2021学年1.2 空间向量基本定理同步达标检测题

向量基本定理的运用

1．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内．

【答案】（1），，共面   （2）点在平面内．

【解析】

（1）如图，为的重心），

为的三等分点），

设中点为，

则，

可知在上，且为的重心，

故知共面；

（2）由（1）知共面且过同一点.

所以四点共面，从而点在平面内．

2．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．

【答案】

【解析】如图所示,将直三棱柱补成直四棱柱,

连接,则,所以或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．

因为,

所以, .

在中,,

所以

所以

故答案为:

3．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离．

【答案】或

4.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

【答案】见解析

【解析】连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，

又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.

又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b.

∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥，即OG⊥BC．