（人教A版2019选择性必修第一册）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）

这是一份（人教A版2019选择性必修第一册）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）
专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一 直线与平面所成的角1．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．2．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．3．（2020•天津）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．4．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．5．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．题型二 二面角的平面角及求法6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．10．（2021•北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．11．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．12．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．15．（2020•江苏）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．17．（2019•天津）如图，平面，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小．19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．21．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．