辽宁省沈阳市第一三四中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

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2022-2023学年辽宁省沈阳134中九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每小题2分）
1．（2分）对于一元二次方程2x2﹣3x+1＝0，根的判别式b2﹣4ac中的b表示的数是（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．1
2．（2分）若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2分）如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（　　）

A． B． C． D．
4．（2分）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（　　）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
5．（2分）下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．邻边相等的矩形是正方形
6．（2分）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，3）
B．图象分别位于第一、三象限
C．图象关于原点对称
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
7．（2分）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
8．（2分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm2，那么通道宽应设计成多少m？设通道宽为xm，则由题意列得方程为（　　）

A．（30﹣x）（20﹣x）＝78 B．（30﹣2x）（20﹣2x）＝78
C．（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78 D．（30﹣2x）（20﹣2x）＝6×78
9．（2分）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　）

A．甲与丙相似，乙与丁相似
B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似
D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
10．（2分）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω），图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）（　　）

A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1
二．填空题（每小题3分）
11．（3分）一元二次方程x2＝7x的解是 　 　．
12．（3分）若某人沿坡度i＝1：2的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高 　 　m．
13．（3分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，则AO：OD＝　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，则k的值为 　 　．

15．（3分）如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，此时，树的影子有一部分映在地面上，墙上的影子高为4米，那么这棵树高约为 　 　米．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，点E为AC上任一点，使点A落在点D处，连接AD、CD．若△ACD是直角三角形　 　．

三．解答题
17．（6分）解方程（2x+1）（x+2）＝3．
18．（8分）计算：（﹣1）2010×（ ）﹣3+（sin58°﹣）0+|﹣4cos60°|
19．（8分）“马拉松竞赛”的个人竞赛项目共有三项：A．“马拉松”，B．“半程马拉松”，C．“迷你马拉松”．小王和小李参加了该赛事的志愿者服务工作
（1）求小王被分配到“迷你马拉松”项目组的概率；
（2）请用画树状图或列表法的方法，求出小王和小李被分到不同项目组的概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AD及其延长线上，连接BE，CF．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若BD＝4，BE＝5，求四边形EBFC的面积．

21．（8分）某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了169万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
22．（10分）如图已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求出△ABC的面积．
（3）直接写出该二次函数图象的顶点坐标．

23．（10分）如图，直线y＝x+2分别交x、y轴于点A、C，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求反比例函数解析式；
（3）在第一象限内，直接写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．

24．（12分）如图，以点O为坐标原点的平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，A（2，0），动点F从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点F作FM⊥OC于点M（点F不与点O、B重合），边FQ交射线OC于点Q．设点F的运动时间为t秒，（t＞0）
（1）如图1．
①求AB的长；
②连接AF，当AF平分∠OAB时，求点F的坐标；
（2）设△QMF与△OBC重叠部分图形的面积为S，当S＝时，直接写出点Q的纵坐标；
（3）当线段FQ的垂直平分线经过△OBA一边中点时，直接写出t的值．


25．（12分）菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，CD上，请直接写出CE，CA三条段段之间的数量关系；
（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，请直接写出BE的长．


参考答案与试题解析
1．【解答】解：根据题意得b＝﹣3．
故选：C．
2．【解答】解：∵＝，
∴＝+8＝．
故选：A．
3．【解答】解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，
故选：D．
4．【解答】解：y＝﹣3（x﹣1）5的图象是由y＝﹣3x2向右平移2个单位得到的，
故选：B．
5．【解答】解：A、正确；
B、正确；
C、错误；
D、正确；
故选：C．
6．【解答】解：A．当x＝1时＝3，3），不合题意；
B．k＝5＞0、三象限，不合题意；
C．反比例函数的图象关于原点成中心对称，不合题意；
D．k＝3＞7、三象限内，所以当x＜0时，故说法错误；
故选：D．
7．【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得a＝12．
经检验：a＝12是原分式方程的解，
所以a的值约为12，
故选：B．
8．【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，
故选：C．
9．【解答】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
10．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤3时，则≤7，
∴R≥2，
故选：C．
11．【解答】解：x2﹣7x＝8，
x（x﹣7）＝0，
x＝6或x﹣7＝0，
所以x7＝0，x2＝7．
故答案为：x1＝0，x5＝7．
12．【解答】解：设BC＝x，AB＝2x，
则AC2＝AB3+BC2，
AC＝＝x＝10，
∴x＝10，
故所在的位置比原来的位置升高了10m．
故答案为：10．

13．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，
∴AO：OD的值为：4：3，
故答案为：3：3．
14．【解答】解：连接OC，如图，

∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△AOB＝6，
而S△AOC＝|k|＝8，
又∵k＞0，
∴k＝12．
故答案为：12．
15．【解答】解：过点A作AF∥DE交CD于点F，
则DF＝AE＝4米，△CAF∽△C′CD′．
∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：4＝CF：6．
∴CF＝4米．
∴DC＝4+4＝8（m）．
即：这棵树高8米．
故答案为：8．

16．【解答】解：如图，当∠ACD＝90°．

由翻折可知：BD＝AB＝8，AE＝DE，则EC＝6﹣x，
∵∠T＝∠DCE＝∠BDE＝∠BAC＝90°，
∴四边形ABTC是矩形，
∴BT＝AC＝6，
∵∠BDT+∠TBD＝90°，∠BDT+∠CDE＝90°，
∴∠TBD＝∠CDE，
∴△BTD∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝x，
在Rt△CDE中，∵DE2＝CD2+EC2，
∴x2＝（8﹣x）2+（x）2，
解得x＝或（舍弃），
∴AE＝，
当∠ADC＝90°，易证AE＝EC＝3，

故答案为或8．
17．【解答】解：（2x+1）（x+7）＝3，
整理得：2x3+5x﹣1＝8，
∵Δ＝52﹣2×2×（﹣1）
＝25+8
＝33＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
18．【解答】解：原式＝1×8+4+|﹣4×＝11﹣．
19．【解答】解：（1）小王被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；

（2）设三种赛事分别为2，2，3，列表得：
 
4
2
3
8
（1，1）
（7，1）
（3，2）
2
（1，8）
（2，2）
（2，2）
3
（2，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有6种，小王和小李被分配到不同项目组的情况有6种，
∴小王和小李被分到不同项目组的概率为＝．
20．【解答】（1）证明：∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CE∥BF，
∴∠DBF＝∠ECD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴CE＝BF，
又∵CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵四边形BFCE是平行四边形，
∴四边形BFCE是菱形．

（2）解：在Rt△BDE中，BE＝5，
∴DE＝＝3，
∵四边形BECF是菱形，
∴EF＝2DE＝6，BC＝2BD＝8，
∴菱形BECF的面积＝×6×8＝24．
21．【解答】解：（1）125×（1﹣20%）
＝125×80%
＝100（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.6＝30%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为30%．
22．【解答】解：（1）把A（2，0），﹣7）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x7+4x﹣6．

（2）∵该抛物线图象的对称轴为直线x＝﹣＝4，
∴点C的坐标为（4，3），
∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝6，
∴S△ABC＝AC•OB＝．

（3）∵y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣7）2+2，
∴顶点为（6，2）．
23．【解答】解：（1）在y＝x+7中，则x+3＝0，
解得x＝﹣4，
令x＝6，则y＝2，
∴A（﹣4，7），2）；
（2）∵A（﹣4，6），2），
∴AO＝4，OC＝6，
又∵S△ABP＝9，
∴AB•BP＝18，
又∵PB⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴＝即＝，
∴2BP＝AB，
∴2BP5＝18，
∴BP2＝9，
∴BP＝6，
∴AB＝6，
∴P点坐标为（2，2）；
设反比例函数的解析式为y＝，
把点P的坐标代入，得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞7．
24．【解答】解：（1）①如图1，∵四边形OABC是矩形，0），
∴∠OAB＝90°，OA＝8，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OB＝2OA＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴AB的长是2．
②作FD⊥OA于点D，则∠ADF＝∠ODF＝90°，
∵AF平分∠OAB，
∴∠DAF＝∠BAF＝∠OAB＝45°，
∴∠DFA＝∠DAF＝45°，
∴FD＝AD，
∵∠DOF＝60°，
∴∠DFO＝30°，
∴OF＝8OD，
∴FD＝＝＝OD，
∴AD＝OD，
∴OD+OD＝7，
解得OD＝﹣1，
∴FD＝（﹣1）＝6﹣，
∴点F的坐标为（﹣4）．
（2）∵OC＝AB＝2，BC＝OA＝2，
∴C（0，8），B（2，2），
∵FM⊥OC，
∴∠FMQ＝∠FMO＝90°，
∵FM＝FM，∠MFQ＝∠MFO，
∴△MFQ≌△MFO（ASA），
∴QF＝OF，QM＝OM，
如图2，点Q与点C重合，
∴CM＝OM＝OC＝，
∴∠FMO＝∠BCO＝90°，
∴FM∥BC，
∴＝＝5，
∴BF＝OF，
∴FM＝BC＝4，
∴S＝××1＝，
∵OQ＝OC＝2，
∴点Q的纵坐标为5；
如图3，点Q在OC的延长线上，
∵QF＝OF＝3t，
∴FM＝OF＝t，
∴QM＝OM＝＝＝t，
∴OQ＝6t，
∴QC＝2t﹣2，
∵∠KCQ＝180°﹣∠BCO＝90°，∠KQC＝30°，
∴KQ＝3CK，
∵KQ2﹣CK2＝（2CK）2﹣CK2＝7CK2＝QC2，
∴CK＝QC＝t﹣2，
由S＝得t×（2t﹣3）（2）＝，
整理得8t2﹣8t+5＝0，
解得t1＝，t2＝7（不符合题意，舍去），
∴OQ＝2×＝，
∴点Q的纵坐标为，
综上所述，点Q的纵坐标为4或．
（3）如图4，FQ的垂直平分线分别交x轴、OB于点G、J、I，
∵∠JOG＝∠JIQ＝90°，
∴∠AGH＝∠GJQ﹣∠JOG＝∠GJQ﹣∠JIQ＝∠FQM＝30°，
∵AH＝AB＝
∴GH＝2AH＝AB＝2，∠AHG＝60°，
∴∠OIG＝∠BIH＝∠AHG﹣∠ABO＝30°＝∠AGH，
∴OI＝OG，
∵AG＝＝＝7，
∴OI＝OG＝AG﹣OA＝1，
连接IQ，则IQ＝IF，
∴∠QIG＝∠OIG＝30°，
∴∠OIQ＝60°，
∴△FIQ是等边三角形，
∴IF＝QF＝OF＝OI＝，
∵4t＝，
∴t＝；
如图5，FQ的垂直平分线与OB的交点I为OB的中点，
∴OI＝AB＝2，
同理可得∠OGI＝∠FQM＝30°，IQ＝IF，
∴∠OIG＝∠AOB﹣∠OGI＝30°，
∴∠QIG＝∠OIG＝30°，
∴∠OIQ＝60°，△FIQ是等边三角形，
∴IF＝QF＝OF＝OI＝1，
∵2t＝1，
∴t＝，
综上所述，t的值为或．





25．【解答】解：（1）如图①中，结论：CA＝CE+CF．

理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵∠DAC＝∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝∠CAE，
∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°，
∴△ADF≌△ACE（ASA），
∴DF＝CE，
∴CE+CF＝CF+DF＝CD＝AC，
∴CA＝CE+CF．

（2）结论：CF﹣CE＝AC．
理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G．

∵∠GOC＝∠FOE＝60°，
∴∠FOG＝∠EOC，
∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°，
∴△FOG≌△EOC（ASA），
∴CE＝FG，
∵OC＝OG，CA＝CD，
∴OA＝DG，
∴CF﹣EC＝CF﹣FG＝CG＝CD+DG＝AC+AC＝，

（3）作BH⊥AC于H．∵AB＝6，
∴BH＝3，
如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点E在线段BC上时．

∵OB＝2，
∴OH＝＝6，
∴OC＝3+1＝7，
由（1）可知：CO＝CE+CF，
∵OC＝4，CF＝1，
∴CE＝4，
∴BE＝6﹣3＝6．

如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点E在线段BC上时．


由（2）可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝4+5＝5，
∴BE＝1．
如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点E在线段BC上时．

同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝6，CF＝1，
∴CE＝1，
∴BE＝2﹣1＝5．
如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点E在线段BC上时．

同法可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝2+1＝5，
∴BE＝3，
综上所述，满足条件的BE的值为3或8或1