初中数学华师大版八年级下册17.5实践与探索教案设计

17．5　实践与探索

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系．

2．能运用图象法解决一些与不等式(组)和方程(组)有关的实际问题．

3．能求出实际问题中的近似函数关系．

二、重难点目标

【教学重点】

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，运用图象法解决与不等式(组)和方程(组)有关的问题．

【教学难点】

实际问题中的近似函数关系．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P59～P63的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．教材P60“思考”答案：(1)“收费相同”在图象上用甲、乙的交点反映出来．

(2)图象上的点对应的纵坐标表示此时复印费的多少．

2．教材P62“思考”答案：一元一次方程x＋3＝0的解就是函数y＝x＋3的图象与x轴交点的横坐标；不等式x＋3>0的解集就是函数y＝x＋3的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合．

3．前面我们采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式，但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数表达式．

4．看图填空：

(1)当y＝0时，x＝－2；

(2)直线对应的函数表达式是y＝0.5x＋1；

(3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？

解：一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数的函数值为0时自变量的值．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题．

(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式；

(2)求注水多长时间后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；

(3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？

【互动探索】(引发学生思考)(1)根据图象确定点的坐标，再运用待定系数法确定函数表达式；(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同，可以得到一个一元一次方程，解此方程可得注水时间；(3)由图可知乙蓄水池的水深为4米，乙蓄水池水上升的速度为1米/小时，由此求得答案．

【解答】(1)设甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式分别为y甲＝kx＋b，y乙＝k′x＋b′.

根据甲的函数图象可知，当x＝0，y＝2；当x＝3时，y＝0，将它们代入y甲＝kx＋b中，得k＝－，b＝2，所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y甲＝－x＋2.

同理可得乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y乙＝x＋1.

(2)由题意，得－x＋2＝x＋1，解得x＝.

故当注水小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同．

(3)4÷(3÷3)＝4(小时)，所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时，先根据图象确定一次函数的表达式．再结合方程思想求解．

【例2】在同一坐标系下，函数y＝2x＋10与y＝5x＋4的图象如图所示：

请根据图象回答：

(1)方程组的解为________；

(2)不等式2x＋10＜0的解集为________；

(3)方程5x＋4＝0的解为________；

(4)不等式2x＋10＜5x＋4的解集为________．

【互动探索】(引发学生思考)观察图象可知：

(1)两函数的交点为(2，14)，则方程组的解为

(2)不等式2x＋10＜0的解集为x＜－5，即直线y＝2x＋10在x轴下方部分对应的x的取值；

(3)方程5x＋4＝0的解为直线y＝5x＋4与x轴的交点，即x＝－；

(4)不等式2x＋10＜5x＋4的解集为x＞2，即直线y＝2x＋10在直线y＝5x＋4下方部分对应的x的取值．

【答案】(1)　(2)x＜－5　(3)x＝－

(4)x＞2

【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数与方程、不等式的关系：(1)解二元一次方程组←→求对应两条直线交点的坐标；(2)解一元一次不等式←→对应一次函数的函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围；(3)解一元一次方程←→对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标．

【例3】已知某山区的平均气温与该山区的海拔高度之间的关系如下：

若海拔高度用x(m)表示，平均气温用y(℃)表示，试写出y与x之间的函数关系式．

【互动探索】(引发学生思考)先在平面直角坐标系中描出这些数值对应的点，再观察图象，探究其函数关系式．

【解答】将这些数值对应的点在平面直角坐标系中画出，如图所示：

观察图象可知，这些点大致位于同一条直线之上，则y和x近似地符合一次函数关系，由此可用一条直线尽可能地与这些点相贴近，较接近的点是(0，22)，(400，20)．

假设y＝kx＋b，则解得所以y与x之间的近似函数关系式为y＝－x＋22(x≥0)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)求实际问题中的近似函数关系的步骤：(1)将数据中对应点在坐标系中描出并连线；(2)观察图象的变化趋势，判断图象近似符合某种函数关系式；(3)设出函数表达式，用待定系数法确定近似函数的关系式．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2如图，他解的这个方程组是 (　D　)

A.　 B.

C.　 D．

第1题

第2题

2．已知函数y1＝2x－1和y2＝－x－1的图象如图所示，根据图象填空：

(1)当x＞0时，y1＞y2；当x＝0时，y1＝y2；当x＜0时，y1＜y2；

(2)方程组的解是.

3．一次函数y＝kx＋3的图象如图所示，则方程kx＋3＝0的解为x＝－3.

4．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴相交于点(0，－3)，且方程kx＋b＝0的解为x＝2，试求这个一次函数的表达式．

解：由题意，得b＝－3，且函数图象与x轴交点坐标为(2，0)，则2k－3＝0，解得k＝.故一次函数的表达式为y＝x－3.

5．学校准备“五一”组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师有优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示．

根据图象信息，回答下列问题：

(1)当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？

(2)当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？

(3)如果有50人参加，选择哪家旅行社合算？

解：(1)30.

(2)当参加老师的人数小于30时，选择甲旅行社合算．

(3)由图象知：当x＝50时，y1＞y2，所以有50人参加，选择乙旅行社合算．

6．用图象法解下列方程组：

(1)　(2)

解：(1)由x＋y＝－2，得y＝－x－2；由－2x＋y＝1，得y＝2x＋1.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝－x－2的图象l1和函数y＝2x＋1的图象l2，如图1.观察图象，得l1与l2交于点P(－1，－1)，

所以方程组的解是

(2)由x＋y＝5，得y＝5－x；由2x＋y＝8，得y＝8－2x.在同一平面直角坐标系中作出一次函数y＝5－x和y＝8－2x的图象，如图2.观察图象，得其交点坐标为(3，2)，所以方程组的解是

图1

图2

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例4】心理学家研究发现：一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间，学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：

(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；

(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【互动探索】(1)分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的表达式即可；(2)根据(1)中求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；(3)分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差与19比较，大于19则能讲完，否则不能．

【解答】(1)设线段AB所在直线的函数表达式为y1＝k1x＋20.

把B(10，40)代入，得k1＝2.

∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)．

设CD所在双曲线的表达式为y2＝.

把C(25，40)代入，得k2＝1000.

∴y2＝(x≥25)．

(2)当x1＝5时，y1＝2×5＋20＝30；

当x2＝30时，y2＝＝，

∴y1＜y2，

∴第30分钟注意力更集中．

(3)令y1＝36，得36＝2x＋20，解得x1＝8.

令y2＝36，得36＝，解得x2＝≈27.8.

∵27.8－8＝19.8＞19，

∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是根据图象信息，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值算出对应的函数值．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

实践与探索

练习设计

请完成本课时对应练习！