【解析版】2022年四川省绵阳一中九年级上期中数学试卷
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2022学年四川省绵阳一中九年级(上)期中数学试卷
一.选择题(每小题3分,共36分)
1.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是( )
A. x2+1=0 B. x2+x+1=0 C. x2﹣x+1=0 D. x2﹣x﹣1=0
3.如图,圆内接四边形ABCD是正方形,点E是上一点,则∠E的大小为( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
4.如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于( )
A. 8 B. 4 C. 10 D. 5
5.抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线解析式是( )
A. y=(x+1)2+3 B. y=(x+1)2﹣3 C. y=(x﹣1)2﹣3 D. y=(x﹣1)2+3
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,对称轴是直线.则下列结论中,正确的是( )
A. a<0 B. c<﹣1 C. a﹣b+c<0 D. 2a+3b=0
7.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6 B. (x﹣1)2=6 C. (x+2)2=9 D. (x﹣2)2=9
8.图中,EB为半圆O的直径,点A在EB的延长线上,AD切半圆O于点D,BC⊥AD于点C,AB=2,半圆O的半径为2,则BC的长为( )
A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 0.5
9.如图,以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆,⊙A与⊙B恰好外切,若AC=2,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )
A. B. C. D.
10.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A. 100×80﹣100x﹣80x=7644 B. (100﹣x)(80﹣x)+x2=7644
C. (100﹣x)(80﹣x)=7644 D. 100x+80x=356
11.若圆的内接正六边形的半径为R,则该正六边形的内切圆的半径为( )
A. R B. C. R D. R
12.将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位,使抛物线与坐标轴有三个交点,如果这些交点能构成直角三角形,那么平移的距离为( )
A. 个单位 B. 1个单位 C. 个单位 D. 个单位
二.填空题(每小题3分,共18分)
13.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 .
14.已知x1,x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则+等于 .
15.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称,则函数y=ax2+bx+c的解析式为 .
16.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
17.若点P的坐标为(x+1,y﹣1),其关于原点对称的点P′的坐标为(﹣3,﹣5),则(x,y)为 .
18.在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是 .
三、解答题(共46分)
19.解下列方程
(Ⅰ)x(x﹣3)+x﹣3=0
(Ⅱ)4x2+12x+9=81.
20.注意:为了使同学们更好地解答本题,我们提供了一种解题思路,你可以依照这个思路按下面的要求填空,并完成本题解答的全过程,也可以选用其他的解题方案,此时不必填空,只需按照解答题的一般要求,进行解答即可.
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解题方案:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,
(Ⅰ)用含x的解析式表示:
第一轮后共有 人患了流感;
第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,第二轮后共有 人患了流感;
(Ⅱ)根据题意,列出相应方程为 ;
(Ⅲ)解这个方程,得 ;
(Ⅳ)根据问题的实际意义,平均一个人传染了 个人.
21.如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=5,PB=12,PC=13,若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数.
22.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC、CE.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB=13,BC﹣AC=7,求CE的长.
23.如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.
24.定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),若b2=ac,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线.
(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况(要求说明理由);
(3)将黄金抛物线y=2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位.
①直接写出平移后的新抛物线的解析式;
②设①中的新抛物线与y轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,动点Q在对称轴上,问新抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由[注:第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图(画图不计分)]
【提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣,顶点坐标是(﹣,)】.
2022学年四川省绵阳一中九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(每小题3分,共36分)
1.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
考点: 中心对称图形;轴对称图形.
分析: 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答: 解:A、是中心对称图形,不是轴对称图形;故A正确;
B、是中心对称图形,也是轴对称图形;故B错误;
C、是中心对称图形,也是轴对称图形;故C错误;
D、不是中心对称图形,是轴对称图形;故D错误;
故选A.
点评: 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是( )
A. x2+1=0 B. x2+x+1=0 C. x2﹣x+1=0 D. x2﹣x﹣1=0
考点: 根的判别式.
专题: 计算题.
分析: 计算出各项中方程根的判别式的值,找出根的判别式的值大于等于0的方程即可.
解答: 解:A、这里a=1,b=0,c=1,
∵△=b2﹣4ac=﹣4<0,
∴方程没有实数根,本选项不合题意;
B、这里a=1,b=1,c=1,
∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0,
∴方程没有实数根,本选项不合题意;
C、这里a=1,b=﹣1,c=1,
∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0,
∴方程没有实数根,本选项不合题意;
D、这里a=1,b=﹣1,c=﹣1,
∵△=b2﹣4ac=1+4=5>0,
∴方程有两个不相等实数根,本选项符合题意;
故选D
点评: 此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.
3.如图,圆内接四边形ABCD是正方形,点E是上一点,则∠E的大小为( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
考点: 圆周角定理;正方形的性质.
分析: 连接AC、BD交于点O,根据正方形ABCD为内接四边形以及正方形的性质可得∠AOD=90°,然后根据圆周角定理可求得∠E的度数.
解答: 解:连接AC、BD交于点O,
∵圆内接四边形ABCD是正方形,
∴AO=BO=CO=DO,∠AOD=90°,
∴点O为圆心,
则∠E=∠AOD=×90°=45°.
故选C.
点评: 本题考查了圆周角定理以及正方形的性质,关键是得出∠AOD=90°,并熟练掌握:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
4.如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于( )
A. 8 B. 4 C. 10 D. 5
考点: 垂径定理;勾股定理.
分析: 连接OA,即可证得△OAM是直角三角形,根据垂径定理即可求得AM,根据勾股定理即可求得OA的长.
解答: 解:连接OA,
∵M是AB的中点,
∴OM⊥AB,且AM=4
在直角△OAM中,OA==5
故选D.
点评: 本题主要考查了垂径定理,以及勾股定理,根据垂径定理求得AM的长,证明△OAM是直角三角形是解题的关键.
5.抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线解析式是( )
A. y=(x+1)2+3 B. y=(x+1)2﹣3 C. y=(x﹣1)2﹣3 D. y=(x﹣1)2+3
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 探究型.
分析: 根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.
解答: 解:由“左加右减”的原则可知,抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2;
由“上加下减”的原则可知,抛物线y=(x﹣1)2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2+3.
故选D.
点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,对称轴是直线.则下列结论中,正确的是( )
A. a<0 B. c<﹣1 C. a﹣b+c<0 D. 2a+3b=0
考点: 二次函数图象与系数的关系.
分析: 根据二次函数的图象开口方向即可判断A;二次函数的图象与y轴的交点位置即可判断B;把x=﹣1代入二次函数的解析式即可判断C;根据二次函数的对称轴即可求出D.
解答: 解:A、∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0,故本选项错误;
B、∵二次函数的图象与y轴的交点在点(0,﹣1)的上方,
∴c>﹣1,故本选项错误;
C、把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得:y=a﹣b+c,
∵从二次函数的图象可知当x=﹣1时,y>0,
即a﹣b+c>0,故本选项错误;
D、∵二次函数的图象的对称轴是直线,
∴﹣=,
﹣3b=2a,
2a+3b=0,故本选项正确;
故选D.
点评: 本题考查了二次函数的图象和系数的关系,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目,注意用了数形结合思想,二次函数的图象开口方向决定a的符号,二次函数的图形与y轴的交点位置决定c的符号,根据二次函数的图象的对称轴是直线x=得出﹣=,把x=﹣1代入y=ax2+bx+c(a≠0)得出y=a﹣b+c等等.
7.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6 B. (x﹣1)2=6 C. (x+2)2=9 D. (x﹣2)2=9
考点: 解一元二次方程-配方法.
专题: 计算题.
分析: 方程常数项移到右边,两边加上1变形即可得到结果.
解答: 解:方程移项得:x2﹣2x=5,
配方得:x2﹣2x+1=6,
即(x﹣1)2=6.
故选:B
点评: 此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
8.图中,EB为半圆O的直径,点A在EB的延长线上,AD切半圆O于点D,BC⊥AD于点C,AB=2,半圆O的半径为2,则BC的长为( )
A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 0.5
考点: 切线的性质;三角形中位线定理.
分析: 连接OD,运用三角形中位线定理求解.
解答: 解:连接OD.
AD是切线,点D是切点,
∴BC⊥AD,
∴∠ODA=∠ACB=90°,BC∥OD.
∵AB=OB=2,则点B是AO的中点,
∴BC=OD=1.
故选B.
点评: 本题利用了切线的性质,平行线的判定和性质,三角形中位线的性质求解.连接圆心和切点是常作的辅助线.
9.如图,以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆,⊙A与⊙B恰好外切,若AC=2,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )
A. B. C. D.
考点: 扇形面积的计算;相切两圆的性质.
专题: 压轴题.
分析: 根据直角三角形的两锐角互余,即可得到∠A+∠B=90°,再由⊙A与⊙B恰好外切且是等圆,根据扇形的面积公式即可求解.
解答: 解:∵AC=2,△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=2,
∵⊙A与⊙B恰好外切且是等圆,
∴两个扇形(即阴影部分)的面积之和=+==πR2=.
故选B.
点评: 本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质,解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式,难度一般.
10.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A. 100×80﹣100x﹣80x=7644 B. (100﹣x)(80﹣x)+x2=7644
C. (100﹣x)(80﹣x)=7644 D. 100x+80x=356
考点: 由实际问题抽象出一元二次方程.
专题: 几何图形问题.
分析: 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程.
解答: 解:设道路的宽应为x米,由题意有
(100﹣x)(80﹣x)=7644,
故选C.
点评: 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键.
11.若圆的内接正六边形的半径为R,则该正六边形的内切圆的半径为( )
A. R B. C. R D. R
考点: 正多边形和圆.
分析: 根据题意画出图形,利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.
解答: 解:如图,连接OA、OB,OG;
∵六边形ABCDEF是边长为R的正六边形,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=R,
∴OG=OA•sin60°=R×=R.
即该正六边形的内切圆的半径为:R.
故选D.
点评: 此题考查了正多边形与圆的知识以及等边三角形的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
12.将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位,使抛物线与坐标轴有三个交点,如果这些交点能构成直角三角形,那么平移的距离为( )
A. 个单位 B. 1个单位 C. 个单位 D. 个单位
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 计算题.
分析: 由题意画出相应的图形,设出抛物线向上平移a个单位,且得到a大于1,利用平移规律“上加下减”表示出平移后抛物线的解析式,令解析式中y=0求出x的值,得到B和C的坐标,进而得到BC的长,由平移的距离AM=a,根据原抛物线的解析式求出M的坐标,确定出OM的长,可利用AM﹣OM表示出OA的长,又平移后抛物线的对称轴为y轴,得到O为BC的中点,再由三角形ABC为直角三角形,可得斜边上的中线AO等于斜边BC的一半,列出关于a的方程,求出方程的解可得到a的值,即为平移的距离.
解答:
解:设抛物线向上平移a(a>1)个单位,使抛物线与坐标轴有三个交点,
且这些交点能构成直角三角形,
则有平移后抛物线的解析式为:y=﹣2x2﹣1+a,AM=a,
∵抛物线y=﹣2x2﹣1与y轴的交点M为(0,﹣1),即OM=1,
∴OA=AM﹣OM=a﹣1,
令y=﹣2x2﹣1+a中y=0,得到﹣2x2﹣1+a=0,
解得:x=±,
∴B(﹣,0),C(,0),即BC=2,
又△ABC为直角三角形,且B和C关于y轴对称,即O为BC的中点,
∴AO=BC,即a﹣1=,
两边平方得:(a﹣1)2=,
∵a﹣1≠0,∴a﹣1=,
解得:a=.
故选A
点评: 此题考查了二次函数的图象及几何变换,涉及的知识有:平移规律,直角三角形的性质,抛物线与x轴的交点,利用了转化及数形结合的思想,解题的关键是根据题意表示出OA及BC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半建立两边长的关系,借助方程来解决问题.
二.填空题(每小题3分,共18分)
13.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 .
考点: 弧长的计算.
分析: 利用底面周长=展开图的弧长可得.
解答: 解:,解得r=.
故答案为:.
点评: 解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系,然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值.
14.已知x1,x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则+等于 ﹣2 .
考点: 根与系数的关系.
专题: 计算题.
分析: 根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2,x1•x2=1,然后变形+得,再把x1+x2=2,x1•x2=﹣1整体代入计算即可.
解答: 解:∵x1,x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=2,x1•x2=﹣1,
∴+==﹣2.
故答案为﹣2.
点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1•x2=.也考查了一元二次方程的根的判别式.
15.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称,则函数y=ax2+bx+c的解析式为 y=x2+4x+3 .
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 常规题型.
分析: 本可直接利用关于y轴对称的点的坐标特点,横坐标变为相反数,纵坐标不变解答.
解答: 解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称,
∴函数y=ax2+bx+c的解析式为:y=(﹣x)2﹣4(﹣x)+3=x2+4x+3.
故答案为:y=x2+4x+3.
点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,明确关于y轴对称的函数顶点纵坐标相同,横坐标互为相反数,难度一般.
16.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>﹣1且k≠0 .
考点: 根的判别式.
分析: 由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,即可得判别式△>0且k≠0,则可求得k的取值范围.
解答: 解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×k×(﹣1)=4+4k>0,
∴k>﹣1,
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0
∴k≠0,
∴k的取值范围是:k>﹣1且k≠0.
故答案为:k>﹣1且k≠0.
点评: 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用.此题比较简单,解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
17.若点P的坐标为(x+1,y﹣1),其关于原点对称的点P′的坐标为(﹣3,﹣5),则(x,y)为 (2,6) .
考点: 关于原点对称的点的坐标.
分析: 根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得x+1=3,y﹣1=5,解可得x、y的值,进而可得答案.
解答: 解:由题意得:x+1=3,y﹣1=5,
解得:x=2,y=6,
则(x,y)为(2,6),
故答案为:(2,6).
点评: 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律.
18.在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是 .
考点: 垂径定理;坐标与图形性质.
专题: 计算题;压轴题.
分析: 过P点作PE⊥AB于E,过P点作PC⊥x轴于C,交AB于D,连接PA.分别求出PD、DC,相加即可.
解答: 解:过P点作PE⊥AB于E,过P点作PC⊥x轴于C,交AB于D,连接PA.
∵AB=2,
∴AE=,PA=2,
∴PE=1.
∵点D在直线y=x上,
∴∠AOC=45°,
∵∠DCO=90°,
∴∠ODC=45°,
∴∠PDE=∠ODC=45°,
∴∠DPE=∠PDE=45°,
∴DE=PE=1,
∴PD=.
∵⊙P的圆心是(2,a),
∴点D的横坐标为2,
∴OC=2,
∴DC=OC=2,
∴a=PD+DC=2+.
故答案为:2+.
点评: 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用,题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.注意函数y=x与x轴的夹角是45°.
三、解答题(共46分)
19.解下列方程
(Ⅰ)x(x﹣3)+x﹣3=0
(Ⅱ)4x2+12x+9=81.
考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
分析: (Ⅰ)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解;
(Ⅱ)方程整理后,配方变形,开方即可求出解.
解答: 解:(Ⅰ)分解因式得:(x﹣3)(x+1)=0,
可得x﹣3=0或x+1=0,
解得:x1=3,x2=﹣1;
(Ⅱ)方程整理得:x2+3x=18,
配方得:x2+3x+=,即(x+)2=,
开方得:x+=±,
解得:x1=3,x2=﹣6.
点评: 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及配方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键.
20.注意:为了使同学们更好地解答本题,我们提供了一种解题思路,你可以依照这个思路按下面的要求填空,并完成本题解答的全过程,也可以选用其他的解题方案,此时不必填空,只需按照解答题的一般要求,进行解答即可.
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解题方案:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,
(Ⅰ)用含x的解析式表示:
第一轮后共有 1+x 人患了流感;
第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,第二轮后共有 1+x+x(x+1) 人患了流感;
(Ⅱ)根据题意,列出相应方程为 1+x+x(1+x)=121 ;
(Ⅲ)解这个方程,得 x=﹣12或x=10 ;
(Ⅳ)根据问题的实际意义,平均一个人传染了 10 个人.
考点: 一元二次方程的应用.
分析: 设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人,则一轮传染以后有(x+1)人患病,第二轮传染的过程中,作为传染源的有(x+1)人,一个人传染x个人,则第二轮又有x(x+1)人患病,则两轮后有1+x+x(x+1)人患病,据此即可列方程求解.
解答: 解:(Ⅰ)用含x的解析式表示:
第一轮后共有1+x人患了流感;
第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,第二轮后共有1+x+x(1+x)人患了流感;
(Ⅱ)根据题意,列出相应方程为1+x+x(1+x)=121;
(Ⅲ)解这个方程,得x=﹣12或x=10;
(Ⅳ)根据问题的实际意义,平均一个人传染了10个人,
故答案为:1+x;1+x+x(x+1);1+x+x(1+x)=121;x=﹣12或x=10;10.
点评: 本题考查了一元二次方程的应用,解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字,否则一定得出错误的结果.
21.如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=5,PB=12,PC=13,若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数.
考点: 旋转的性质;勾股定理的逆定理.
专题: 计算题.
分析: 先根据等边三角形的性质得AB=AC,∠BAC=60°,再利用旋转的性质得∠P′AP=∠BAC=60°,AP′=AP,BP′=CP=13,于是可判断△AP′P为等边三角形,得到PP′=AP=5,∠APP′=60°,接着根据勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°,然后利用∠APB=∠APP′+∠BPP′求出∠APB的度数.
解答: 解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,
∴∠P′AP=∠BAC=60°,AP′=AP,BP′=CP=13,
∴△AP′P为等边三角形,
∴PP′=AP=5,∠APP′=60°,
在△BPP′中,∵PP′=5,BP=12,BP′=13,
∴PP′2+BP2=BP′2,
∴△BPP′为直角三角形,∠BPP′=90°,
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
答:点P与点P′之间的距离为5,∠APB的度数为150°.
点评: 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理.
22.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC、CE.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB=13,BC﹣AC=7,求CE的长.
考点: 圆周角定理.
分析: (1)由AB为⊙O的直径,易证得AC⊥BD,又由DC=CB,根据线段垂直平分线的性质,可证得AD=AB,即可得:∠B=∠D;
(2)首先设BC=x,则AC=x﹣7,由在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,可得方程:(x﹣7)2+x2=132,解此方程即可求得CB的长,继而求得CE的长.
解答: (1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
又∵DC=CB,
∴AD=AB,
∴∠B=∠D;
(2)解:设BC=x,则AC=x﹣7,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(x﹣7)2+x2=132,
解得:x1=12,x2=﹣5(舍去),
∵∠B=∠E,∠B=∠D,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE,
∵CD=CB,
∴CE=CB=12.
点评: 此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
23.如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;
(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.
考点: 作图—复杂作图.
分析: (1)根据圆周角定理:直径所对的圆周角是90°画图即可;
(2)与(1)类似,利用圆周角定理画图.
解答: 解:(1)如图所示:点P就是三个高的交点;
(2)如图所示:CT就是AB上的高.
点评: 此题主要考查了复杂作图,关键是掌握三角形的三条高交于一点,直径所对的圆周角是90°.
24.定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),若b2=ac,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线.
(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)是黄金抛物线,请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况(要求说明理由);
(3)将黄金抛物线y=2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位.
①直接写出平移后的新抛物线的解析式;
②设①中的新抛物线与y轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,动点Q在对称轴上,问新抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由[注:第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图(画图不计分)]
【提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣,顶点坐标是(﹣,)】.
考点: 二次函数综合题.
专题: 压轴题.
分析: (1)利用b2=ac即b2﹣ac=0的抛物线为黄金抛物线;
(2)根据题意得到b2=ac,然后结合根的判别式即可求得其根的判别式,根据判别式得到抛物线与x轴的交点情况即可.
(3)根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式,然后利用等腰三角形的性质即可得到使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等的点P的坐标.
解答: 解:(1)答:如y=x2,y=x2﹣x+1,y=x2+2x+4等;
(2)依题意得b2=ac,
∴△=b2﹣4ac
=b2﹣4b2
=﹣3b2,
∴当b=0时,△=0,此时抛物线与x轴有一个公共点,
当b≠0时,△<0,此时抛物线与x轴没有公共点;
(3)答:①抛物线y=2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y=2x2﹣2x﹣1,
②存在;
有四个符合条件的点P的坐标:(0,﹣1),(1,﹣1),(﹣,),(,).
点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
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