浙江省宁波市咸祥中学2022-2023学年高二数学上学期期中检测试题（Word版附解析）

宁波市咸祥中学2022学年第一学期高二数学学科期中考试

姓名________  班级________  学号________

一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分.

1. 已知直线的斜率为2，且过点，则直线的一般方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线的点斜式方程，再化为一般方程可得答案.

【详解】因为直线的斜率为2，且过点，

由直线的点斜式方程可得，

则直线的一般方程是.

故选：A.

2. 在空间直角坐标系中，，，，则，，三点所在平面的其中一个法向量的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据法向量的求解方法求解即可.

【详解】解：由题知，

设平面的一个法向量为，

所以，，即，令，则

所以，.

故选：B

3. 直线：在轴，轴上的截距之和是（    ）

A. 7 B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】把直线化为截距式，得到在两坐标轴的截距即可求解

【详解】直线：化为截距式得，

则直线：在轴，轴上的截距分别为：，

所以直线：在轴，轴上的截距之和是，

故选：D

4. 若方程：表示圆，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.

【详解】因为方程：表示圆，

则有，解得：，

故选：B.

5. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】连接，由，即可求出答案.

【详解】连接如下图：

由于是的中点，

.

根据题意知.

.

故选：C.

6. 已知圆：，则直线：被圆截得的弦长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.

【详解】圆的圆心，半径为，

圆心到直线的距离为，

则直线被圆截得的弦长为.

故选：A.

7. 已知，，，若，，共面，则实数的值等于（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量共面的性质，得到，列方程求解即可.

【详解】，，共面，可得，则，解得

故选：D

8. 已知圆：，则动直线：所截得弦长的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得动直线过定点，再根据时，弦长最短和动直线过圆心时，弦长最长求解.

【详解】解：由，解得，

则动直线：过定点，

当时，弦长最短，此时，

所以最短弦长，

当动直线过圆心时，弦长最长，即为直径，

所以所截得弦长的取值范围是，

故选：D

二、多项选择题：本大题共4题，每题5分，共20分.

9. 关于椭圆：，下列叙述正确的是（    ）

A. 焦点在轴上 B. 长轴长为4 C. 离心率为 D. 过点

【答案】BC

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.

【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.

将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.

故选：BC.

10. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ）

A. ，，则 B. ，，则

C ，，则 D. ，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】根据直线与直线、直线与平面，平面与平面位置关系，逐项进行检验即可求解.

【详解】对于选项A，因为，，所以直线，可以相交或或与异面，故选项A错误；

对于选项B，因为，，所以，故选项B正确；

对于选项C，因为，，所以或相交，故选项C错误；

对于选项D，因为，，所以，故选项D正确，

故选：BD.

11. 已知圆：，圆：，下列描述正确的是（    ）

A. ，两圆内含 B. 两圆相切

C. 两圆相交 D. 两圆公共弦所在的直线过原点

【答案】ABCD

【解析】

【分析】利用两圆的位置关系求解判断.

【详解】解：已知圆：，圆：，

若两圆内含，则，即或（舍去），解得，故A正确；

若两圆相切，则或，解得或，故B正确；

若两圆相交，则，解得，故C正确；

当时，，两圆方程相减得，所以两圆公共弦所在的直线过原点，故D正确；

故选：ABCD

12. 如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ）

A. 到直线的最大距离为 B. 点的轨迹是一个圆

C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】CD

【解析】

【分析】选项A：由，得，分析得的轨迹为圆，再求最值即可；

选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段；

选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得；

选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.

【详解】对于A:，即，所以，即点E在面内，以为圆心、半径为1 的圆上,所以，当位于中点时，到直线的距离最大，为，故A错误；

对于B: 正方体中，，又，且，所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误；

对于C:在平面内，

到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；

对于D:

建立如图示的坐标系，则,

由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段，

所以设，则，则，

而

设平面的法向量，则有，

不妨令，则，

设与平面所成角为，

则：

当时，有最大值，故D正确；

故选：CD

三、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分.

13. 已知直线：，：，则两直线的距离是______.

【答案】

【解析】

【分析】由平行线间距离公式进行计算.

【详解】由平行线间距离公式得：.

故答案为：.

14. 已知，，且，则等于______.

【答案】####4.5

【解析】

【分析】先利用空间向量线性运算法则计算出，，再由向量平行得到方程组，求出的值，求出.

【详解】，

，

因为，

所以存在非零实数，使得，

故，解得：，

故.

故答案为：.

15. 点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是______.

【答案】

【解析】

【分析】由椭圆的定义求解即可

【详解】因为，

由椭圆的定义可知，

动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，

所以，，

所以点的轨迹方程是，

故答案为：

16. 若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件，直线过圆心，得到a，b的关系式，代入式子可得到二次式，求二次函数的最小值即可.

【详解】圆：，圆心为（-2，-1），半径为2，

由已知可得，直线：过圆心，即有，

即，则

代入

故答案为：20.

四、解答题：本大题共6题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.

17. 已知点，，直线：.

（1）直线过点，，求直线的一般方式；

（2）求过中点且与直线垂直的直线方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得斜率，再利用点斜式求解；

（2）先求得AB的中点坐标，再根据垂直得到斜率求解.

【小问1详解】

解：因为点，，

所以所以直线方程为：，

化为一般式方程为：；

【小问2详解】

因为点，，

由中点公式得AB的中点坐标为，

又所求直线斜率为，

所以直线方程为：.

18. 在正方体中，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，结合线面平行的判定定理即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面法向量，结合点到面的距离公式即可求解.

【小问1详解】

连接，交于,连接，

在正方体中，平面为正方形，

所以是的中点，

又因为是的中点，

所以为的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

以坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

设不妨设正方体棱长为2，则,

所以，,

设平面的法向量为，则

,即，令，则，

所以平面的法向量，

所以点到平面的距离为

.

19. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及短轴长，结合椭圆中的关系即可求解；

（2）利用直线与椭圆的位置关系及一元二次不等式的解法即可求解.

【小问1详解】

由题意可知，，解得，

故椭圆标准方程为.

【小问2详解】

由，消去，得，

因为直线与椭圆有两个交点，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围为.

20. 如图：在多面体中，四边形是正方形，平面，，，点为棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由三角形中位线的平行性证得MN平面EFC，由平行四边形的平行性证得BD平面EFC，从而证出平面BMD 平面EFC.

（2）以D为原点建系后，利用线面角公式计算即可.

【小问1详解】

连接，交于N，则N为的中点.

∵M为AE的中点，

∴

∵MN平面EFC，EC平面EFC，

∴MN平面EFC

∵

∴四边形BDEF为平行四边形，

∴

∵BD平面EFC，EF平面EFC，

∴BD平面EFC

又∵，MN、BD平面BDM

∴平面BMD 平面EFC

【小问2详解】

∵，BF⊥平面ABCD

∴DE⊥平面ABCD

又∵四边形ABCD是正方形

∴DA、DC、DE两两垂直

∴以D为原点，分别以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设AB=2，则DE=4，

则，，，

∴，，

设平面BDM的一个法向量

由 得

令x=2，得y=－2，z=－1，

∴

设AE与平面BDM所成的角为，

∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.

21. 已知平面，，是正三角形，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）取中点为，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；

（2）根据（1）中所证，先找到二面角的平面角，再解三角形即可.

【小问1详解】

取中点分别为，连接，如下所示:

因为面面，故；又△为等边三角形，故；

又面，故面；

又在△中，分别为的中点，故//；

因为面面，故//，又；

故//，则四边形为平行四边形，则//，

故面，又面，故面面.

【小问2详解】

连接，过作，连接，如下所示：

在△中，因为为中点，故，

又由（1）可得：平面面，又面面，面，

故面，故即为所求二面角的平面角；

设，易知，，，，

故在△中，由余弦定理可得，则，

则在△中，，解得；

又在△中，，，

故，故二面角的余弦值为.

22. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，．

（1）求圆M的方程；

（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上，过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值．

【答案】（1）   

（2）7

【解析】

【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求解；

（2）设直线的方程为，分k＝0和k≠0两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，，再根据，结合基本不等式即可得出答案．

【小问1详解】

设圆M的方程为，

则，解得，

所以圆M的标准方程为；

【小问2详解】

设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，

（ii）若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，因为，所以S的最大值为7．