辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则该函数图象的对称轴是（   ）

A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=0

2．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（  ）

A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD

3．用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，设用张铝片制作瓶身，则可列方程（    ）

A． B．

C． D．

4．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）

5．浙江省陆域面积为101800平方千米。数据101800用科学记数法表示为（     ）

A．1.018×104 B．1.018×105 C．10.18×105 D．0.1018×106

6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（　　）

A．2， B．2 ，π C．， D．2，

7．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（    ）

A． B． C． D．

8．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．﹣的相反数是（　　）

A．8 B．﹣8 C． D．﹣

10．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（  ）

A．120元 B．100元 C．80元 D．60元

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣(x+3)2+2的取值范围为_____________.

12．若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是_________.

13．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图，则化简：2|a+c|++3|a﹣b|=_____．

14．计算：_______________．

15．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π）

16．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于______．

17．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于，两点，过作直线与轴负方向相交成的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点.

（1）求直线的解析式；

（2）将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间.

19．（5分）解方程组.

20．（8分）（1）（﹣2）2+2sin 45°﹣

（2）解不等式组，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来．

21．（10分）如图，己知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结.

(1)求证：.

(2)若，求的长.

22．（10分）问题提出

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圆半径R的值；

问题探究

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；

问题解决

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．

23．（12分）计算：（π﹣3.14）0+|﹣1|﹣2sin45°+（﹣1）1．

24．（14分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B型号足球进价每只60元．

（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；

（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
由当x=-2和x=0时，y的值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出对称轴．

【详解】

解：∵x=-2和x=0时，y的值相等，

∴二次函数的对称轴为，

故答案为：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出对称轴是解题的关键．

2、D

【解析】
根据垂径定理判断即可．

【详解】

连接DA．

∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB．

∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD．

故选D．

【点睛】

本题考查的是垂径定理和圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

3、C

【解析】
设用张铝片制作瓶身，则用张铝片制作瓶底，可作瓶身16x个，瓶底个，再根据一个瓶身和两个瓶底可配成一套，即可列出方程.

【详解】

设用张铝片制作瓶身，则用张铝片制作瓶底，

依题意可列方程

故选C.

【点睛】

此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.

4、C

【解析】
根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．

【详解】

解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，

∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，

故选C．

【点睛】

考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．

5、B

【解析】

.

故选B.

点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.

6、D

【解析】

试题分析：连接OB，

∵OB=4，

∴BM=2，

∴OM=2，，

故选D．

考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．

7、B

【解析】
观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．

【详解】

选项A，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；

选项B，新图形是中心对称图形，故此选项正确；

选项C，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；

选项D，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；

故选B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．

8、C

【解析】
根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解．

【详解】

解:在同一平面内，

①过两点有且只有一条直线，故①正确；

②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；

③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，

综上所述，正确的有①③④共3个，

故选C．

【点睛】

本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．

9、C

【解析】

互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以的相反数是，

故选C．

10、C

【解析】
解：设该商品的进价为x元/件，

依题意得：（x+20）÷=200，解得：x=1．

∴该商品的进价为1元/件．

故选C．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、-23≤y≤2

【解析】
先根据a=-1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=-3，再根据-4≤x≤2，可知当x=-3时y最大，把x=2时y最小代入即可得出结论．

【详解】

解：∵a=-1，
∴抛物线的开口向下，故有最大值，
∵对称轴x=-3，
∴当x=-3时y最大为2，
当x=2时y最小为-23，
∴函数y的取值范围为-23≤y≤2，

故答案为：-23≤y≤2.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题关键．

12、2

【解析】
由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．

【详解】

∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n-2），解得：n=1．
这个正n边形的所有对角线的条数是：= =2．
故答案为2．

【点睛】

本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．

13、﹣5a+4b﹣3c．

【解析】
直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案．

【详解】

由数轴可得：a+c＜0，b-c＞0，a-b＜0，

故原式=-2（a+c）+b-c-3（a-b）

=-2a-2c+b-c-3a+3b

=-5a+4b-3c．

故答案为-5a+4b-3c．

【点睛】

此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确化简是解题关键．

14、

【解析】
先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.

【详解】

2-=.

故答案为.

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．

15、πcm1．

【解析】
求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．

【详解】

解：∵AB长为15cm，贴纸部分的宽BD为15cm，

∴AD=10cm，

∴贴纸的面积为S=S扇形ABC﹣S扇形ADE=（cm1），

故答案为πcm1．

【点睛】

本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．

16、

【解析】

试题分析：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可得BE∥CF，易证△BGD≌△CFD，所以GD=DF，BG=CF；又因BE是△ABC的角平分线且AD⊥BE，BG是公共边，可证得△ABG≌△DBG，所以AG=GD=3；由BE∥CF可得△AGE∽△AFC，所以，即FC=3GE；又因BE=BG+GE=3GE+GE=4GE=6，所以GE=，BG=；在Rt△AFC中，AF=AG+GD+GF=9，CF=BG=，由勾股定理可求得AC=.

考点：全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.

17、2

【解析】
根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.

【详解】

由题意得，（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）=6，

整理得，3x+3=6，

解得，x=2，

故答案为2．

【点睛】

本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）直线的解析式为：.（2）平移的时间为5秒.

【解析】
（1）求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．

（2）设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．

在直角△O1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出O1D1，进而求出D1D的长，得到平移的时间．

【详解】

（1）由题意得，

∴点坐标为.

∵在中，，

，

∴点的坐标为.

设直线的解析式为，

由过、两点，

得，

解得，

∴直线的解析式为：.

（2）如图，

设平移秒后到处与第一次外切于点，

与轴相切于点，连接，.

则，

∵轴，∴，

在中，.

∵，

∴，

∴（秒），

∴平移的时间为5秒.

【点睛】

本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的．

19、或．

【解析】
把y=x代入,解得x的值，然后即可求出y的值；

【详解】

把(1)代入(2)得：x2+x﹣2＝0，

(x+2)(x﹣1)＝0，

解得：x＝﹣2或1，

当x＝﹣2时，y＝﹣2，

当x＝1时，y＝1，

∴原方程组的解是或．

【点睛】

本题考查了高次方程的解法，关键是用代入法先求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．

20、（1）4﹣5；﹣＜x≤2，在数轴上表示见解析

【解析】
（1）此题涉及乘方、特殊角的三角函数、负整数指数幂和二次根式的化简，首先针对各知识点进行计算，再计算实数的加减即可；

（2）首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．

【详解】

解：（1）原式=4+2×﹣2×3=4+﹣6=4﹣5；

（2），

解①得：x＞﹣，

解②得：x≤2，

不等式组的解集为：﹣＜x≤2，

在数轴上表示为：

．

【点睛】

此题主要考查了解一元一次不等式组，以实数的运算，关键是正确确定两个不等式的解集，掌握特殊角的三角函数值．

21、（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）由题意推出再结合，可得△BHE～△BCO.

（2）结合△BHE～△BCO ，推出带入数值即可.

【详解】

（1）证明：∵为圆的半径，是的中点，

∴,,

∵,

∴，

∴,

∴,

∵,

∴, 

∴,

又∵,

∴∽．

（2）∵∽，

∴,  

∵，,

∴得，

解得，  

∴.

【点睛】

本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形.

22、（1）△ABC的外接圆的R为1；（2）EF的最小值为2；（3）存在，AC的最小值为9．

【解析】
（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．证明∠AOC=90°即可解决问题；

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短；

（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE=CD=x．证明EC=AC，构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题．

【详解】

解：（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．

∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣10°＝45°，

又∵∠AOC＝2∠B，

∴∠AOC＝90°，

∴AC＝1，

∴OA＝OC＝1，

∴△ABC的外接圆的R为1．

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．

∵AC＝8，∠C＝45°，

∴AH＝AC•sin45°＝8×＝8，

∵∠BAC＝10°，

∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，

根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，

如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．

∵∠EOF＝2∠BAC＝20°，OE＝OF，OH⊥EF，

∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，

∴EH＝OF•cos30°＝4•＝1，

∴EF＝2EH＝2，

∴EF的最小值为2．

（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．

∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，

∴EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，

∴EC的值最小时，AC的值最小，

∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，

∴∠∠BEC+∠BCE＝10°，

∴∠EBC＝20°，

∴∠EBH＝10°，

∴∠BEH＝30°，

∴BH＝x，EH＝x，

∵CD+BC＝2，CD＝x，

∴BC＝2﹣x

∴EC2＝EH2+CH2＝（x）2+＝x2﹣2x+432，

∵a＝1＞0，

∴当x＝﹣＝1时，EC的长最小，

此时EC＝18，

∴AC＝EC＝9，

∴AC的最小值为9．

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．

23、

【解析】
直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案．

【详解】

原式

．

【点睛】

考核知识点：三角函数混合运算.正确计算是关键.

24、（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元.

【解析】
（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；

（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可.

【详解】

解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

∴ 40x +60（100-x）=5200  ,

解得：x=40 ,

∴100-x=100-40=60个,

答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．

（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

100-x≥ ,

解得：x≤60 ,

设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,

∵k=-20，∴y随x的增大而减小,

∴当x=60时，y最小=4800元.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.