2021学年19.2 菱形综合与测试教学设计

19．2　菱　形

1　菱形的性质(第1课时)

教学目标

一、基本目标

1．认识菱形，理解菱形的基本概念．

2．理解菱形的性质，并能对菱形的性质进行证明．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握菱形的性质．

【教学难点】

用菱形的性质解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P110～P113的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形具有平行四边形的一切性质．

3．菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直．

4．菱形的四条边都相等．

5．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)有哪些特殊的三角形？

解：(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.

相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.

(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，

直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】求证：菱形的对角线互相垂直．

【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→找到等腰三角形→根据等腰三角形三线合一进行证明．

【解答】如图，已知菱形ABCD，AC与BD相交与点O.

求证：AC⊥BD.

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BO＝DO.

∴AO是BD的垂直平分线(等腰三角形三线合一)，即AC⊥BD.

【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形三线合一是常见的证明线段相等或垂直的定理．

【例2】如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，求菱形的周长．

【互动探索】(引发学生思考)由菱形对角线的性质，能得到△AOD是什么特殊三角形？

【解答】∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝OC＝4，BO＝OD＝3，AC⊥BD，AD＝DC＝BC＝AB，

∴∠AOD＝90°，∴AD＝＝＝5，

∴菱形ABCD的周长为5×4＝20.

【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)

A．AB∥DC　 B．AC＝BD

C．AC⊥BD　 D．OA＝OC

第1题

第2题

2．如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则菱形的边长为10.

3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为2cm2.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为(4，0)，点B的纵坐标是－1，则顶点A坐标是________．

【互动探索】观察发现OC为一条对角线，连结AB能得另一条对角线．要确定点A的坐标，需要确定横坐标和纵坐标．连结AB交OC于点D.

∵四边形OACB是菱形，

∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，

∵点C的坐标是(4，0)，点B的纵坐标是－1，

∴OC＝4，BD＝AD＝1，

∴OD＝CD＝2，

∴点A的坐标为(2，1)．

【答案】(2，1)

【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，在平面坐标系问题中，如果其中一条对角线在坐标轴上，作出另一条对角线，那么它与坐标轴垂直，这为我们求点的坐标提供了重要条件．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　菱形的判定(第2课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解菱形的定义，掌握菱形的判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算．

2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

二、重难点目标

【教学重点】

探索证明菱形的两个判定方法，掌握证明的基本要求和方法．

【教学难点】

明确推理证明的条件和结论，能用数学语言正确表达．

教学过程

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P113～P117的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

3．四条边都相等的四边形是菱形．

4．判断下列说法是否正确．

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形．(　×　)

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．(　　)

(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形．(　×　)

(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．(　×　)

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】求证：四条边都相等的四边形是菱形．

【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→证明四边形为平行四边形→根据菱形的定义证明平行四边形为菱形．

【解答】已知：四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.

求证：四边形ABCD为菱形．

证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

又∵AB＝BC，

∴平行四边形ABCD为菱形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是菱形，一般可以先证明这个四边形是平行四边形．

【例2】下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)

A．AC⊥BD，AC与BD互相平分

B．AB＝BC＝CD＝DA

C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD

D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD

【互动探索】(引发学生思考)迄今学过的菱形判定方法有哪些？

【答案】C

【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的判定方法有多种，可以从边、对角线、对角等多角度进行判断．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是 (　D　)

A．AB＝BC　 B.AC⊥BD

C．BD平分∠ABC　 D．AC＝BD

第1题

第2题

2．如图所示，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则▱ABCD的周长是24.

3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：

(1)△ADE≌△CDF；

(2)四边形ABCD是菱形．

证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.∵在△AED和△CFD中，∴△AED≌△CFD.

(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于点E，交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形．

【互动探索】要证明四边形AEDF是菱形，结合已知条件“EF垂直平分AD，交AB于点E，交AC于点F”，因此需先证明四边形AEDF是平行四边形，从而可证得结论．

【证明】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，

∵在△AEO和△AFO中，

∴△AEO≌△AFO，∴EO＝FO.

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形．

又EF⊥AD，

∴平行四边形AEDF为菱形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在几何题中，如果垂直平分线段恰为四边形的对角线，那么适宜考

虑先证这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直得菱形．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！