形的示意图．
②在数轴上分别标出表示数以及﹣3的点，(图中标出必要线段长)
【答案】(1)，；(2)①详见解析；②详见解析
【解析】解：(1)由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点左侧，
∴点A表示的实数为，
由图可得，点B到原点的距离为：，点B在原点右侧，
∴点B表示的实数为，
故答案为：，；
(2)如图所示：
(3)表示数以及﹣3的点如图所示：
考点4：实数运算与规律探究
典例：．(2020·山西交城初二期中)观察下列式子变形过程，完成下列任务：
(1)类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；
(2)算：.
【答案】(1)，验证见解析；(2)
【解析】(1)，
验证：
，
，
(2)，
，
．
故答案为(1)，验证见解析；(2)
方法或规律点拨
本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．
巩固练习
1．(2020·吉林长岭初二期末)观察下列各式：①，②；③，…
(1)请观察规律，并写出第④个等式： ；
(2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律： ；
(3)请证明(2)中的结论．
【答案】(1) ；(2) ；(3)详见解析．
【解析】解：(1)
(2)
(3)
故答案为(1)
2．(2020·山东招远初三期中)阅读下列材料，并解答问题：
①；
②；
③；
④；……
(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；
(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；
(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．
【答案】(1)；(2)=；(3).
【解析】(1)观察前4个等式，可知第⑤个等式是，
故答案为；
(2)观察可知等式左边是，右边是，
所以用含n的等式表示为： =；
(3)＋＋＋…＋
=+++…+
=
=.
3．(2020·河北泊头初二期中)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，1＜＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
(3)已知：90+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根．
【答案】(1)5，﹣5；(2)2；(3)﹣13，13．
【解析】解：(1)∵5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是−5，
故答案为：5， ﹣5，
(2)3＜＜4，5＜＜6，
由题意可知：a＝﹣3，b＝5，所以原式＝﹣3+5﹣＝2；
(3)10＜＜11，
由题意可知：x＝100，y＝﹣10，
所以原式＝100++59-(-10)=169，
169的平方根为±13，
所以平方根为﹣13，13．
4．(2020·沭阳县修远中学初二月考)观察下列等式：
回答下列问题：
(1)化简： (无需化为最简二次根式)
(2)化简： (为正整数)
(3)利用上面所揭示的规律计算(无需化为最简二次根式)：
【答案】(1) (2) (3)
【解析】解：(1)；
故答案为：；
(2)；为正整数)；
故答案为：；
(3)
．
5．(2020·云南西山初三学业考试)观察下列等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第个等式：_ ；
(2)计算：．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)
(2)
6．(2020·全国初一课时练习)阅读下面的解答过程．
计算：．
解：因为，
所以原式
．
根据以上解题方法计算：
(1)________(n为正整数)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【解析】(1)
(2)
．
(3)原式
．
7．(2020·湖南茶陵初二期末)观察下列各式及其验证过程：
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
针对上述各式反应的规律，写出用为任意自然数，且表示的等式，并说明它成立．
【答案】;.
【解析】解：
验证：；
，
证明：．
考点5：实数的实际应用问题
典例：(2020·河南巩义初一期末)有一块正方形钢板，面积为16平方米．
(1)求正方形钢板的边长．
(2)李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．(参考数据：，)．
【答案】(1)4米 (2)见解析
【解析】解：(1)正方形的面积是16平方米，
正方形钢板的边长是米；
(2)设长方形的长宽分别为米、米，
则，
，
，
，，
长方形长是米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键.
巩固练习
1．(2020·重庆綦江初二月考)(1)已知x=，求代数式x2+5x-6的值．
(2)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．
【答案】(1)；(2)AC=
【解析】(1)解：当x=时，
原式=
=
=；
(2)解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10-x)2．
解得：x=，即AC=．
2．(2020·山西兴县初二期中)为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：
有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求剩余木料的面积？
(2)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．
【答案】(1)6；(2)2
【解析】(1)∵两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为和，
∴剩余木料的面积为；
(2)∵剩余木料的长为，宽为，且，，
∴从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．
3．(2019·重庆北碚西南大学附中初二月考)“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：
①先画一个矩形，把它分成p×q个方格(p，q分别为两乘数的位数)在方格上边、右边分别写下两个因数；
②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；
③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；
④最后得到结果(方格左侧与下方数字依次排列)．比如：
(1)图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝ ，x9×784＝
(2)图2是用“铺地锦”计算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．
【答案】(1)2，30576；(2)m和n的值分别为1和2或7和0
【解析】解：(1)由“铺地锦”格子可知：x＝3，y＝7，z＝2，
∴x9×784＝39×784=30576，
故答案为2，30576．
(2)由题意bd＝16．
①当b＝d＝4时，a＝6，c＝3，m＝1，n＝2．
②当b＝2，d＝8时，a＝3，c＝6，m＝1，n＝2，
③当b＝8，d＝2时，a＝2，c＝9，m＝7，n＝0，
∴m和n的值分别为1和2或7和0．
考点6：多项式化简求值
典例：(2020·广东中考真题)先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】解：原式
，
将，代入得：
原式．
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．
巩固练习
1．(2020·新疆中考真题)先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】解：
当，上式
2．(2020·吉林高新技术产业开发区初三一模)先化简，再求值：，其中＝－3，＝．
【答案】,23
【解析】原式，
当，时，原式．
3．(2020·右玉县二中初二期中)已知，求x2+y2+2xy﹣2x﹣2y的值．
【答案】12﹣4
【解析】∵，
∴x2+y2+2xy﹣2x﹣2y
＝(x+y)2﹣2(x+y)
＝(x+y)(x+y﹣2)
＝
＝2×(2﹣2)
＝12﹣4．
4．(2020·吉林二道初三一模)先化简，再求值：其中．
【答案】,1
【解析】原式
当时，原式．
5．(2020·鄱阳县第二中学初二月考)利用平方根去括号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如：时，移项，两边平方得，所以a2-2a+1=2，即a2-2a-1=0。仿照上述方法完成下面的题目，已知，
求：(1)a2+a的值；
(2)a3-2a+2020的值．
【答案】(1)；(2)2019
【解析】解：(1)∵
移项变形可得
两边平方得
∴
∴
(2)
=
=
=
=
=2019
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