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辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】
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这是一份辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳134中八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝3 C．＝±3 D．3﹣2＝1
3．下列表述能确定物体具体位置的是（ ）
A．敬业小区 B．胜利南街右边
C．北偏东30° D．东经118°，北纬28°
4．下到方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
6．如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．1﹣2
7．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（ ）
A．两个图形关于x轴对称
B．两个图形关于y轴对称
C．两个图形重合
D．两个图形不关于任何一条直线对称
8．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，则点B坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
10．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论中正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而增大
B．点（4﹣a，a）在该函数的图象上
C．函数的图象与直线y＝﹣x﹣2平行
D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是 ．
12．若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 ．
13．在一次函数y＝﹣2x+5图象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）两点，且x1＞x2，则y1 y2（填“＞，＜或＝”）．
14．小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 ．
15．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知轿车比货车每小时多行驶10千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是 ．
①甲乙两地的距离为450千米
②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米
③x＝3时，两车相遇
④货车的速度为90千米/小时
16．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为 ．
三、计算题（第17题6分，第18题8分，共14分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
四、解答题（19.20.21每题8分，22.23每题10分，24.25每题12分，共68分）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1．
（2）△A1B1C的面积为 ；
（3）y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为 ．
20．观察、发现：．
（1）化简：＝ ；
（2）直接写出：＝ ；
（3）求值：．
21．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
22．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．
（1）写出：
①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；
②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．
（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．
23．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，＝．
（1）根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）求AC所在直线的表达式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），折叠后纸片重叠部分（即△CEF）的面积为 ；
（4）请直接写出EF所在直线的函数表达式 ．
24．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；
（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明；
（3）联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ．
25．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
参考答案
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：0，﹣2，是有理数，
是无理数，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝3 C．＝±3 D．3﹣2＝1
【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的加减运算法则计算，即可进行判断．
解：A、＝3，所以A选项正确，符合题意；
B、＝3，所以B选项错误，不符合题意；
C、＝＝3，所以C选项错误，不符合题意；
D、3﹣2＝，所以D选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．下列表述能确定物体具体位置的是（ ）
A．敬业小区 B．胜利南街右边
C．北偏东30° D．东经118°，北纬28°
【分析】根据确定位置的有序数对有两个数解答．
解：在平面直角坐标系中，要用两个数据才能表示一个点的位置，
纵观各选项，只有东经118°，北纬28°能确定物体的位置．
故选：D．
4．下到方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
解：A．此方程组符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B．此方程组含有3个未知数，此选项不符合题意；
C．xy＝4不是二元一次方程，此选项不符合题意；
D．x2﹣1＝0不是一次方程，此选项不符合题意；
故选：A．
5．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【分析】根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断．
解：∵（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故选：A．
6．如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．1﹣2
【分析】由正方形边长，可求对角线AC＝2，则P点表示的数是1﹣2．
解：∵ABCD是边长为2的正方形，
∴AC＝2，
∵AP＝AC，
∴AP＝2，
∴P点表示的数是1﹣2，
故选：D．
7．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（ ）
A．两个图形关于x轴对称
B．两个图形关于y轴对称
C．两个图形重合
D．两个图形不关于任何一条直线对称
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可选出答案．
解：∵将图形A上的所有点的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，
∴横坐标变为相反数，纵坐标不变，
∴得到的图形B与A关于y轴对称，
故选：A．
8．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，则点B坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
【分析】过点B作BC⊥OA，利用等腰直角三角形的性质解答即可．
解：过点B作BC⊥OA，
∵等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，
∴OC＝1，∠BOC＝45°，
∴BC＝OC＝1，
∴B的坐标为（1，1），
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
又该直线与y轴交于正半轴，
∴b＞0．
综上所述，k＞0，b＞0．
故选：A．
10．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论中正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而增大
B．点（4﹣a，a）在该函数的图象上
C．函数的图象与直线y＝﹣x﹣2平行
D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2
【分析】根据一次函数的k的符号判断y随x增大而减小，把点坐标代入解析式判断是否点坐图象上，根据k是否相等判断两直线是否平行，由函数解析式求出直线与坐标轴交点坐标，从而求解图象与坐标轴围成图象的周长．
解：∵y＝﹣2x+4中k＝﹣2，图象下降，y随x增大而减小，
故选项A错误，不符合题意．
把x＝4﹣a代入y＝﹣2x+4得y＝﹣2（4﹣a）+4＝﹣4+2a，
∴（4﹣a，a）不在直线上，
故选项B错误，不符合题意．
∵y＝﹣x﹣2中k＝﹣1，
故选项C错误，不符合题意．
设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
把x＝0代入y＝﹣2x+4得y＝4，
∴点B坐标为（0，4），
把y＝0代入y＝﹣2x+4得0＝﹣2x+4，
解得x＝2，
∴点A坐标为（2，0），
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝2，
∴函数图象与坐标轴围成三角形的周长为AO+BO+AB＝6+2，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是 3 ．
【分析】估算得出的范围，进而求出x与y的值，即可求出所求．
解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，即1＜﹣1＜2，
∴x＝1，y＝2，
则x+y＝1+2＝3，
故答案为：3
12．若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答．
解：根据题意得，3﹣x≥0且x﹣3≥0，
解得x≤3且x≥3，
所以，x＝3，
y＝4，
所以，x2+y2＝32+42＝25，
∵25的算术平方根是5，
∴x2+y2的算术平方根是5．
故答案为：5．
13．在一次函数y＝﹣2x+5图象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）两点，且x1＞x2，则y1 ＜ y2（填“＞，＜或＝”）．
【分析】先根据一次函数的性质判断出函数的增减性，进而可得出结论．
解：∵一次函数y＝﹣2x+5中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 ．
【分析】由题意可得等量关系①0.5元的邮票枚数+面值0.8元的邮票枚数＝9枚；②0.5元的邮票价格+面值0.8元的邮票总价格＝6.3元，由等量关系列出方程组即可．
解：设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，由题意得
．
故答案为：．
15．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知轿车比货车每小时多行驶10千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是 ①②③ ．
①甲乙两地的距离为450千米
②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米
③x＝3时，两车相遇
④货车的速度为90千米/小时
【分析】根据函数图象中的数据和题意，可以直接判断①②③，再根据轿车比货车每小时多行驶10千米和两车3小时相遇，即可计算出货车的速度，从而可以判断④．
解：由图象可得，
甲乙两地的距离为450千米，故①正确；
点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米，故②正确；
x＝3时，两车相遇，故③正确；
货车的速度为：（450÷3﹣10）÷2＝70（千米/小时），故④错误；
故答案为：①②③．
16．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为 4﹣或2或 ．
【分析】分三种情况：①当PA＝PM时，点P在AM的垂直平分线上，取AM的中点N，过点N作NP⊥AM交BC于P，则四边形ABPN是矩形，得BP＝AN＝AM＝4，即可求解；
②当AM＝AP＝8时，由勾股定理得BP＝2，即可求解；
③当MA＝MP＝8时，过点M作MH⊥BC于H，则四边形ABHM为矩形，得MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，由勾股定理得HP＝2，则BP＝BH﹣HP＝8﹣2，即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
当△AMP为等腰三角形时，分三种情况：
①当PA＝PM时，点P在AM的垂直平分线上，
取AM的中点N，过点N作NP⊥AM交BC于P，如图1所示：
则四边形ABPN是矩形，
∴BP＝AN＝AM＝4，
∴t＝4÷2＝2；
②当AM＝AP＝8时，如图2所示：
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝＝＝2，
∴t＝2÷2＝；
③当MA＝MP＝8时，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示：
则四边形ABHM为矩形，
∴MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，
在Rt△MHP中，由勾股定理得：HP＝＝＝2，
∴BP＝BH﹣HP＝8﹣2，
∴t＝（8﹣2）÷2＝4﹣；
综上所述，t的值为：4﹣或2或，
故答案为：4﹣或2或．
三、计算题（第17题6分，第18题8分，共14分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别化简、、，再合并同类二次根式即可；
（2）化简、、以及|﹣2|，再合并同类项即可．
解：（1）原式＝2﹣4+3＝；
（2）原式＝9+（﹣3）+2﹣（﹣2）
＝9﹣3+2﹣+2
＝10﹣．
18．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据代入消元法解决此题．
（2）将2x+3y＝5记作①式，x﹣3y＝1记作②式．由②变形得x＝3y+1…③，再运用代入消元法解决此题．
解：（1）将x＝y﹣9代入x+3y＝7，得y﹣9+3y＝7．
∴y+3y＝7+9．
∴4y＝16．
∴y＝4．
∴x＝y﹣9＝4﹣9＝﹣5．
∴这个方程组的解为．
（2）将2x+3y＝5记作①式，x﹣3y＝1记作②式．
由②，得x＝3y+1…③．
将③代入①，得2（3y+1）+3y＝5．
∴6y+2+3y＝5．
∴6y+3y＝5﹣2．
∴9y＝3．
∴y＝．
∴x＝3×+1＝2．
∴这个方程组的解为．
四、解答题（19.20.21每题8分，22.23每题10分，24.25每题12分，共68分）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1．
（2）△A1B1C的面积为 7 ；
（3）y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小，点P的坐标为 （0，） ，周长最小值为 + ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用待定系数法求出AB1所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，连接A1C，△A1B1C的面积为×7×2＝7，
故答案为：7；
（3）如图所示，连接AB1，与y轴的交点即为所求点P，
设AB1所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴P（0，）；
∵AB1＝＝，AB＝＝，
∴周长最小值为+，
故答案为：（0，），+．
20．观察、发现：．
（1）化简：＝ ﹣ ；
（2）直接写出：＝ ﹣ ；
（3）求值：．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出有理化因式，进而化简得出答案；
（2）直接利用（1）中规律得出答案；
（3）直接利用运算规律化简，进而得出答案．
解：（1）＝＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式＝﹣；
故答案为：﹣；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+.....+﹣
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
21．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°即可；
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．
【解答】证明：（1）设AB＝AC＝acm，
∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）∵∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
22．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．
（1）写出：
①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 y1＝70x+1200 ；
②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 y2＝80x ．
（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．
【分析】（1）①根据A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费，可以写出学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；
②根据B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费，可以写出学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；
（2）先判断哪家公司比较合算，然后将x＝150代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的函数值，再比较大小即可说明理由．
解：（1）①由题意可得，
学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y1＝100x×0.7+1200＝70x+1200，
故答案为：y1＝70x+1200；
②由题意可得，
学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y2＝100x×0.8＝80x，
故答案为：y2＝80x；
（2）若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算，
理由：当x＝150时，
y1＝70×150+1200＝11700，
y2＝80×150＝12000，
∵11700＜12000，
∴若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算．
23．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，＝．
（1）根据题意，写出点A的坐标 （4，0） ，点C的坐标 （0，2） ；
（2）求AC所在直线的表达式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），折叠后纸片重叠部分（即△CEF）的面积为 ；
（4）请直接写出EF所在直线的函数表达式 y＝2x﹣3 ．
【分析】（1）由OA＝4，＝．得OC＝2，即可得出点A、C的坐标；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）由折叠的性质和平行线的性质得CE＝CF，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得CE的长，从而求出面积；
（4）设AC与EF的交点为G，可知点G为AC的中点，再用待定系数法求函数解析式即可．
解：（1）∵OA＝4，＝．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）设直线AC的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的函数解析式为：y＝﹣；
（3）由折叠知：AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，
∵BC∥OA，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴CE＝，
∴S△CEF＝×CF×OC＝×＝，
故答案为：；
（4）设AC与EF的交点为G，
∵AE＝CE＝，
∴OE＝，
∴E（），
由折叠知，EF垂直平分AC，
∴点G为AC的中点，
∴点G（2，1），
设直线EF的函数解析式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线EF的函数解析式为y＝2x﹣3，
故答案为：y＝2x﹣3．
24．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 BE+FD＝EF ；
（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 DF＝EF+BE ，并给出证明；
（3）联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 2+2 ．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
解：（1）如图1所示：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴EF＝FG．
∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．
故答案为：BE+FD＝EF；
（2）DF＝EF+BE．
证明：如图2所示．
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠ABE＝90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD＝90°，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EAF＝∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF＝FG．
∵FD＝FG+DG，
∴DF＝EF+BE，
故答案为：DF＝EF+BE；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
又∵∠FAB＝∠CAE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS）．
∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°．
∴∠BDF＝90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD2+BF2＝DF2．
∴BD2+CE2＝DE2．
∴DE＝＝2．
∴BE＝BD+DE＝2+2．
故答案为：2+2．
25．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 y＝5x﹣10 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 （2，0）或（﹣2，0） ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 （）或（4，﹣7）或（） ．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证∠BCE＝∠CAD，从而利用AAS可证△BEC≌△CDA；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，由（1）同理可得△OAB≌△HBF，则F（﹣3，5），利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，得A（3，1），可求出OM＝2，即可得出点M的坐标；
（4）分点P为直角顶点或点C为直角顶点时或点D为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中K型全等可得点D的坐标，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，
则△ABF是等腰直角三角形，
由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），
∴OA＝BH，OB＝FH，
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
∴OH＝5，FH＝3，
∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，
将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，\
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，
故答案为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，
∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，
∴A（3，1），
∵S△AOB＝＝3，
∴S△OAM＝1，
∴OM＝2，
∴M（2，0）或（﹣2，0），
故答案为：（2，0）或（﹣2，0）；
（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP与△HPD中，
，
∴△△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（）；
②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴D（），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝﹣，
解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（），
综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），
故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．
2021-2022学年辽宁省沈阳134中八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝3 C．＝±3 D．3﹣2＝1
3．下列表述能确定物体具体位置的是（ ）
A．敬业小区 B．胜利南街右边
C．北偏东30° D．东经118°，北纬28°
4．下到方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
6．如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．1﹣2
7．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（ ）
A．两个图形关于x轴对称
B．两个图形关于y轴对称
C．两个图形重合
D．两个图形不关于任何一条直线对称
8．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，则点B坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
10．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论中正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而增大
B．点（4﹣a，a）在该函数的图象上
C．函数的图象与直线y＝﹣x﹣2平行
D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是 ．
12．若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 ．
13．在一次函数y＝﹣2x+5图象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）两点，且x1＞x2，则y1 y2（填“＞，＜或＝”）．
14．小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 ．
15．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知轿车比货车每小时多行驶10千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是 ．
①甲乙两地的距离为450千米
②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米
③x＝3时，两车相遇
④货车的速度为90千米/小时
16．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为 ．
三、计算题（第17题6分，第18题8分，共14分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
四、解答题（19.20.21每题8分，22.23每题10分，24.25每题12分，共68分）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1．
（2）△A1B1C的面积为 ；
（3）y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为 ．
20．观察、发现：．
（1）化简：＝ ；
（2）直接写出：＝ ；
（3）求值：．
21．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
22．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．
（1）写出：
①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；
②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．
（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．
23．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，＝．
（1）根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）求AC所在直线的表达式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），折叠后纸片重叠部分（即△CEF）的面积为 ；
（4）请直接写出EF所在直线的函数表达式 ．
24．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；
（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明；
（3）联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ．
25．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
参考答案
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C．﹣2 D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：0，﹣2，是有理数，
是无理数，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝3 C．＝±3 D．3﹣2＝1
【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的加减运算法则计算，即可进行判断．
解：A、＝3，所以A选项正确，符合题意；
B、＝3，所以B选项错误，不符合题意；
C、＝＝3，所以C选项错误，不符合题意；
D、3﹣2＝，所以D选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．下列表述能确定物体具体位置的是（ ）
A．敬业小区 B．胜利南街右边
C．北偏东30° D．东经118°，北纬28°
【分析】根据确定位置的有序数对有两个数解答．
解：在平面直角坐标系中，要用两个数据才能表示一个点的位置，
纵观各选项，只有东经118°，北纬28°能确定物体的位置．
故选：D．
4．下到方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
解：A．此方程组符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B．此方程组含有3个未知数，此选项不符合题意；
C．xy＝4不是二元一次方程，此选项不符合题意；
D．x2﹣1＝0不是一次方程，此选项不符合题意；
故选：A．
5．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【分析】根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断．
解：∵（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故选：A．
6．如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．1﹣2
【分析】由正方形边长，可求对角线AC＝2，则P点表示的数是1﹣2．
解：∵ABCD是边长为2的正方形，
∴AC＝2，
∵AP＝AC，
∴AP＝2，
∴P点表示的数是1﹣2，
故选：D．
7．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（ ）
A．两个图形关于x轴对称
B．两个图形关于y轴对称
C．两个图形重合
D．两个图形不关于任何一条直线对称
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可选出答案．
解：∵将图形A上的所有点的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，
∴横坐标变为相反数，纵坐标不变，
∴得到的图形B与A关于y轴对称，
故选：A．
8．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，则点B坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
【分析】过点B作BC⊥OA，利用等腰直角三角形的性质解答即可．
解：过点B作BC⊥OA，
∵等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，
∴OC＝1，∠BOC＝45°，
∴BC＝OC＝1，
∴B的坐标为（1，1），
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
又该直线与y轴交于正半轴，
∴b＞0．
综上所述，k＞0，b＞0．
故选：A．
10．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论中正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而增大
B．点（4﹣a，a）在该函数的图象上
C．函数的图象与直线y＝﹣x﹣2平行
D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2
【分析】根据一次函数的k的符号判断y随x增大而减小，把点坐标代入解析式判断是否点坐图象上，根据k是否相等判断两直线是否平行，由函数解析式求出直线与坐标轴交点坐标，从而求解图象与坐标轴围成图象的周长．
解：∵y＝﹣2x+4中k＝﹣2，图象下降，y随x增大而减小，
故选项A错误，不符合题意．
把x＝4﹣a代入y＝﹣2x+4得y＝﹣2（4﹣a）+4＝﹣4+2a，
∴（4﹣a，a）不在直线上，
故选项B错误，不符合题意．
∵y＝﹣x﹣2中k＝﹣1，
故选项C错误，不符合题意．
设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
把x＝0代入y＝﹣2x+4得y＝4，
∴点B坐标为（0，4），
把y＝0代入y＝﹣2x+4得0＝﹣2x+4，
解得x＝2，
∴点A坐标为（2，0），
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝2，
∴函数图象与坐标轴围成三角形的周长为AO+BO+AB＝6+2，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是 3 ．
【分析】估算得出的范围，进而求出x与y的值，即可求出所求．
解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，即1＜﹣1＜2，
∴x＝1，y＝2，
则x+y＝1+2＝3，
故答案为：3
12．若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答．
解：根据题意得，3﹣x≥0且x﹣3≥0，
解得x≤3且x≥3，
所以，x＝3，
y＝4，
所以，x2+y2＝32+42＝25，
∵25的算术平方根是5，
∴x2+y2的算术平方根是5．
故答案为：5．
13．在一次函数y＝﹣2x+5图象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）两点，且x1＞x2，则y1 ＜ y2（填“＞，＜或＝”）．
【分析】先根据一次函数的性质判断出函数的增减性，进而可得出结论．
解：∵一次函数y＝﹣2x+5中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 ．
【分析】由题意可得等量关系①0.5元的邮票枚数+面值0.8元的邮票枚数＝9枚；②0.5元的邮票价格+面值0.8元的邮票总价格＝6.3元，由等量关系列出方程组即可．
解：设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，由题意得
．
故答案为：．
15．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知轿车比货车每小时多行驶10千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是 ①②③ ．
①甲乙两地的距离为450千米
②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米
③x＝3时，两车相遇
④货车的速度为90千米/小时
【分析】根据函数图象中的数据和题意，可以直接判断①②③，再根据轿车比货车每小时多行驶10千米和两车3小时相遇，即可计算出货车的速度，从而可以判断④．
解：由图象可得，
甲乙两地的距离为450千米，故①正确；
点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米，故②正确；
x＝3时，两车相遇，故③正确；
货车的速度为：（450÷3﹣10）÷2＝70（千米/小时），故④错误；
故答案为：①②③．
16．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为 4﹣或2或 ．
【分析】分三种情况：①当PA＝PM时，点P在AM的垂直平分线上，取AM的中点N，过点N作NP⊥AM交BC于P，则四边形ABPN是矩形，得BP＝AN＝AM＝4，即可求解；
②当AM＝AP＝8时，由勾股定理得BP＝2，即可求解；
③当MA＝MP＝8时，过点M作MH⊥BC于H，则四边形ABHM为矩形，得MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，由勾股定理得HP＝2，则BP＝BH﹣HP＝8﹣2，即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
当△AMP为等腰三角形时，分三种情况：
①当PA＝PM时，点P在AM的垂直平分线上，
取AM的中点N，过点N作NP⊥AM交BC于P，如图1所示：
则四边形ABPN是矩形，
∴BP＝AN＝AM＝4，
∴t＝4÷2＝2；
②当AM＝AP＝8时，如图2所示：
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝＝＝2，
∴t＝2÷2＝；
③当MA＝MP＝8时，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示：
则四边形ABHM为矩形，
∴MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，
在Rt△MHP中，由勾股定理得：HP＝＝＝2，
∴BP＝BH﹣HP＝8﹣2，
∴t＝（8﹣2）÷2＝4﹣；
综上所述，t的值为：4﹣或2或，
故答案为：4﹣或2或．
三、计算题（第17题6分，第18题8分，共14分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别化简、、，再合并同类二次根式即可；
（2）化简、、以及|﹣2|，再合并同类项即可．
解：（1）原式＝2﹣4+3＝；
（2）原式＝9+（﹣3）+2﹣（﹣2）
＝9﹣3+2﹣+2
＝10﹣．
18．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据代入消元法解决此题．
（2）将2x+3y＝5记作①式，x﹣3y＝1记作②式．由②变形得x＝3y+1…③，再运用代入消元法解决此题．
解：（1）将x＝y﹣9代入x+3y＝7，得y﹣9+3y＝7．
∴y+3y＝7+9．
∴4y＝16．
∴y＝4．
∴x＝y﹣9＝4﹣9＝﹣5．
∴这个方程组的解为．
（2）将2x+3y＝5记作①式，x﹣3y＝1记作②式．
由②，得x＝3y+1…③．
将③代入①，得2（3y+1）+3y＝5．
∴6y+2+3y＝5．
∴6y+3y＝5﹣2．
∴9y＝3．
∴y＝．
∴x＝3×+1＝2．
∴这个方程组的解为．
四、解答题（19.20.21每题8分，22.23每题10分，24.25每题12分，共68分）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1．
（2）△A1B1C的面积为 7 ；
（3）y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小，点P的坐标为 （0，） ，周长最小值为 + ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用待定系数法求出AB1所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，连接A1C，△A1B1C的面积为×7×2＝7，
故答案为：7；
（3）如图所示，连接AB1，与y轴的交点即为所求点P，
设AB1所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴P（0，）；
∵AB1＝＝，AB＝＝，
∴周长最小值为+，
故答案为：（0，），+．
20．观察、发现：．
（1）化简：＝ ﹣ ；
（2）直接写出：＝ ﹣ ；
（3）求值：．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出有理化因式，进而化简得出答案；
（2）直接利用（1）中规律得出答案；
（3）直接利用运算规律化简，进而得出答案．
解：（1）＝＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式＝﹣；
故答案为：﹣；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+.....+﹣
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
21．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°即可；
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．
【解答】证明：（1）设AB＝AC＝acm，
∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）∵∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
22．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．
（1）写出：
①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 y1＝70x+1200 ；
②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 y2＝80x ．
（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．
【分析】（1）①根据A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费，可以写出学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；
②根据B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费，可以写出学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；
（2）先判断哪家公司比较合算，然后将x＝150代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的函数值，再比较大小即可说明理由．
解：（1）①由题意可得，
学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y1＝100x×0.7+1200＝70x+1200，
故答案为：y1＝70x+1200；
②由题意可得，
学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y2＝100x×0.8＝80x，
故答案为：y2＝80x；
（2）若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算，
理由：当x＝150时，
y1＝70×150+1200＝11700，
y2＝80×150＝12000，
∵11700＜12000，
∴若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算．
23．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，＝．
（1）根据题意，写出点A的坐标 （4，0） ，点C的坐标 （0，2） ；
（2）求AC所在直线的表达式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），折叠后纸片重叠部分（即△CEF）的面积为 ；
（4）请直接写出EF所在直线的函数表达式 y＝2x﹣3 ．
【分析】（1）由OA＝4，＝．得OC＝2，即可得出点A、C的坐标；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）由折叠的性质和平行线的性质得CE＝CF，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得CE的长，从而求出面积；
（4）设AC与EF的交点为G，可知点G为AC的中点，再用待定系数法求函数解析式即可．
解：（1）∵OA＝4，＝．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）设直线AC的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的函数解析式为：y＝﹣；
（3）由折叠知：AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，
∵BC∥OA，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴CE＝，
∴S△CEF＝×CF×OC＝×＝，
故答案为：；
（4）设AC与EF的交点为G，
∵AE＝CE＝，
∴OE＝，
∴E（），
由折叠知，EF垂直平分AC，
∴点G为AC的中点，
∴点G（2，1），
设直线EF的函数解析式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线EF的函数解析式为y＝2x﹣3，
故答案为：y＝2x﹣3．
24．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 BE+FD＝EF ；
（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 DF＝EF+BE ，并给出证明；
（3）联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 2+2 ．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
解：（1）如图1所示：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴EF＝FG．
∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．
故答案为：BE+FD＝EF；
（2）DF＝EF+BE．
证明：如图2所示．
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠ABE＝90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD＝90°，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EAF＝∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF＝FG．
∵FD＝FG+DG，
∴DF＝EF+BE，
故答案为：DF＝EF+BE；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
又∵∠FAB＝∠CAE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS）．
∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°．
∴∠BDF＝90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD2+BF2＝DF2．
∴BD2+CE2＝DE2．
∴DE＝＝2．
∴BE＝BD+DE＝2+2．
故答案为：2+2．
25．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 y＝5x﹣10 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 （2，0）或（﹣2，0） ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 （）或（4，﹣7）或（） ．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证∠BCE＝∠CAD，从而利用AAS可证△BEC≌△CDA；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，由（1）同理可得△OAB≌△HBF，则F（﹣3，5），利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，得A（3，1），可求出OM＝2，即可得出点M的坐标；
（4）分点P为直角顶点或点C为直角顶点时或点D为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中K型全等可得点D的坐标，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，
则△ABF是等腰直角三角形，
由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），
∴OA＝BH，OB＝FH，
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
∴OH＝5，FH＝3，
∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，
将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，\
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，
故答案为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，
∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，
∴A（3，1），
∵S△AOB＝＝3，
∴S△OAM＝1，
∴OM＝2，
∴M（2，0）或（﹣2，0），
故答案为：（2，0）或（﹣2，0）；
（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP与△HPD中，
，
∴△△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（）；
②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴D（），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝﹣，
解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（），
综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），
故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．
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