数学必修 第一册第2章 常用逻辑用语本章综合与测试单元测试课时练习

第二章 常用逻辑用语 核心素养优选卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意

1．已知、、、，则“”是“”的（    ）注：表示、之间的较大者.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知函数f（x）＝，则关于函数f（x）有如下说法：

①f（x）的图象关于y轴对称；

②方程f（f（x））＝x的解只有x＝1；

③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立；

④不存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知集合，若，则中所有元素之和为（    ）

A．3 B．1 C． D．

5．若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．下列四个命题，期中真命题的个数是（    ）

①每一个素数都是奇数；②至少有一个等腰三角形不是直角三角形；③；④是的充分不必要条件.

A．1 B．2 C．3 D．4

7．“”是“一元二次方程”有实数解的

A．充分非必要条件 B．充分必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分必要条件

8．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是

C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是

10．下列命题正确的是（    ）

A． B．是的必要不充分条件

C．是的充要条件 D．若，则

11．下列四个条件中可以作为方程有实根的充分不必要条件是（    ）

A．a=0 B． C． D．

12．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ）

A．方程有一个正根一个负根的充要条件是

B．方程有两个正实数根的充要条件是

C．方程无实数根的充要条件是

D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.

14．“或”是“”成立的_____________条件.

15．若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝，则m的取值范围是__．

16．全集是不大于的素数，若，，，则集合___________.

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.

（1）当a=2时，求；

（2）若选        ，求实数a的取值范围.

18．设集合或，或.

（1）设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

19．已知命题：关于的方程的解集至多有两个子集，命题：，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

20．已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

21．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3.

（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

22．设，求证成立的充要条件是．

参考答案

1．B

【解析】充分性：取，，则成立，

但，充分性不成立；

必要性：设，则，，

从而可得，必要性成立.

因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

2．C

【解析】解：①∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故①正确．

②∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0．

∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，方程f（f（x））＝x的解只有x＝1；故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，

根据函数的表达式，

任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确．

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0

∴A（﹣，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④不正确．

综上：①②③正确．

故选：C．

3．B

【解析】①因为，令，得，所以，①不正确；

②，故②正确；

③若整数、属于同一“类”，则整数被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为，即；若，则被6除所得余数为，则整数被6除所得余数相同，故“整数、属于同一“类””的充要条件是“”，所以③正确；

④若整数、满足，，则，，，，

所以，，所以；若，则可能有，所以“整数、满足，”的必要不充分条件是“”，所以④不正确.

故选：B

4．C

【解析】若，则，矛盾；

若，则，矛盾，故，

解得（舍）或，

故，元素之和为，

故选：C.

5．B

【解析】当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.

6．B

【解析】①每一个素数都是奇数；2是素数但不是奇数，错误；

②至少有一个等腰三角形不是直角三角形；存在非直角的等腰三角形，正确；

③；当时，不成立，错误；

④是的充分不必要条件；可以得到，不能得到，正确.

故选

7．A

【解析】方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确．

8．D

【解析】：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是：①“若x，y互为倒数，则xy=1”是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；
③若x2-2x+m=0有实数解，则△=4-4m≥0，解得：m≤1，
∴若m≤1⇔则x2-2x+m=0有实数解”是真命题，
故“若m≤1，则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题是：“若x2-2x+m=0没有有实数解，则m＞1”是真命题，
故③正确；
④若A∩B=B，则A⊇B，故原命题错误，
∴若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题是错误，
故④错误；
故选D．

9．BCD

【解析】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；

对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；

对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；

对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.

故选：BCD

10．ABD

【解析】A：当时，不等式成立，所以A正确.
B：  当时，不成立；成立时，成立.所以B正确.
C： 当时，成立，此时，由推不出.所以C不正确.
D：  由，因为，则,所以D正确.
故选：ABD.

11．AC

【解析】当时，方程有实根；

当时，方程有实根即.

所以且.

综合得.

设选项对应的集合为, 集合,

由题得集合是集合的真子集，

所以只能选AC.

故答案为：AC

12．AB

【解析】解：对A，当时，函数的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故A正确；

对B，若方程有两个正实数根，，

即解得：，故B正确；

对C，方程无实数根，

即，解得：，

方程无实数根的充要条件是，故C错误；

对D，当时，方程为，无实数根，故D错误.

故答案为：AB.

13．15

【解析】由题意可知：，，，满足，将和看成一个元素，

所以的所有非空子集中“具有伙伴关系”的集合：

即为，，，四个“大元素”所构成的集合的非空子集，

所以“具有伙伴关系”的集合的个数为，

故答案为：.

14．必要不充分

【解析】，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

15．m＞﹣4．

【解析】解：A∩R+＝知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，

若A＝，则＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①

若A≠，则＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，

又A中的元素都小于等于零

∵两根之积为1，

∴A中的元素都小于，

∴两根之和﹣（m +2）＜0，解得m＞﹣2

∴m≥0，②

由①②知，m＞﹣4，

故答案为：m＞﹣4．

16．

【解析】因为全集是不大于的素数，所以，

因为，所以，

因为，，

所以可绘出韦恩图，如图所示：

由韦恩图可知，，

故答案为：.

17．（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）当时，集合，，

所以；

（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，

因为，所以又因为，

所以  等号不同时成立，

解得，

因此实数a的取值范围是.

选择因为，所以.

因为，所以.

又因为，

所以，解得，

因此实数a的取值范围是.

选择因为，

而，且不为空集，，

所以或，

解得或，

所以实数a的取值范围是或．

18．

（1）

（2）不存在，理由见解析

19．

【解析】∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，

对于命题，依题意知，∴，令：，：，

由题意知， ∴，解得，

因此实数的取值范围是.

20．（1）；（2）.

【解析】（1）当时，中不等式为，即，

∴或，则

（2）∵，∴，

①当时，，即，此时；

②当时，，即，此时.

综上的取值范围为.

21．（1）2＜x＜3；（2）2≤a≤.

【解析】p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a（a＞0）.

q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8.

（1）当a＝1时，p：1＜x＜3.p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3.

∴实数x的取值范围是2＜x＜3.

（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，

解得：2≤a≤.

∴实数a的取值范围是2≤a≤.

22．见解析

【解析】①充分性：若，则有和两种情况，当时，不妨设，则，

，∴等式成立．

当时，，或，，

当，时，，，∴等式成立，

当，时，，，∴等式成立．

综上，当时，成立．

②必要性：若且，则，

即，

∴，∴．

综上可知，是等式成立的充要条件．