初中人教版12.3 角的平分线的性质同步测试题

《角的平分线的性质》练习

一、选择——基础知识运用

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

A． 1     B． 2     C．3     D．4

2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）

A．M点     B．N点     C．P点     D．Q点

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=20厘米，BD=12厘米，则点D到AB的距离是（     ）

A．7.5cm     B．8cm     C．12cm     D．12.5cm

4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ）

A．三条中线的交点

B．三条高的交点

C． 三条边的垂直平分线的交点

D． 三条角平分线的交点2

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11     B．5.5     C． 7     D．3.5

6．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（　　）

A． 射线OE是∠AOB的平分线

B． △COD是等腰三角形

C．C、D两点关于OE所在直线对称

D． O、E两点关于CD所在直线对称

二、解答——知识提高运用

7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。

8． 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF=DG。

9．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF。

求证：

（1）PE=PF；

（2）点P在∠BAC的角平分线上。

10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，

①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。

②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

参考答案

一、选择——基础知识运用

1．【答案】B

【解析】过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，

∴PA=PQ=2，

故选B。

3．【答案】B

【解析】过点D作DE⊥AB于E，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴CD⊥AC，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴DE=CD，

∵BC=20厘米，BD=12厘米，

∴CD=BC-BD=8厘米，

∴DE=8厘米，

即点D到AB的距离是8cm．

故选B。

4．【答案】D

【解析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，

所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点。

故选D。

5．【答案】B

【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵在△AED和△AMD中

AE=AM

AD=AD

DE=DM，

∴△AED≌△AMD（SSS），

∴S△ADE=S△ADM，

∵DE=DG，DM=DE，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中， 

DN=DF

DM=DE，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，

S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×11=5.5

故选B．

6．【答案】D

【解析】A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．

∵在△EOC与△EOD中，

OC=OD

CE=DE

OE=OE，

∴△EOC≌△EOD（SSS），

∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；

B、根据作图得到OC=OD，

∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；

C、根据作图得到OC=OD，

又∵射线OE平分∠AOB，

∴OE是CD的垂直平分线，

∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；

D、根据作图不能得出CD平分OE，

∴CD不是OE的平分线，

∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意。

故选D。

二、解答——知识提高运用

7．【答案】∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF，

∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，

∴S△ABC= AB•DE+ AC•DF=28，

即×20×DE+ ×8×DF=28，

解得DE=2cm。

8．【答案】∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

在△ABD和△CBD 中，

AB=AC

∠ABD=∠CBD

BD=BD，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠BDC，

∴∠AED=∠CED，

又∵DF⊥AE，DG⊥EC，

∴DF=DG。

9．【答案】（1）如图，连接AP并延长，

∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴∠AEP=∠AFP=90°

又AE=AF，AP=AP，

∵在Rt△AFP和Rt△AEP中

AP=AP

AE=AF

∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），

∴PE=PF．

（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，

∴∠EAP=∠FAP，

∴AP是∠BAC的角平分线，

故点P在∠BAC的角平分线上。

10．【答案】　①相等，

过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=∠BAC=15°，

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

在△DMF和△ENF中，

∠DMF=∠ENF；∠NEF=∠MDF；MF=FN，

∴△DMF≌△ENF（AAS），

∴FE=FD；

②成立．

过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四边形BNFM是圆内接四边形，

∵∠ABC=60°，

∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，

∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠ABC）=180°-（180°-60°）=120°，

∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠NFE，

在△DMF和△ENF中，

∠DFE=∠MFN；MF=FN；∠DFM=∠NFE

∴△DMF≌△ENF（ASA），

∴FE=FD。