初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试习题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版九年级上册第二十四章
圆
一、单选题
1.（2020九上·株洲期中）如图， A,B,C 是 ⊙O 上的三点， AB,AC 在圆心 O 的两侧，若 ∠ABO=20°,∠ACO=30∘ 则 ∠BOC 的度数为（  ）

A. 100∘                                    B. 110∘                                    C. 125∘                                    D. 130∘
2.（2021·溧阳模拟）如图， ⊙O 中，弦 AB ， CD 相交于点P， ∠A=42° ， ∠B=34° ，则 ∠APD 的度数是（   ）

A. 66°                                    B. 76°                                     C. 75°                                    D. 67°
3.（2020·吉林模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则弧AC的长为（    ）

A. π ．                                  B. 2 π ．                                  C. 4 π ．                                  D. 8 π ．
4.（2019九上·衢州期中）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C=25°，则 BC 的度数为（    ）

A. 25°                                       B. 30°                                       C. 50°                                       D. 65°
5.（2020·武汉模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（  ）

A. 11926                                       B. 6013                                       C. 245                                       D. 4
6.（2020九上·龙马潭期末）如图， ⊙O 的直径 AB 的长为 10 ，弦 AC 长为 6 ， ∠ACB 的平分线交 ⊙O 于D，则 CD 长为（ ）

A. 7                                       B. 7 2                                       C. 8 2                                       D. 9
7.（2020九上·赵县期中）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则(    )
A. 不能构成三角形                                                   B. 这个三角形是等腰三角形
C. 这个三角形是直角三角形                                    D. 这个三角形是钝角三角形
8.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系 xOy 中，直线经过点A（－3，0），点B（0， 3 ），点P的坐标为（1，0），与 y 轴相切于点O，若将⊙P沿 x 轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（   ）
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题
9.（2021·绍兴模拟）圆的直径是 10cm ，如果圆心与直线的距离是 6cm ，那么该直线和圆的位置关系是       .
10.（2019九上·龙沙期中）如图，A、B、C是 ⊙O 上的三个点，若 ∠AOC=110∘ ，则 ∠ABC= ________．

11.（2019九上·德州期中）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C ， 若 AB=6，CD=2 ，则 ⊙O 的半径为________．

12.（2020九上·莘县期末）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为________cm。

13.（2019·抚顺模拟）如图，在⨀ O 中， AB=AC,∠BAC=90∘ ，点 P 为 BCM 上任意一点，连接 PA,PB,PC ，则线段 PA,PB,PC 之间的数量关系为________.

14.（2020·仙居模拟）如图，在矩形ABCD中，AB= 3 ，AD=3，E，F分别是边BC、AB上任意点，以线段EF为边，在EF上方作等边△EFG，取边EG的中点H，连接HC，则HC的最小值是________。

15.（2021·乌鲁木齐模拟）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为       .

三、解答题
16.（2019九上·慈溪期中）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．


17.（2020九上·新余期末）如图，平面直角坐标系中，以点A（2， 3 ）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点.若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，C，试求此二次函数的顶点坐标.




18.（2019九上·西城期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE ， CM⊥AE于点 D ． 求证：CM是⊙O的切线．





19.（2020九上·芜湖月考）如图，在△ABC中，AC=BC ， D是AB上一点，⊙O经过点A ， C ， D ， 过点D作DE∥BC ， 交⊙O于点E ， 连接CE.

求证：四边形DBCE是平行四边形.




20.（2021·河东模拟）已知AB为 ⊙O 的直径，EF切 ⊙O 于点D ， 过点B作 BH⊥EF 于点H交 ⊙O 于点C ， 连接BD ．

（1）如图①，若 ∠BDH=65° ，求 ∠ABH 的大小；
（2）如图②，若C为弧BD的中点，求 ∠ABH 的大小．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，过点A作 ⊙O 的直径，交 ⊙O 于点D ．

在 △OAB 中， ∵OA=OB ，
∴∠OAB=∠ABO=20° ．
∴∠BOD=40° ，
同理可得 ∠COD=60° ．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=100° ．
故答案为：A
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO＋2∠AC，进行作答即可。
2.【答案】 B
【考点】三角形的外角性质，圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠D=∠A=42° ，
∴∠APD=∠B+∠D=34°+42°=76° ，
故答案为：B.
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得 ∠A=∠D=42° ，再根据三角形的外角性质即可得出结果.
3.【答案】 B
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AO，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOC=90°，
∴弧AC的长= 90⋅π×4180=2π ．
故答案为：B．

【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠B=45°，由圆周角定理得到∠AOC=90°，根据弧长的公式即可得到结论．
4.【答案】 C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∴∠A=∠C，
∴∠BOC=∠A+∠C=2∠C=50°，
∴ 的度数是50°.
故答案为：C.

【分析】因为圆的半径相等得∠A=∠C，结合三角形外角的性质求出圆心角∠BOC的大小，于是可知 的度数。
 
5.【答案】 B
【考点】三角形的面积，勾股定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD＝90°，

∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BDC＝∠ABC，
∴ AC=BD ，
∴BD＝AC＝5.
∴OM＝BN，
在Rt△ABD中，CD＝ 52+122 ＝13，
∵ 12 ×BN×CD＝ 12 ×BC×BD，
∴BN═ BC⋅BDCD ＝ 12×513 ＝ 6013 ，
∴OM＝ 6013 ，
即点O到AB的距离为 6013 .
故答案为：B.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明CD∥AB得到∠BDC＝∠ABC，所以BD＝AC＝5.然后利用勾股定理计算出CD，再利用面积法求出BN即可.
6.【答案】 B
【考点】三角形全等的判定，圆周角定理
【解析】【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG， AD=BD ，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 2 ，
故答案为：B．
【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7 2 .
7.【答案】 C
【考点】圆内接四边形的性质，圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵OC=1，∴OD=1×sin30°=12；

∵OB=1，∴OE=1×sin45°=22；

∵OA=1，∴OD=1×cos30°=32

∵（12）2+（22）2=（32）2
∴这个三角形为直角三角形
故答案为：C.

【分析】根据内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，即可得到构造直角三角形。
8.【答案】 C
【考点】坐标与图形性质，切线的性质
【解析】【解答】如图所示，

∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0， 3 ），
∴OA=3，OB= 3 ，
由勾股定理得：AB=2 3 ，∠DAM=30°，
设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），
∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，
∴AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P′点的坐标为（-1，0），
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0），
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是-2，-3，-4共三个.
故答案为：C.
【分析】先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（-3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值.
二、填空题
9.【答案】 相离
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】 ∵ 圆的直径是 10cm ，
∴ 圆的半径是 5cm ，
∵5<6 ，
∴ 该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
10.【答案】 125∘
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，

∵∠AOC=110∘ ，
∴∠ADC=12∠AOC=55∘ ，
∴∠ABC=180∘−∠ADC=125∘ ，
故答案为 125∘ ．
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由由圆周角定理，可求得∠ADC的度数，再根据圆的内接四边形对角互补，即可求得∠ABC的度数．
11.【答案】 134
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，

∵OD⊥AB，
∴AC=BC= 12 AB=3，
在Rt△OAC中，
∵OA=r，OC=OD-CD=r-2，AC=3，
∴（r-2）2+32=r2 ， 解得r= 134 ．
故答案为： 134 ．
【分析】连结OA，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC= 12 AB=3，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r-2）2+32=r2 ， 然后解方程求出r即可．
12.【答案】 256
【考点】垂径定理，切线的性质
【解析】【解答】解：

连接OC，交AB于点D，连接OA
根据题意可知，AB=9-1=8，且OC⊥CE
∵AB∥CE
∴OD⊥AB
∴AD=12AB=4
设OA为x
则OD=x-3
在直角三角形OAD中，由勾股定理
x2=（x-3）2+42
x=256
【分析】连接OC，交AB于点D，连接OA，根据切线的性质以及垂径定理即可得到AD的长，设圆的半径为x，根据勾股定理计算得到方程，得到答案即可。
13.【答案】 PB+PC=2PA 　.
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：如图作 AE⊥PC 于 E,AF⊥PB 交 PB 的延长线于 F .

∵BC 是直径，
∴∠BAC=∠EPF=90∘ ，
∵AB=AC ，
∴ AB = AC
∴∠APF=∠APC ，
∵AE⊥PC,AF⊥PF ，
∴AE=AF ，
∵∠F=∠AEC=90∘ ，
∴RtΔAEC≅RtΔAFB(HL) ，
∴BF=CE ，
∵∠AFP=∠AEP=90∘,AP=AP,AF=AE ，
∴RtΔAPF≅RtΔAPE(HL) ，
∴PF=PE ，
∴PB+PC=PF−BF+PE+EC=2PE ，
∵∠APC=∠ABC=45∘ ，
∴ΔAPE 是等腰直角三角形，
∴PA=2PE ，
∴PE=22PA ，
∴PB+PC=2PA .
故答案为 PB+PC=2PA .
【分析】如图作 AE⊥PC 于 E,AF⊥PB 交 PB 的延长线于 F ，证明 RtΔAEC≅RtΔAFB(HL) ，可得 BF=CE ，证明 RtΔAPF≅RtΔAPE(HL) ，可得 PF=PE 再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
14.【答案】 32
【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，矩形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】取EF的中点M，连接HM，BM，FH，

∵ △EFG 是等边三角形，点H是EG的中点，∴∠FHE=90°，∠HFE=30°，
在Rt△BEF，Rt△HFE中，点M是EF的中点，∴HM=FM=EM，BM=FM=EM，
即HM=FM=EM=BM，∴点B，E，F，H四点共圆，
连接BH，∴∠HBE=∠HFE=30°，
∴点H在以B为端点，BC上方且与BC的夹角为30°的射线上运动，
过点C作CN⊥BH于点N，此时CN的长即为HC的最小值，
在Rt△BCN中，∠NBC=30°，BC=3，
∴CN=12BC=32 ，
∴ HC的最小值为32.
【分析】取EF的中点M，连接HM，BM，FH，根据等边三角形的性质可得∠FHE=90°，∠HFE=30°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得HM=FM=EM=BM，从而可得点B，E，F，H四点共圆，连接BH，利用圆周角定理可得∠HBE=∠HFE=30°，从而可得点H在以B为端点，BC上方且与BC的夹角为30°的射线上运动，过点C作CN⊥BH于点N，此时CN的长即为HC的最小值，根据含30°角的直角三角形的性质可得CN=12BC=32 ， 从而求出HC的最小值.
15.【答案】 10−1
【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：

∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM= 12 AB=1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，∠DAB=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE= 12 AD= 12 ×2=1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'=DE=1，PE=PE'，
∴AE'=AD+DE'=2+1=3，
在Rt△AOE'中， OE′=AE′2+AO2=32+12=10 ，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM
= 10−1 .
故答案为： 10−1 .
【分析】作点E关于DC的对称点E'，则DE'=DE=1，PE=PE'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由圆周角定理知点M在以AB为直径的圆上，OM=12AB=1，然后在Rt△AOE'中由勾股定理得到OE'=10 ， 最后根据PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM求出答案.
三、解答题
16.【答案】 证明：∵AD=BC，
∴ AD=BC ．
∴ AD+BD=BC+BD ．
∴ AB=CD ．
∴AB=CD
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 根据同圆中，相等的弦所对的弧相等得出 AD=BC  ， 进而根据等式的性质得出 AB=CD， 最后根据等弧所对的弦相等即可得出AB=CD.
17.【答案】 解：过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，

则CD＝ 3 ，BC＝2，故BD＝1，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3=（x-2）2-1.
∴顶点坐标为（2，-1）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，垂径定理的应用
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，则CD＝ 3 ，BC＝2，故BD＝1，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），即可求解.
18.【答案】 解：连接OC，如图，

∵AC平分∠BAE，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠2＝3，
∴∠1＝∠3，
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
又∵OC是圆O的半径，
∴CM是⊙O的切线．
【考点】切线的判定
【解析】【分析】通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再证明OC⊥CD即可．
19.【答案】 证明:∵AC=BC，∴∠BAC=∠B.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B. ∴∠ADE=∠BAC
又∵在⊙O中，∠BAC=∠CED,
∴∠ADE=∠CED，∴BD∥CE.
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形.
【考点】平行线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，圆周角定理
【解析】【分析】由AC=BC，可得∠BAC=∠B，由DE∥BC，可得∠ADE=∠B. 由等量代换可得∠ADE=∠BAC
根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠CED,由等量代换可得∠ADE=∠CED，可得BD∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证.
20.【答案】 （1）如图，连接OD．

由切线的性质结合题意可知 ∠ODE=∠BHD=90° ，
∴ OD//BH ，
∴ ∠ODB=∠DBH ．
∵ ∠BDH=65° ，
∴ ∠DBH=90°−∠BDH=90°−65°=25° ．
∵ OB=OD ，
∴ ∠ODB=∠OBD ，
∴ ∠OBD=∠DBH=25° ．
∴ ∠ABH=∠OBD+∠DBH=50° ．

（2）如图，连接OD、OC、CD．

∵OC=OD，
∴ ∠ODC=∠OCD=12(180°−∠COD)=90°−12∠COD ．
∵ ∠CBD=12∠COD ，即 ∠DBH=12∠COD ，
∴ ∠ODC=∠OCD=90°−∠DBH ，
∵ ∠ODC=90°−∠CDH ，
∴ ∠DBH=∠CDH ．
∵C为 BD 中点，
∴ ∠DBH=∠BDC ，
由（1）可知 ∠ODB=∠DBH ，
∴ ∠ODB=∠OBD=∠BDC=∠CDH=∠DBH ，
∵ ∠ODB+∠BDC+∠CDH=∠ODH=90° ，
∴ ∠OBD=∠DBH=30° ．
∴ ∠ABH=∠OBD+∠DBH=60° ．
【考点】切线的判定与性质，圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ∠OBD=∠DBH=25° ，最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠DBH=12∠COD  ， 再求出 ，最后计算求解即可。