高中第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用课堂检测

                          空间向量的数量积

1．如图，平行六面体中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

,.故选：D

2．如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．

【答案】

【解析】平行六面体中，

，，，，，

．

．故答案为：．

3．如图，M，N分别是四面体的棱的中点，P，Q是的三等分点．

（1）用向量 ，，表示和．

（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．

【答案】（1）,（2）.

【解析】（1），

∴

（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，

.

4．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

解：（1），

又，

同理可得，

则．

（2）因为，

所以，

因为，

所以．

则异面直线与所成角的余弦值为．

5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________.

【答案】

【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，

则，，

.

又，，

所以

而，

，

所以.

故答案为：.

6.如图3­1­22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

图3­1­22

【答案】

【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，

所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.

∴||＝，即E，F间的距离为.

7.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．

【答案】2

【解析】∵＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，

∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.