辽宁省营口实验中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷

辽宁省营口实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）

A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11

2．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．（3分）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A．120° B．135° C．150° D．165°

5．（3分）如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．95° B．120° C．135° D．无法确定

6．（3分）一个多边形的内角和比外角和的三倍少180°，则这个多边形是（　　）

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

7．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．△ABC≌△CDE B．E为BC中点 C．AB⊥CD D．CE＝AC

8．（3分）下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（　　）

A． B． 

C． D．

9．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD

10．（3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　）

A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）已知等腰三角形的一边等于6cm，一边等于12cm，则它的周长为 　   　．

12．（3分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是　   　三角形．

13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为　   　．

14．（3分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝　   　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝15，且BD：DC＝3：2，AB＝25，则△ABD的面积是 　   　．

16．（3分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　   　．

17．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是　   　．

18．（3分）如图所示，线段AB＝8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为　   　．

三、解答题（共66分）

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

20．（8分）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．

21．（10分）如图，已知，DA＝DC，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：DM＝DN．

22．（10分）如图，已知AB＝DC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，CE＝BF连接AD交EF于点O．求证：AD与EF互相平分．

23．（8分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，求∠MAB的度数．

24．（10分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，探究BC，AB，CD之间的数量关系，并证明．

25．（12分）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．

（1）如图1，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；

（2）如图2，若A（1，3），B（﹣1，0），求C点坐标．

辽宁省营口实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）

A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11

【考点】三角形三边关系．版权所有

【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．

【解答】解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；

B、因为4+5＝9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；

C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；

D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．

2．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有

【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．

【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．

3．（3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】多边形内角与外角．版权所有

【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．

【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．

故选：A．

【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．

4．（3分）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A．120° B．135° C．150° D．165°

【考点】三角形的外角性质．版权所有

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，然后求出∠α即可．

【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1＝45°+90°＝135°，

∠α＝∠1+30°＝135°+30°＝165°．

故选：D．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．

5．（3分）如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．95° B．120° C．135° D．无法确定

【考点】三角形内角和定理．版权所有

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据∠BOC+（∠OBC+∠OCB）＝180°即可得出结论．

【解答】解：∵∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，

∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2＝180°﹣80°﹣15°﹣40°＝45°，

∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）＝180°，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣45°＝135°．

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

6．（3分）一个多边形的内角和比外角和的三倍少180°，则这个多边形是（　　）

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

【考点】多边形内角与外角．版权所有

【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，

根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，

解得n＝7．

故选：C．

【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．

7．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是（　　）

A．△ABC≌△CDE B．E为BC中点 C．AB⊥CD D．CE＝AC

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】首先证明△ABC≌△CDE，推出CE＝AC，∠D＝∠B，由∠D+∠DCE＝90°，推出∠B+∠DCE＝90°，推出CD⊥AB，即可一一判断．

【解答】解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE，

∴CE＝AC，∠D＝∠B，

∵∠D+∠DCE＝90°，

∴∠B+∠DCE＝90°，

∴CD⊥AB，

故A、C、D正确，

故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．

8．（3分）下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（　　）

A． B． 

C． D．

【考点】角平分线的性质；点到直线的距离．版权所有

【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．

【解答】解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，

∴GE＝GF，（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

故选：D．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

9．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD

【考点】全等三角形的判定．版权所有

【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．

故选：D．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．

10．（3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　）

A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．

【解答】解：在△ABC和△DEB中，

，

∴△ABC≌△DEB （SSS），

∴∠ACB＝∠DBE．

∵∠AFB是△BFC的外角，

∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，

∠ACB＝∠AFB，

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）已知等腰三角形的一边等于6cm，一边等于12cm，则它的周长为 　30cm　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和12cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：当6cm为腰，12cm为底时，

∵6+6＝12，

∴不能构成三角形；

当腰为12cm时，

∵12+6＞12，

∴能构成三角形，

∴等腰三角形的周长为：6+12+12＝30（cm）．

故答案为：30cm．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

12．（3分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是　钝角　三角形．

【考点】三角形内角和定理；解一元一次方程．版权所有

【分析】设∠A＝x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据三角形的内角和定理得到方程x+3x+5x＝180°，求出x即可求出∠A、∠B、∠C的度数，根据三角的度数即可得到答案．

【解答】解：设∠A＝x，∠B＝3x，∠C＝5x，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴x+3x+5x＝180°，

解得：x＝20°，

∴∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，

∴△ABC是钝角三角形．

故答案为：钝角

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设出未知数得到方程．

13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为　110°　．

【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．版权所有

【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，

∴∠BAC＝110°，

由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，

∵DE∥AB，

∴∠BAE＝∠E＝30°，

∴∠CAD＝40°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，

故答案为：110°．

【点评】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

14．（3分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝　24°　．

【考点】多边形内角与外角．版权所有

【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．

【解答】解：正三角形的每个内角是：

180°÷3＝60°，

正方形的每个内角是：

360°÷4＝90°，

正五边形的每个内角是：

（5﹣2）×180°÷5

＝3×180°÷5

＝540°÷5

＝108°，

正六边形的每个内角是：

（6﹣2）×180°÷6

＝4×180°÷6

＝720°÷6

＝120°，

则∠3+∠1﹣∠2

＝（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）

＝30°+12°﹣18°

＝24°．

故答案为：24°．

【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和＝（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝15，且BD：DC＝3：2，AB＝25，则△ABD的面积是 　75　．

【考点】角平分线的性质．版权所有

【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE＝DC，然后根据BC＝15，且BD：DC＝3：2，可以得到DC的长，从而可以得到DE的长，再根据AB的长，即可计算出△ABD的面积．

【解答】解：作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DC＝DE，

∵BC＝15，且BD：DC＝3：2，

∴DC＝15×＝6，

∴DE＝6，

∵AB＝25，DE⊥AB，

∴△ABD的面积是：＝＝75，

故答案为：75．

【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是求出DE的长，利用数形结合的思想解答．

16．（3分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　4　．

【考点】三角形的面积．版权所有

【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．

【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，

∴AE＝CE，

∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，

∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，

∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，

∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

17．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是　（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）　．

【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．版权所有

【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．

【解答】解：

符合题意的有3个，如图，

∵点A、B、C坐标为（0，1），（3，1），（4，3），

∴D1的坐标是（4，﹣1），D2的坐标是（﹣1，3），D3的坐标是（﹣1，﹣1），

故答案为：（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．

18．（3分）如图所示，线段AB＝8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为　4　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有

【分析】如图作EH⊥AN于H，由△ABC≌△HCE得AB＝CH，AC＝EH，再证明△DCM≌△EHM得CM＝HM即可解决问题．

【解答】解：如图作EH⊥AN于H，

∵BA⊥AN，EH⊥AN，

∴∠BAC＝∠EHC＝90°，

∵∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECH＝90°，

∴∠ABC＝∠ECH，

∵△BCE和△ACD都是等腰三角形，

∴BC＝CE，AC＝DC，∠BCE＝∠ACD＝90°

在△ABC和△HCE中，

∴△ABC≌△HCE，

∴AC＝EH＝CD，AB＝CH，

在△DCM和△EHM中，

，

∴△DCM≌△EHM．

∴CM＝HM，

∴CM＝CH＝AB＝4．

故答案为4．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法，属于中考常考题型．

三、解答题（共66分）

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【考点】三角形的外角性质；平行线的判定．版权所有

【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；

（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F＝∠CEB＝25°．

【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，

∴∠CBD＝130°．

∵BE是∠CBD的平分线，

∴∠CBE＝∠CBD＝65°；

（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，

∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．

∵DF∥BE，

∴∠F＝∠CEB＝25°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．

20．（8分）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有

【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．

【解答】解：∠ACB的大小保持不变．理由：

∵∠ABN＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN，

∴∠ABE＝∠ABN＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，

即∠ABE＝45°+∠CAB，

又∵∠ABE＝∠ACB+∠CAB，

∴∠ACB＝45°，

故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．

【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：

①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；

②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．

21．（10分）如图，已知，DA＝DC，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：DM＝DN．

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】由DA＝DC，BA＝BC，BD＝BD，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABD≌△CBD，得∠ADB＝∠CDB，即可根据角平分线的性质得PM＝PN，再证明Rt△PMD≌Rt△PND，得DM＝DN．

【解答】证明：在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，

∴PM＝PN，∠PMD＝∠PND＝90°，

在Rt△PMD和Rt△PND中，

，

∴Rt△PMD≌Rt△PND（HL），

∴DM＝DN．

【点评】此题重点考查角平分线上的点到角两边的距离相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△CBD及Rt△PMD≌Rt△PND是解题的关键．

22．（10分）如图，已知AB＝DC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，CE＝BF连接AD交EF于点O．求证：AD与EF互相平分．

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CDF，可得DF＝AE，由“AAS”可证△DFO≌△AEO，可得FO＝EO，DO＝AO，可得结论．

【解答】证明：∵CE＝BF，

∴CF＝BE，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），

∴DF＝AE，

在△DFO和△AEO中，

，

∴△DFO≌△AEO（AAS），

∴FO＝EO，DO＝AO，

∴AD与EF互相平分．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．

23．（8分）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，求∠MAB的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有

【分析】作ME⊥DA于点E，根据角平分线的性质得EM＝CM，则EM＝CM，再根据直角三角形的判定定理“HL”证明Rt△ABM≌Rt△AEM，由∠B+∠C＝180°，得AB∥CD，则∠BAE＝180°﹣∠ADC＝70°，所以∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝35°．

【解答】解：作ME⊥DA于点E，则∠AEM＝90°，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴MC⊥DC，∠B＝∠AEM，

∵DM平分∠ADC，

∴EM＝CM，

∵M是BC的中点，

∴CM＝BM，

∴EM＝CM，

在Rt△ABM和Rt△AEM中，

，

∴Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），

∵∠B+∠C＝180°，∠ADC＝110°，

∴AB∥CD，

∴∠BAE＝180°﹣∠ADC＝70°，

∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝35°，

∴∠MAB的度数是35°．

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

24．（10分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，探究BC，AB，CD之间的数量关系，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有

【分析】在BC上截取FB＝AB，连接EF，先证明△FBE≌△ABE，得∠BEF＝∠BEA，由AB∥CD，得∠ABC+∠BCD＝180°，可推导出∠CEF＝∠CED，再证明△CEF≌△CED，得CF＝CD，则BC＝FB+CF＝AB+CD．

【解答】解：BC＝AB+CD，

证明：在BC上截取FB＝AB，连接EF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠FBE＝∠ABE＝∠ABC，

在△FBE和△ABE中，

，

∴△FBE≌△ABE（SAS），

∴∠BEF＝∠BEA，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∵CE平分∠BCD，

∴∠FCE＝∠DCE＝∠BCD，

∴∠FBE+∠FCE＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，

∴∠CEF+∠BEF＝∠BEC＝90°，

∴∠CED+∠BEA＝90°，

∴∠CEF＝∠CED，

在△CEF和△CED中，

，

∴△CEF≌△CED（ASA），

∴CF＝CD，

∴BC＝FB+CF＝AB+CD．

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、平行线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

25．（12分）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．

（1）如图1，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；

（2）如图2，若A（1，3），B（﹣1，0），求C点坐标．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；坐标与图形性质．版权所有

【分析】（1）作CD⊥x轴于点D，可证明△ACD≌△BAO，由A（1，0），B（0，3），得DC＝OA＝1，DA＝OB＝3，则OD＝4，所以点C的坐标是（4，1）；

（2）作CF⊥x轴于点F，AE⊥x轴于点E，作AG⊥CF交FC的延长线于点G，可证明△CAG≌△BAE，由A（1，3），B（﹣1，0），得E（1，0），则AG＝AE＝3，CG＝BE＝2，所以xC＝xF＝xG＝4，则G（4，3），F（4，0），所以CF＝1，则点C的坐标为（4，1）．

【解答】解：（1）如图1，作CD⊥x轴于点D，则∠CDA＝∠AOB＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠BAO＝90°﹣∠CAD，

在△ACD和△BAO中，

，

∴△ACD≌△BAO（AAS），

∵A（1，0），B（0，3），

∴DC＝OA＝1，DA＝OB＝3，

∴OD＝OA+DA＝1+3＝4，

∴点C的坐标是（4，1）．

（2）如图2，作CF⊥x轴于点F，AE⊥x轴于点E，作AG⊥CF交FC的延长线于点G，则∠G＝∠AEB＝90°，

∵∠G＝∠GFE＝∠AEF＝90°，

∴∠EAG＝360°﹣∠G﹣∠GFE﹣∠AEF＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAG＝∠BAE＝90°﹣∠CAE，

在△CAG和△BAE中，

，

∴△CAG≌△BAE（AAS），

∵A（1，3），B（﹣1，0），

∴E（1，0），

∴AG＝AE＝3，CG＝BE＝1﹣（﹣1）＝2，

∴xC＝xF＝xG＝1+3＝4，

∴G（4，3），F（4，0），

∴CF＝3﹣2＝1，

∴点C的坐标为（4，1）．

【点评】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．