基础套餐练08-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

基础套餐练08

一、多选题

1．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大

C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小

【答案】AB

【解析】

【分析】

从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．

【详解】

女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．

故选：AB.

【点睛】

本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是解题基础．

2．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（    ）．

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调增

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.

【详解】

由函数（其中，，）的图像可得：

，，因此,

,

所以，过点，

因此，又，

所以，

，

当时，，故错；

当时，，故正确；

当，，所以在上单调递增，故正确；

当时，，所以与函数有的交点的横坐标为 ，，故正确.

故选：.

【点睛】

本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.

3．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为(    )

A．函数是偶函数

B．,,恒成立

C．任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立

D．不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．

【详解】

对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；

对于B，取，则，，故选项B错误；

对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；

对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．

故选：．

【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．

4．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】

【分析】

作图，在四棱锥中，根据题意逐一证明或排除.

【详解】

作图在四棱锥中：

由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：在中

即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：BC

【点睛】

此题考查立体图形中的平行垂直关系，求锥体体积和外接球体积，综合性强，对空间位置关系辨析能力要求较高.

二、解答题

5．的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用二倍角的余弦函数公式即可得解．

（2）由已知利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．

【详解】

（1）∵，

∴，

∴，

故.

（2）∵，

又，

∴，

∴.

由（1）可知，

从而的面积.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

6．已知数列是等比数列，且；

（1）证明：数列是等差数列，并求出其通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

【分析】

（1）数列是公比为的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，可得所求通项公式；（2）求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．

【详解】

（1）证明：数列是公比为的等比数列，且，，

可得，解得，

即有，即，

可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，

可得；

（2），

所以

.

【点睛】

本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

7．如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面.此时，

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由，利用面面垂直的性质，证得平面，在线面垂直的性质，即可得到.

（Ⅱ）取中点，连连，得到四边形为平行四边形，又由是的中点，证得，且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（Ⅲ）取的中点，连，连，由线面垂直的性质，得到,，又在在△中，利用中位线得，再由（Ⅱ）知，进而得到平面，得出结论.

【详解】

（Ⅰ）因为，又平面平面，

且平面平面，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（Ⅱ）取中点，连连.

在△中，因为分别是中点，

所以，且.

在平行四边形中，因为是的中点，

所以，且.

所以，且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.

取的中点，连，连.

因为平面， 平面, 平面,

所以 , .

在△中，因为分别是中点，所以.

又由（Ⅱ）知，

所以 ，.

由 得平面.

故当点是线段的中点时，平面.此时，.

【点睛】

本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

8．已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.

（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；

（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）因为甲每天生产的次品数为，所以损失元，则其生产的正品数为，获得的利润为元，即可列出与的函数关系式；

（2）由题意，可得甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和的可能取值，分别求得取每个值对应的概率，即可列出分布列，利用公式求解数学期望。

【详解】

（1）因为甲每天生产的次品数为，所以损失元，

则其生产的正品数为，获得的利润为元，

因而与的函数关系式为 ，其中，.

（2）同理，对于乙来说，，，.由，得，

所以是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，所以的可能值为0，1，2，

又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为，

乙1天中生产的次品数不超过1的概率为，

所以，

，

，

所以随机变量的分布列为

所以.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

9．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

【答案】(1) .

(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.

试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.

又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此，解得.

故C的方程为.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.

则，得，不符合题设.

从而可设l：（）.将代入得

由题设可知.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，欲使l：，即，

所以l过定点（2，）

点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.

10．已知函数f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；

(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－＋－4x＋.

【答案】(1) a＝1.(2) 见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据极值的定义即导函数的变号零点，求导使得f′(1)＝0，解得a＝1；并检验a＝1时1是函数的变号零点即可（2）构造函数g(x)＝f(x)－，研究这个函数的单调性，使得这个函数的最小值大于等于0即可.

解析：

(1)解　f′(x)＝2x－a－，由题意可得f′(1)＝0，解得a＝1.经检验，a＝1时f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝1.

(2)证明　由(1)知，f(x)＝x2－x－lnx，

令g(x)＝f(x)－

＝－＋3x－lnx－，

由g′(x)＝x2－3x＋3－＝－3(x－1)＝ (x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，

在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－＋－4x＋成立．