基础套餐练07-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

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基础套餐练07一、多选题1．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（    ）人附表： 附：A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】设男生的人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示： 男生女生合计喜欢抖音不喜欢抖音合计 则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，即，得，，则的可能取值有、、、，因此，调查人数中男生人数的可能值为或.故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.2．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】AB【解析】【分析】计算排除和的情况得到，故，得到答案.【详解】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：【点睛】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.3．要得到的图象,只要将图象怎样变化得到(    )A．将的图象沿x轴方向向左平移个单位B．将的图象沿x轴方向向右平移个单位C．先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位D．先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位【答案】ABC【解析】【分析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到．【详解】对于A，将图象沿x轴方向向左平移个单位，可得的图象，故选项A正确；对于B，将的图象沿x轴方向向右平移个单位也可得到，的图象，故选项B正确；对于C，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向右平移个单位，得到的图象，故选项C正确；对于D，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向左平移个单位，得到的图象，故选项D不正确．故选：．【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题．4．在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（    ）A．CM与PN是异面直线 B．C．平面平面 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形【答案】BCD【解析】【分析】由交于点得共面，可判断A，利用余弦定理把都用表示后可比较大小，证明与平面后可得面面垂直，可判断C，作出过P，A，C三点的截面后可判断D．【详解】共线，即交于点，共面，因此共面，A错误；记，则，，又，，，即．B正确；由于正方体中，，平面，则，，可得平面，平面，从而可得平面平面，C正确；取中点，连接，易知，又正方体中，，∴，共面，就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D正确．故选：BCD.【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断．难度较大．  二、解答题5．已知是中内角的对边，.（1）求c；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用的余弦定理求解即可.(2)根据余弦定理求解即可得,再利用余弦的差角公式求解即可.【详解】（1）∵,所以,整理得：,即,解得：,或（舍）,则.（2）由（1）知：,所以,则,则所以.【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角恒等变换在解三角形中的应用.属于中档题.6．设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴ ∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.7．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝ ，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B-EC-D的余弦值．【答案】（1）.（2.【解析】【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，分别求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2）分别求得平面BEC的一个法向量和平面DEC的一个法向量，再利用面面角向量方法求解，注意根据图形判断二面角与向量夹角的大小关系确定符号．【详解】（1）因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．又因为PA＝AB＝ ，AD＝1，所以A(0，0，0)，B ，C，D(0，1，0)，P 因为E是棱PB的中点，所以E，所以＝，＝(0，1，－ )，所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.（2）由（1）得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)．设平面BEC的法向量为＝(x1，y1，z1)，所以令x1＝1，则z1＝1，所以平面BEC的一个法向量为＝(1，0，1)．设平面DEC的法向量为＝(x2，y2，z2)， 所以 令z2＝，则y2＝1，所以平面DEC的一个法向量为＝(0，1，)，所以cos〈，〉＝＝.由图可知二面角B-EC-D为钝角，所以二面角B-EC-D的余弦值为－.【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.8．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立.（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）用表示小王所获得获品的价值，写出的概率分布列，并求的数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）小王过第一关但未过第二关，包括小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答错，或者小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答对，第二道题答错，据此计算概率；（2）根据题意，分别写出可取的值，再计算每个可取值对应的概率，求得分布列即可.【详解】（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为，则容易知.（2）的取值为0，1000，3000，6000，则，，，，∴的概率分布列为0100030006000 ∴的数学期望.【点睛】本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及计算能力，属中档题.9．已知椭圆M：的左、石顶点分别为A、B，设P是曲线M上的任意一点.（1）当点P异于A、B时，直线的斜率分别为，则是否为定值？请说明理由；（2）已知点C在椭圆M的长轴上（异于A、B两点）.且的最大值为3，求点C的坐标.【答案】（1）是定值，理由见解析（2）【解析】【分析】(1)设,再表达出,最后利用满足方程代换证明即可.(2) 设,再求得的解析式,利用二次函数的最值判断,分与两种情况求解即可.【详解】（1）证明：由椭圆方程可得,设,则,∴,（2）设,则.若,即,则,解得.此时,同理,若,可得,此时,故C点坐标为.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值与最值问题,需要根据题意设点表达对应的解析式,再代入椭圆的方程结合二次不等式的最值与范围求解.属于中档题.10．已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有成立；（3）求证：．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有． （*），． （**）由（*）、（**）两式，解得，． 由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，， 因此，实数的取值范围是． （2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为． （3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，即． 令，得，化简得， ． （法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，即．因此，时不等式成立． （另解：，，，即．）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证．在不等式中，令，得．时命题也成立． 根据数学归纳法，可得不等式对一切成立． 考点：函数的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．点评：（1）本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．对学生的能力要求较高，尤其是分析问题解决问题的能力．（2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．