江西省赣州市章贡区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

2021—2022学年第一学期期中考试

九年级数学试题

一、选择题（每题3分，共18分）

1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（   ）           

A．   B．

 C．   D．

3. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到

△A1B1C，连接AA1，若∠AA1B1＝15°，则∠B的度数是（    ）

A．75°      B．60°      C．50° D．45° 

4. 若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是（   ）

 A．9       B．10           C．9或10          D．7或10

5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（  ）

 A．   B．   C．   D．

6. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为

直线x＝2，下列结论：

(1)4a+b＝0；(2)4a+c＞2b；(3)5a+3c＞0；

(4)方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c＝0的两根是．

其中正确的结论有(   )

A. 1个     B. 2个      C. 3个        D. 4个

二、填空题（每题3分，共18分）

7. 点（4，-1）关于原点对称的点的坐标是　　       ．

8. 已知m是方程的一个根，则代数式2m2-4m+2020的值为            ．

9. 若点A（﹣2，）、B（1，）和C（4，）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的三点，则，，的大小关系为            .    

10. 如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．

11. 如图，在中，，，把绕点顺时针旋转得到，若点恰好落在边上处，则______°．

12. 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为                    度时，△AOD是等腰三角形？

三、（每题6分，共30分）

13. 解方程（1）（x﹣5）2＝2x﹣10

（2）如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．若BP=3cm，求线段PE的长．

14.已知关于x的一元二次方程（m为常数）

（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若满足，求实数k的值．

15. 如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形）．

（1）在图①中，画一个等边三角形；       （2）在图②中，画一个等腰直角三角形．

16. 某生产厂生产口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.   

（1）求口罩日产量的月平均增长率；  

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

17. 如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点．

（1）求二次函数的表达式．

（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围．

四、（每题8分，共24分）

18. 如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．

（1）求证：△BDE≌△BCE；

（2）试说明四边形ABED为菱形．

19. 已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长。

（1）如果x=-1是方程的解，试判断△ABC的形状，并说明理由

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根

20. 在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，- 4），B（4，-2）.C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．

（1）填空：C点的坐标是　　　，△ABC的面积是　　  　　

（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1， 则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？___________________．

（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

五、（每题9分，共18分）

21. 某矩形工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

（1）若丝绸花边的面积为768cm2，求丝绸花边的宽度．

（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/

件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价

每降低2元，每天可多售出40件，设销售单价降低元/件（

为偶数），每天的销售量为件.

①直接写出与的函数关系式                .

②设每天的销售利润为W元，为了让利于顾客，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？

22.如图1，在RtΔABC中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．

（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；

（2）探究证明:把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、、，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸:把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

六、（共12分）

23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

（1）求的值；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“ “形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．

章贡区2021—2022学年度第一学期期中考试

九年级数学参考答案和评分要求

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）

1． B  2．A  3． B   4． A    5. D    6．C

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7 . （-4，1） ;   8．2022； 9．>>； 10.  10；  11．100 

12．110°或125°或140°．（每对一个给1分） 

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. （1）（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0

（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝0 ……1分 

            x﹣5＝0或x﹣7＝0    ……2分

∴．   ……3分

（2）解∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，

∴BP=BE=3cm，∠ABC为旋转角，……1分

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，即旋转的角度是90度；……2分

∠PBE=∠ABC=90°，

∴PE3cm．……3分

14．解（1）证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，

∵无论m为何值时m2≥0，

∴m2+4≥4＞0，

即△＞0，

所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.……………………2分

（2）∵关于x的方程有两个实数根

∴=m+2，=m．

∴（m+2）2﹣2m=16+m， ……………………4分

即m2+m﹣12=0，

解得：m=﹣4或m=3

∴实数m的值为﹣4或3．                    ……………………6分

15.  解：（1）如图①中，延长EB交AC的延长线于F．△ABF即为所求．

    ………………3分

（2）如图②中，连接AD交EB于H，△EDH即为所求．

   ………………3分                             

16. （1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，

根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，      ……………………2分

解得   

答：口罩日产量的月平均增长率为10%        ……………………4分

（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.

答：预计4月份平均日产量为39930个         ……………………6分

17.解（1）将点A（﹣1，0）、B（2，﹣3）代入y2=ax2+bx﹣3，

     ……………………2分

∴a=1，b=﹣2， 

∴y2=x2﹣2x﹣3；   ……………………4分

（2）由图象可得，y1＞y2时，﹣1＜x＜2．……………………6分

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.解：（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，

∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，

∵AB⊥EC，

∴∠ABC=90°，

∴∠DBE=∠CBE=30°，    …………2分

在△BDE和△BCE中，

∵在△BDE和△BCE中，

∵，

∴△BDE≌△BCE；     …………4分

（2）由（1）得△BDE≌△BCE，

∵△BAD是由△BEC旋转而得，

∴△BAD≌△BEC，     

∴BA=BE，AD=EC=ED， …………6分

又∵BE=CE，

∴BA=BE=ED= AD    

∴四边形ABED为菱形．  …………8分

19.解：(1)把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，可得a=b，

∴△ABC是等腰三角形    .……………………2分

(2)∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=(2b)2-4(a+c)×(a-c)=0，即4b2- 4（a2-c2）=0   ……………………3分

可得b2+c2=a2，   ……………………4分

∴△ABC是直角三角形.     ……………………5分

(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.          ……………………6分

∴原方程变为：2ax2+2ax=0.        ……………………7分

∵a≠0，∴x2+x=0.

∴x1=0，x2=-1.   ……………………8分

20.解：（1）（1，-1）； 4 ； ………………2分

（2）  矩形，  ………………3分

（3）存在.      ………………4分

由（1）知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8．同（1）中的方法得S△ABO=16-4-4-2=6．…………5分

当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；…………6分

当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，-2）．…………7分

而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP

故点P的坐标为（-1，0），（0，-2）．     ………………8分

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 解（1）设丝绸花边的宽度为x cm，

由题意得：     ………………………1分

即， 

解得或（舍去），  ………………………2分

答：丝绸花边的宽度为6cm；     ………………………3分

（2）解：①y=200+20x；  …………4分

②依题意得每天的销售利润为W=（200+20x）（100-40-x）= -20（x-25）2+24500   ……5分

故当x=25时，最大销售利润为W=24500，  

∵为偶数，

∴当x=24或x=26时，有最大利润   ……6分

为了让利于顾客，

∴x=26，符合题意，此时w=24480  ……7分 

故销售单价定为100-26=74，   ……8分

答：每件商品的销售单价定为74元时，每天获得的利润最大，最大利润是24480元．……9分

22.解：（1） ，    ………………2分

（2）结论：是等腰直角三角形．  ………………3分

证明：由旋转知，

∵，

∴

∴，

∵由三角形中位线的性质可知，，

∴

∴是等腰三角形    ………………4分

∵同（1）的方法得，、

同（1）的方法得， 、

∴

∴

      ………………5分

∵

∴

∴

∴是等腰直角三角形；   ………………6分

（3）．    ………………9分

解析：∵由（2）得，是等腰直角三角形，

∴最大时，的面积最大

∴且在顶点上面时，，连接AM，AN，如图：

∵在中，，

∴

∵在中，，

∴

∴

∴．

六、解答题（本大题共12分）

23. 解：（1）直线，令，则，令，则，

故点、的坐标分别为、，  ………………1分

将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：， 解得：，…2分

；       ………………3分

（2）存在               ………………4分

由（1）可得抛物线的表达式为：，则点坐标为，顶点的坐标为 

要使C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，分三种情况讨论：

①当时，

点纵坐标为中点的纵坐标相同为，

故此时点坐标为；        ………………5分

②当时，∵C，P∴CP=

可得：点的坐标为或； ………………6分

③当时，过CP中点且与垂直的直线方程为：，

当时，，即点的坐标为；   ………………7分

故：点的坐标为或或或；  ………………8分

（3）图象翻折后的点对应点的坐标为，  ………………9分

①在如图所示的位置时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，

此时、、三点共线，；    ………………10分

②当直线与翻折后的图象只有一个交点时，

此时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点；而向下翻折（在1≤x≤3）的那部分抛物线在翻折后的解析式为：

即：，△，解得：．………………11分

即：或．    ………………12分