2022-2023学年浙江省宁波市咸祥中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省宁波市咸祥中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的斜率为2，且过点，则直线的一般方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出直线的点斜式方程，再化为一般方程可得答案.

【详解】因为直线的斜率为2，且过点，

由直线的点斜式方程可得，

则直线的一般方程是.

故选：A.

2．在空间直角坐标系中，，，，则，，三点所在平面的其中一个法向量的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据法向量的求解方法求解即可.

【详解】解：由题知，

设平面的一个法向量为，

所以，，即，令，则

所以，.

故选：B

3．直线：在轴，轴上的截距之和是（    ）

A．7 B． C． D．1

【答案】D

【分析】把直线化为截距式，得到在两坐标轴的截距即可求解

【详解】直线：化为截距式得，

则直线：在轴，轴上的截距分别为：，

所以直线：在轴，轴上的截距之和是，

故选：D

4．若方程：表示圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.

【详解】因为方程：表示圆，

则有，解得：，

故选：B.

5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，由，即可求出答案.

【详解】连接如下图：

由于是的中点，

.

根据题意知.

.

故选：C.

6．已知圆：，则直线：被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.

【详解】圆的圆心，半径为，

圆心到直线的距离为，

则直线被圆截得的弦长为.

故选：A.

7．已知，，，若，，共面，则实数的值等于（    ）

A． B． C． D．0

【答案】D

【分析】根据向量共面的性质，得到，列方程求解即可.

【详解】，，共面，可得，则，解得

故选：D

8．已知圆：，则动直线：所截得弦长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得动直线过定点，再根据时，弦长最短和动直线过圆心时，弦长最长求解.

【详解】解：由，解得，

则动直线：过定点，

当时，弦长最短，此时，

所以最短弦长为，

当动直线过圆心时，弦长最长，即为直径，

所以所截得弦长的取值范围是，

故选：D

二、多选题

9．关于椭圆：，下列叙述正确的是（    ）

A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点

【答案】BC

【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.

【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.

将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.

故选：BC.

10．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．，，则 B．，，则

C．，，则 D．，，则

【答案】BD

【分析】根据直线与直线、直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项进行检验即可求解.

【详解】对于选项A，因为，，所以直线，可以相交或或与异面，故选项A错误；

对于选项B，因为，，所以，故选项B正确；

对于选项C，因为，，所以或相交，故选项C错误；

对于选项D，因为，，所以，故选项D正确，

故选：BD.

11．已知圆：，圆：，下列描述正确的是（    ）

A．，两圆内含 B．两圆相切

C．两圆相交 D．两圆公共弦所在的直线过原点

【答案】ABCD

【分析】利用两圆的位置关系求解判断.

【详解】解：已知圆：，圆：，

若两圆内含，则，即或（舍去），解得，故A正确；

若两圆相切，则或，解得或，故B正确；

若两圆相交，则，解得，故C正确；

当时，，两圆方程相减得，所以两圆公共弦所在的直线过原点，故D正确；

故选：ABCD

12．如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ）

A．到直线的最大距离为 B．点的轨迹是一个圆

C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】CD

【分析】选项A：由，得，分析得的轨迹为圆，再求最值即可；

选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段；

选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得；

选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.

【详解】对于A:，即，所以，即点E在面内，以为圆心、半径为1 的圆上,所以，当位于中点时，到直线的距离最大，为，故A错误；

对于B: 正方体中，，又，且，所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误；

对于C:在平面内，

到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；

对于D:

建立如图示的坐标系，则,

由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段，

所以设，则，则，

而

设平面的法向量，则有，

不妨令，则，

设与平面所成角为，

则：

当时，有最大值，故D正确；

故选：CD

三、填空题

13．已知直线：，：，则两直线的距离是______.

【答案】.

【分析】由平行线间距离公式进行计算.

【详解】由平行线间距离公式得：.

故答案为：.

14．已知，，且，则等于______.

【答案】####4.5

【分析】先利用空间向量线性运算法则计算出，，再由向量平行得到方程组，求出的值，求出.

【详解】，

，

因为，

所以存在非零实数，使得，

故，解得：，

故.

故答案为：.

15．点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是______.

【答案】

【分析】由椭圆的定义求解即可

【详解】因为，

由椭圆的定义可知，

动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，

所以，，

所以点的轨迹方程是，

故答案为：

16．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据已知条件，直线过圆心，得到a，b的关系式，代入式子可得到二次式，求二次函数的最小值即可.

【详解】圆：，圆心为（-2，-1），半径为2，

由已知可得，直线：过圆心，即有，

即，则

代入

故答案为：20.

四、解答题

17．已知点，，直线：.

(1)直线过点，，求直线的一般方式；

(2)求过中点且与直线垂直的直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得斜率，再利用点斜式求解；

（2）先求得AB的中点坐标，再根据垂直得到斜率求解.

【详解】（1）解：因为点，，

所以所以直线方程为：，

化为一般式方程为：；

（2）因为点，，

由中点公式得AB的中点坐标为，

又所求直线斜率为，

所以直线方程为：.

18．在正方体中，是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，结合线面平行的判定定理即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面法向量，结合点到面的距离公式即可求解.

【详解】（1）连接，交于,连接，

在正方体中，平面为正方形，

所以是的中点，

又因为是的中点，

所以为的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

设不妨设正方体棱长为2，则,

所以，,

设平面的法向量为，则

,即，令，则，

所以平面的法向量，

所以点到平面的距离为

.

19．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及短轴长，结合椭圆中的关系即可求解；

（2）利用直线与椭圆的位置关系及一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】（1）由题意可知，，解得，

故椭圆标准方程为.

（2）由，消去，得，

因为直线与椭圆有两个交点，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围为.

20．如图：在多面体中，四边形是正方形，平面，，，点为棱的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由三角形中位线的平行性证得MN平面EFC，由平行四边形的平行性证得BD平面EFC，从而证出平面BMD 平面EFC.

（2）以D为原点建系后，利用线面角公式计算即可.

【详解】（1）连接，交于N，则N为的中点.

∵M为AE的中点，

∴

∵MN平面EFC，EC平面EFC，

∴MN平面EFC

∵

∴四边形BDEF为平行四边形，

∴

∵BD平面EFC，EF平面EFC，

∴BD平面EFC

又∵，MN、BD平面BDM

∴平面BMD 平面EFC

（2）∵，BF⊥平面ABCD

∴DE⊥平面ABCD

又∵四边形ABCD是正方形

∴DA、DC、DE两两垂直

∴以D为原点，分别以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设AB=2，则DE=4，

则，，，

∴，，

设平面BDM的一个法向量

由 得

令x=2，得y=－2，z=－1，

∴

设AE与平面BDM所成的角为，

∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.

21．已知平面，，是正三角形，.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取中点为，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；

（2）根据（1）中所证，先找到二面角的平面角，再解三角形即可.

【详解】（1）取中点分别为，连接，如下所示:

因为面面，故；又△为等边三角形，故；

又面，故面；

又在△中，分别为的中点，故//；

因为面面，故//，又；

故//，则四边形为平行四边形，则//，

故面，又面，故面面.

（2）连接，过作，连接，如下所示：

在△中，因为为中点，故，

又由（1）可得：平面面，又面面，面，

故面，故即为所求二面角的平面角；

设，易知，，，，

故在△中，由余弦定理可得，则，

则在△中，，解得；

又在△中，，，

故，故二面角的余弦值为.

22．平面直角坐标系中，圆M经过点，，．

(1)求圆M的方程；

(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上，过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值．

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求解；

（2）设直线的方程为，分k＝0和k≠0两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，，再根据，结合基本不等式即可得出答案．

【详解】（1）设圆M的方程为，

则，解得，

所以圆M的标准方程为；

（2）设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，

（ii）若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，因为，所以S的最大值为7．