基础套餐练05-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

基础套餐练05

一、多选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样

B．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学

C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

D．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位

【答案】CD

【解析】

【分析】

对A,根据分层抽样的意义辨析即可.

对B,根据概率的含义辨析即可.

对C,根据回归模型的性质辨析即可.

对D,根据线性回归方程的实际意义分析即可.

【详解】

对A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故A错误.

对B, 降水概率为,但仍然有的概率不下雨,故B错误.

对C, 在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好正确.

对D, 回归直线方程中的系数为0.1,故当解释变量每增加1个单位时,预报变量增加0.1个单位正确.

故选：CD

【点睛】

本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念与性质.属于基础题.

2．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数以为周期且在处取得最大值

B．函数以为周期且在区间单调递增

C．函数是偶函数且在区间单调递减

D．将的图像向右平移1个单位得到

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用二倍角公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断即可.

【详解】

.

A：，所以函数的周期为.

当时，，所以函数在处取得最大值，故本选项是正确的；

B：，所以函数的周期为.

当时，，所以，故函数是单调递增函数，因此本选项是正确的；

C：，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间单调递减是不正确的，故本选项是错误的；

D：将的图像向右平移1个单位得到，故本选项是错误,

故选：AB

【点睛】

本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，考查了余弦的诱导公式.

3．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BCD

【解析】

【分析】

当时,利用均值定理可知,当时,若为最小值,需使得对称轴满足,且由分段函数,,进而求解即可

【详解】

当,,

当且仅当时,等号成立；

当时,为二次函数,要想在处取最小,

则对称轴要满足,且,

即,解得,

故选:BCD

【点睛】

本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义进行推理判断．

【详解】

由抛物线的定义，，A正确；

∵，是的平分线，∴，∴，B正确；

若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；

连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．

【点睛】

本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础．

二、解答题

5．已知函数.

（I）求f(x)的最小正周期；

（II）求证：当时，．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；（Ⅱ）先求的范围再求函数的最小值.

试题解析:（Ⅰ）.

所以的最小正周期.

（Ⅱ）因为，

所以.

所以.

所以当时，.

【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.

6．已知数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据与的关系得出数列为等比数列，即可得出数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求解即可.

【详解】

解：（1）当时，，即；

当时，①，②

由②①得

，即，∴

即，又

∴数列为等比数列，公比为2，首项为1

∴

（2）由（1）可得，，，

∴③

④

③④得

，

∴．

【点睛】

本题主要考查了利用与的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.

7．如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与棱的交点记为，求：

（1）三棱柱的侧面展开科的对角线长；

（2）该最短路线的长及的值；

（3）平面与平面所成二面角（锐角）的大小.

【答案】（1）；（2）最短路线的长为，此时；（3）

【解析】

【分析】

（1）易知正三棱柱的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,进而求解即可；

（2）画出展开图,点运动到点的位置,由展开图可知为最短路径,进而求解即可；

（3）连接,则是平面与平面的交线,由的性质可得,再由平面平面,平面平面,可进一步得到,则是平面与平面所成二面角的平面角（锐角）,进而求解即可

【详解】

（1）正三棱柱的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为

（2）如图,将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上,点运动到点的位置,连接交于,则是由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线,

∴,

∵,,,

∴,∴,故,

即最短路线的长为,此时

（3）如图,连接,则是平面与平面的交线,

在中,,

∴.

又∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,∴,∴是平面与平面所成二面角的平面角（锐角）,

∵侧面是正方形,∴,

故平面与平面所成的二面角（锐角）为.

【点睛】

本题考查由棱柱展开图求距离最小值,考查直接法求二面角,考查空间想象能力

8．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .

（1）求的值；

（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？

（3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.

【答案】（1）144（2）12（3）

【解析】

第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得

第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查

因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数

第三问中，结合古典概型概率公式求解得到．

解: (1)由,解得. ……………3分

(2)第三批次的人数为,

设应在第三批次中抽取名，则，解得.

∴应在第三批次中抽取12名.                           ……………6分

（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为，第三批次女教职工和男教职工数记为数对，

由（2）知，则基本事件总数有：

，共9个，

而事件包含的基本事件有：共4个，

∴. ……………………………………12分

9．已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆短轴的一个顶点，且是面积为的等腰直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线：与椭圆交于不同的，两点，若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等腰直角三角形可得，然后写出椭圆的标准方程；

（2）由题意可设，，联立，根据韦达定理和四边形恰好为平行四边形可得点的坐标，将其代入椭圆方程可得，再利用面积公式和基本不等式可得最小值.

【详解】

（1）由已知得，设.

是面积为1的等腰直角三角形，

∴椭圆E的方程为

（2）由题意可设，.

联立整理得，则.

根据韦达定理得

因为四边形恰好为平行四边形，所以.

所以，

因为点P在椭圆C上，所以，

整理得，即

在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.

令，得，令，得.

所以三角形面积为

当且仅当，时，取等号，此时.

所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.

【点睛】

本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了三角形的面积公式，考查了基本不等式求最小值，考查了运算求解能力，属于中档题.

10．已知函数的反函数的图象经过点，函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的零点；

(3)设的反函数为，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

【分析】

(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数过点，代入求解值，即可.

(2)由题意可知，解得，从而确定，令，即，即，解方程，即可.

(3)由题意可知，，则不等式变形为，令，则，令，根据函数的单调性，可知，从而求解正实数的取值范围.

【详解】

(1)由题意，过点，即，解得

所以.

(2)为上的奇函数

∴，解得，即

则

令，即

则

即，解得.

(3)由(2)可知

即

令，则

令，

在单调递减

∴

若关于的不等式在区间上恒成立,则

又为正实数

∴.

【点睛】

本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.