高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理一课一练

空间向量中的平行问题

设空间两条直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：

类型一空间向量证明线面平行

例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

[证明]　证法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，

于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)．

设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．

则n·＝0，且n·＝0，∴，

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．

又·n＝·(1，－1，－1)＝0，

∴⊥n，∵MN⊄平面A1BD，

∴MN∥平面A1BD．

证法二：∵＝－＝－

＝(－)＝，

∴∥，又∵MN⊄平面A1BD．

∴MN∥平面A1BD．

证法三：由证法二知，＝＋0·，

即可用与线性表示，故与，是共面向量．

∴∥平面A1BD，又MN⊄平面A1BD，即MN∥平面A1BD．

『规律总结』　证明直线l∥平面α的方法：

(1)可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0；

(2)可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可；

(3)在平面α内若能找到两点A，B，直线l的方向向量n∥，则l∥α．

类型二 空间向量证明面面平行

例2　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求

证：平面A1BD∥平面CD1B1.

[思路分析]　按照两平面平行的条件，要证明平面A1BD∥平面CD1B1，只需证明两个平面的法向量平行．

[证明]　以D为原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，

∴＝(－1，0，－1)，＝(0，1，－1)，

＝(1，1，0)，＝(0，1，－1)，

设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则⇒，

令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1．

∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．

设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则⇒，

令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，

∴n2＝(－1，1，1)．∴n1＝n2，即n1∥n2．

∴平面A1BD∥平面CD1B1．

练习：

1．两个不重合平面的法向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则这两个平面的位置关系是(　A　)

A．平行  B．相交不垂直

C．垂直  D．以上都不对

[解析]　∵v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，

∴v2＝－2v1，∴v1∥v2，

∴两个平面平行．

2.直线l的方向向量为a＝(2，－1，1)，平面α的法向量为e＝，则l与α的位置关系为______.

[解析]　∵a＝(2，－1，1)，e＝(，0，－1)，

∴a·e＝(2，－1，1)·(，0，－1)

＝2×－1×0－1×1＝0．

∴a⊥e，所以l∥α或l⊂α．

3．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM：MA＝BN：ND＝5：8．

求证：直线MN∥平面PBC．

[证明]　＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋

＝－(－)＋＋(＋)

＝－＋＝－，

∴与，共面，∴∥平面BCP，

∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP．

4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．

[解析]　由题设知：在Rt△AFD中，

AF＝FD＝，

A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(0，，0)，D(－，，0)，

P(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1－，，0)．

＝(1－，，－1)，＝(0，，－2)．

＝(－，，－2)

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒

令z＝，得n＝(0，4，)．

因为·n＝(1－，，－1)·(0，4，)＝0，

又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．

5．已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC．

[证明]　证法一：如图．

设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c，

设平面DEF的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，

∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0，

∴n·＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥，n⊥，

∴n是平面ABC的法向量，

∴平面DEF∥平面ABC．

证法二：设＝a，＝b，＝c，则＝2a，＝2b，＝2c，

∴＝b－a，＝c－a，＝2b－2a，＝2c－2a，

对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x，y)，使e＝x＋y＝x(2b－2a)＋y(2c－2a)＝2x(b－a)＋2y(c－a)＝2x＋2y，∴e与，共面，

即e∥平面DEF，

∴l⊄平面DEF，∴l∥平面DEF．

由l的任意性知，平面ABC∥平面DEF．