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2021-2022学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷（解析）
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这是一份2021-2022学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷（解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+1=0
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
4．（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x﹣2）2﹣1 C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2﹣1
5．（3分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF
6．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴、y轴的负半轴于A、B两点，且OA=OB，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7．（3分）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为 ．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
9．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为 ．
10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ．
11．（3分）已知二次函数y=2x2﹣4x+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
14．（6分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
16．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；
（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是 ．
17．（6分）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2﹣4．
（1）求a的值；
（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
18．（8分）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 ；
…[来源:Z&xx&k.Com]
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
19．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．
妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？
20．（8分）已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4
（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）当k≠0时，A（n﹣3，n﹣7）、B（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点：
①求抛物线的表达式；
②求n的值．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21．（9分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
22．（9分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
六、（本大题1小题，满分12分．）
23．（12分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作BC的垂线，垂足为F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置时发现；当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请求出△PDE的周长最小时点P的坐标；
（4）若将“使△PDE的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．
2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+1=0
【解答】解：A、△=02﹣4×1×（﹣1）=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B、∵△=02﹣4×1×0=0，
∴该方程有两个相等的实数根，选项B不符合题意；
C、∵△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D、∵△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，
故选：C．
4．（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x﹣2）2﹣1 C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2﹣1
【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y=3（x+2）2+1．
故选：C．
5．（3分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF
【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；
B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；
C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；
D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；
故选：D．
6．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴、y轴的负半轴于A、B两点，且OA=OB，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵抛物线的开口向下、对称轴在y轴的右侧且与y轴交点在原点下方，
∴a＜0、b＞0、c＜0，
则abc＞0，
∵点B（0，c）、且OA=OB，
∴点A（﹣c，0），
将点A（﹣c，0）代入解析式，得：ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b=﹣1＜0，
则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7．（3分）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣4） ．
【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣3可化为：y=（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣1，﹣4）．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
9．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为 （3，0），（﹣1，0） ．
【解答】解：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x=3或x=﹣1．
则抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标是（3，0），（﹣1，0）．
故答案为（3，0），（﹣1，0）．
10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ﹣1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，
∴x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1=0，即（m﹣1）（m+1）=0且m﹣1≠0，
∴m+1=0，
解得，m=﹣1；
故答案是：﹣1．
11．（3分）已知二次函数y=2x2﹣4x+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ．
【解答】解：由二次函数y=2x2﹣4x+m可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣=1，
∵A、B、C三点中，A点离对称轴最近，C点离对称轴最远，
∴y1＜y2＜y3．
故本题答案为：y1＜y2＜y3．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为 40°或70°或100° ．
【解答】解：连结AP，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP=OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，
∵∠ACB=90°，
∴点P、C在以AB为直径的圆上，
∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，
当AP=AC时，∠APC=∠ACP，
即90°﹣α=70°，解得α=40°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，
即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；
当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，
即α+20°=70°，解得α=100°，[来源:学#科#网]
综上所述，α的值为40°或70°或100°．
故答案为40°或70°或100°．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
【解答】解：（1）△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=8，
x==2±，
所以x1=2+，x2=2﹣；
（2）3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x+2）=0，
x﹣2=0或3x+2=0，
所以x1=2，x2=﹣．
14．（6分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？
【解答】解：y=﹣x2﹣2x﹣3，
=﹣（x2+2x+1）+1﹣3，
=﹣（x+1）2﹣2，
所以，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），
∵再绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得抛物线解析式为y=（x+2）2+2．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣；
（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7
16．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；
（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是 15 ．
【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；
（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，
其面积为：××3=15．
故答案为：15．
17．（6分）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2﹣4．
（1）求a的值；
（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵AB=8，由抛物线的性质可知OB=4，
∴B（4，0），
把B点坐标代入解析式得：16a﹣4=0，[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学。科。网Z。X。X。K]
解得：a=；
（2）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，
∵a=，
∴y=x2﹣4，
令x=﹣1，
∴m=×（﹣1）2﹣4=﹣，
∴C（﹣1，﹣），
∵C关于原点对称点为D，
∴D的坐标为（1，），
则CE=DF=，
S△BCD=S△BOD+S△BOC=OB•DF+OB•CE=×4×+×4×=15，
∴△BCD的面积为15平方米．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
18．（8分）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 x1=x2=1 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 x1=1，x2=2 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 x1=1，x2=3 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 1、8 ；
②关于x的方程 x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；
②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+=﹣8+，
（x﹣）2=
x﹣=±，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确．
故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；
19．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．
妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？
【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
20．（8分）已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4
（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）当k≠0时，A（n﹣3，n﹣7）、B（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点：
①求抛物线的表达式；
②求n的值．
【解答】（1）证明：①当k=0时，函数为一次函数，即y=x﹣4，与x轴交于点（3，0）；
②当k≠0时，函数为二次函数，
∵△=（﹣3k）2﹣4k×（﹣4）=（3k+）2≥0，即△≥0，
∴与x轴有一个或两个交点；
综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）①当k≠0时，函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4为二次函数，
∵（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，
∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1，
∴﹣=﹣1，
解得k=，
∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4；
②∵（n﹣3，n﹣7）是抛物线y=x2+x﹣4上的点，
∴n﹣7=（n﹣3）2+（n﹣3）﹣4，
解得n1=，n2=3．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21．（9分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【解答】解：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，
解得：；
（2）当0≤x＜600时，
W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值27900元．
22．（9分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．
∴=2AH+1．
∴AH=．
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD．
∴=2AH﹣1．
∴AH=．
综上所述：点A到BP的距离为或．
六、（本大题1小题，满分12分．）
23．（12分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作BC的垂线，垂足为F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置时发现；当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请求出△PDE的周长最小时点P的坐标；
（4）若将“使△PDE的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．
【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，
解得：
故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；
（2）正确，
理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD===a2+2．
PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，
∴PD﹣PF=2；
（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，
此时点P，E的横坐标都为﹣4，
将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，
∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小．
（4）由（2）得：P（a，﹣a2+8），
∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），
①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）+×4×6]=﹣a2﹣3a+4；
∴4＜S△PDE≤12，
②当a=0时，S△PDE=4，
③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×=﹣a2﹣3a+4，
∴12≤S△PDE≤13，
④当a=﹣8时，S△PDE=12，
∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，
所以面积为整数时好点有11个，即存在11个好点．
2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+1=0
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
4．（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x﹣2）2﹣1 C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2﹣1
5．（3分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF
6．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴、y轴的负半轴于A、B两点，且OA=OB，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7．（3分）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为 ．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
9．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为 ．
10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ．
11．（3分）已知二次函数y=2x2﹣4x+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
14．（6分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
16．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；
（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是 ．
17．（6分）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2﹣4．
（1）求a的值；
（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
18．（8分）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 ；
…[来源:Z&xx&k.Com]
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
19．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．
妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？
20．（8分）已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4
（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）当k≠0时，A（n﹣3，n﹣7）、B（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点：
①求抛物线的表达式；
②求n的值．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21．（9分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
22．（9分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
六、（本大题1小题，满分12分．）
23．（12分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作BC的垂线，垂足为F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置时发现；当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请求出△PDE的周长最小时点P的坐标；
（4）若将“使△PDE的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．
2017-2018学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+1=0
【解答】解：A、△=02﹣4×1×（﹣1）=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B、∵△=02﹣4×1×0=0，
∴该方程有两个相等的实数根，选项B不符合题意；
C、∵△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D、∵△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，
故选：C．
4．（3分）把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x﹣2）2﹣1 C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2﹣1
【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y=3（x+2）2+1．
故选：C．
5．（3分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF
【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；
B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；
C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；
D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；
故选：D．
6．（3分）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴、y轴的负半轴于A、B两点，且OA=OB，则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵抛物线的开口向下、对称轴在y轴的右侧且与y轴交点在原点下方，
∴a＜0、b＞0、c＜0，
则abc＞0，
∵点B（0，c）、且OA=OB，
∴点A（﹣c，0），
将点A（﹣c，0）代入解析式，得：ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b=﹣1＜0，
则一次函数y2=（ac﹣b）x+abc的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7．（3分）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为 （﹣1，﹣4） ．
【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣3可化为：y=（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣1，﹣4）．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
8．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
9．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为 （3，0），（﹣1，0） ．
【解答】解：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
解得x=3或x=﹣1．
则抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标是（3，0），（﹣1，0）．
故答案为（3，0），（﹣1，0）．
10．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ﹣1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，
∴x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1=0，即（m﹣1）（m+1）=0且m﹣1≠0，
∴m+1=0，
解得，m=﹣1；
故答案是：﹣1．
11．（3分）已知二次函数y=2x2﹣4x+m的图象上有三个点，坐标分别为A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ．
【解答】解：由二次函数y=2x2﹣4x+m可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣=1，
∵A、B、C三点中，A点离对称轴最近，C点离对称轴最远，
∴y1＜y2＜y3．
故本题答案为：y1＜y2＜y3．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为 40°或70°或100° ．
【解答】解：连结AP，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP=OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，
∵∠ACB=90°，
∴点P、C在以AB为直径的圆上，
∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，
当AP=AC时，∠APC=∠ACP，
即90°﹣α=70°，解得α=40°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，
即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；
当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，
即α+20°=70°，解得α=100°，[来源:学#科#网]
综上所述，α的值为40°或70°或100°．
故答案为40°或70°或100°．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
【解答】解：（1）△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=8，
x==2±，
所以x1=2+，x2=2﹣；
（2）3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x+2）=0，
x﹣2=0或3x+2=0，
所以x1=2，x2=﹣．
14．（6分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？
【解答】解：y=﹣x2﹣2x﹣3，
=﹣（x2+2x+1）+1﹣3，
=﹣（x+1）2﹣2，
所以，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），
∵再绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得抛物线解析式为y=（x+2）2+2．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣；
（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7
16．（6分）在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；
（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是 15 ．
【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；
（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，
其面积为：××3=15．
故答案为：15．
17．（6分）某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2﹣4．
（1）求a的值；
（2）点C（﹣1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵AB=8，由抛物线的性质可知OB=4，
∴B（4，0），
把B点坐标代入解析式得：16a﹣4=0，[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学。科。网Z。X。X。K]
解得：a=；
（2）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，
∵a=，
∴y=x2﹣4，
令x=﹣1，
∴m=×（﹣1）2﹣4=﹣，
∴C（﹣1，﹣），
∵C关于原点对称点为D，
∴D的坐标为（1，），
则CE=DF=，
S△BCD=S△BOD+S△BOC=OB•DF+OB•CE=×4×+×4×=15，
∴△BCD的面积为15平方米．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
18．（8分）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 x1=x2=1 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 x1=1，x2=2 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 x1=1，x2=3 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 1、8 ；
②关于x的方程 x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；
②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+=﹣8+，
（x﹣）2=
x﹣=±，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确．
故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；
19．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．
妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？
【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
20．（8分）已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4
（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）当k≠0时，A（n﹣3，n﹣7）、B（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点：
①求抛物线的表达式；
②求n的值．
【解答】（1）证明：①当k=0时，函数为一次函数，即y=x﹣4，与x轴交于点（3，0）；
②当k≠0时，函数为二次函数，
∵△=（﹣3k）2﹣4k×（﹣4）=（3k+）2≥0，即△≥0，
∴与x轴有一个或两个交点；
综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）①当k≠0时，函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4为二次函数，
∵（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，
∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1，
∴﹣=﹣1，
解得k=，
∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4；
②∵（n﹣3，n﹣7）是抛物线y=x2+x﹣4上的点，
∴n﹣7=（n﹣3）2+（n﹣3）﹣4，
解得n1=，n2=3．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21．（9分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【解答】解：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，
解得：；
（2）当0≤x＜600时，
W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，
∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，
由x≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值27900元．
22．（9分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 60° ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．
∴=2AH+1．
∴AH=．
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD．
∴=2AH﹣1．
∴AH=．
综上所述：点A到BP的距离为或．
六、（本大题1小题，满分12分．）
23．（12分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作BC的垂线，垂足为F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置时发现；当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请求出△PDE的周长最小时点P的坐标；
（4）若将“使△PDE的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．
【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，
解得：
故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；
（2）正确，
理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD===a2+2．
PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，
∴PD﹣PF=2；
（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，
此时点P，E的横坐标都为﹣4，
将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，
∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小．
（4）由（2）得：P（a，﹣a2+8），
∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），
①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）+×4×6]=﹣a2﹣3a+4；
∴4＜S△PDE≤12，
②当a=0时，S△PDE=4，
③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×=﹣a2﹣3a+4，
∴12≤S△PDE≤13，
④当a=﹣8时，S△PDE=12，
∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，
所以面积为整数时好点有11个，即存在11个好点．
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