江西省上饶市重点中学2020-2021学年高一上学期期中考试——数学（理）试题

高一数学试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 若集合，，则（       ）

A. B. C. D.

2．已知函数，则等于（    ）．

 A．    B．    C．    D．

3．函数的零点所在一个区间是（    ）．

 A．   B．  C．   D．

4.下列各组函数中，表示为同一个函数的是（     ）

A. 与     B. 与

C.     D. 与（且）

5.若，则三个数的大小关系是（    ）

A.     B.     C.  D.

6.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）

A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

7. 已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1]，则函数的定义域是（    ）

A.     B.  

C.      D.

8. 若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（       ）

A.    B.     C.    D.

9.已知且，则实数的值为（    ）

A. 6    B. 18    C. 12   D. 9

10.函数在区间上为减函数，则的取值范围为（    ）

A.     B.      C.    D.

11．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ）．

 A．   B．   C．  D．以上都不对

12.已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（     ）

A.     B.     C. D.

二、填空题
13. 函数(且)的图象恒过的定点是______.

14.设A，B是非空集合，定义．已知集合 ， ，则AB＝________.

15. 若函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是单调减函数.如果实数t满足时，那么t的取值范围是______.

16．设定义域为的函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是____________．

三、解答题
17．（本小题满分分）计算：

（）

（）

18. （本小题满分12分）已知函数f（x）的定义域为A，

函数g（x）（﹣1≤x≤0）的值域为B．

（1）求A∩B；

（2）若C＝{x|a≤x≤2a﹣1}且C⊆B，求a的取值范围．

19．（本小题满分分）已知函数．

（）判断并证明函数的奇偶性．

（）判断并用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集．

20．（本小题满分12分）已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）求函数在区间上的最小值．
 

21．（本小题满分12分）某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为0.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间（单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间（天）之间的关系满足图2．原则上，单件珠宝的加工时间不能超过天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算．

（1）如果每件珠宝加工天数分别为5，13，预计销量分别会有多少件？

（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为（万元），请写出纯利润（万元）关于加工时间（天）之间的函数关系式，并求纯利润（万元）最大时的预计销量．

注：毛利润＝总销售额 — 原材料成本，纯利润＝毛利润 — 工人报酬．

22．（本小题满分12分）如果函数在定义域内存在区间，使得该函数在区间上的值域为[a2,b2]，则称函数是该定义域上的“和谐函数”.

（1）判断函数是不是“和谐函数”，并说明理由；

（2）若函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

高一数学试卷答案

1. 【答案】A【解析】【分析】先求,再求出得解.

【详解】集合，则或

而，则.故选：A.

2．【答案】C【解析】∵，∴，
∴．故选C．

3．【答案】B【解析】∵函数单调递增，且，，

∴，∴函数在内存在唯一的零点．故选．
4.【答案】D【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.

【详解】对于，定义域为， 定义域为R，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，A错；

对于，函数，定义域为，函数的定义域为R， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，B错；

对于，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同不是同一函数；

对于，，（且），两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以两个函数表示同一个函数.故选：

5.【答案】A【解析】【分析】利用指数，对数函数的单调性即可判断出大小关系.

【详解】解：，，，

所以，故选：A.

6.【答案】D【解析】解：因为y=lnx的图象只要向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可以得到y=ln(x-3)-1=,选择D.
 

7. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得出，解出该不等式组可得出函数的定义域.【详解】由于函数的定义域为，由题意得，解得且，

因此，函数的定义域是，故选：B.

8. 【答案】C【解析】【分析】先求出，再解不等式得解.

【详解】设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，

∴，∴，∴的定义域为，且单调递增，

∵等价于，解得，∴的解集为.
故选：C.

9.【答案】B【解析】【分析】由，知，利用对数的运算性质代入运算，由此能求出.

【详解】解：∵，，，
，，.
故选：B.

10.【答案】D【解析】【分析】根据取值讨论是否为二次函数，然后根据二次函数的性质建立不等关系，最后将符合条件的结果求并集．

【详解】解：当时，，符合题意
当时，要使函数在区间上为减函数
，综上所述，故选：D．

11．【答案】C【解析】∵，∴，∴．

当时，，，得．

当时，．满足题意．

当时，

得．∴．故选C．

12.【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，设，设，可得出直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，利用对称性得出的值，并结合图象得出实数的取值范围，从而可得出的取值范围，由此得出的取值范围.

【详解】作出函数的图象，设，设，

由图象可知，当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，

二次函数的图象关于直线对称，则，

由于，即，得，解得，

.因此，的取值范围是.故选：C.

13. 【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，令，即可求出所过定点.【详解】令，求得，，

可得函数(且)的图象恒过的定点，故答案为:.

14.【答案】{0}∪ [2，＋∞)【解析】由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．

15. 【答案】

【解析】【分析】由题意知原不等式可化为，即，根据单调性可得，解不等式即可.

【详解】原不等式等价于:，

∵为偶函数，∴，

∵为偶函数，且上单减，∴或，

∴.故答案为:

16．【答案】【解析】令，，作出图像如图所示：

如图可知：当时，有四个交点，

要使关于的函数有个不同零点．

则有两个根，且，．

令，由根的分布可得

，解得．

17．【答案】（）；（）

【解析】（）原式．…………………………5分

（）原式．…………………………10分
18.【答案】（1）A∩B＝{2}（2）

【解析】【分析】（1）根据根式有意义的条件及指数函数的性质可得集合A，B，再进行集合的运算即可.

（2）先根据集合C，结合C⊆B，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a的取值范围．

【详解】（1）由题意得：函数f（x）有意义，
则，即，解得，

∴A＝{x|x≥2}，…………………………2分

又g（x）单调递减，∴B＝{y|1≤y≤2}，…………………………4分

∴A∩B＝{2}…………………………6分

（2）由（1）知：，

当即时：满足题意；…………………………8分

当即时：要使则…………………………10分

解得…………………………11分

综上，…………………………12分

19．【解析】解：（）是奇函数，

证明如下：的定义域为，关于原点对称，

，…………………………1分

∴，…………………………3分

所以为奇函数．…………………………4分

（）在上为增函数．

证明：任取，，且，

则，…………………………6分

∵，，且，

∴，，，

∴即，

∴在上为增函数，…………………………9分

∵在上为增函数且，

∴，

∴，…………………………11分

即的解集为．…………………………12分

20．解：（1）当a=2时，由，

可得，…………………………2分

解得，
所以不等式f(x)<0的解集为；…………………………4分
（2）令，因为1≤x≤2,所以2≤t≤4,
令，
则…………………………5分

当时，g(t)在[2,4]上为增函数，
所以,…………………………7分
当时，g(t)在[2,4]上为减函数，
所以,…………………………9分

当时，g(t)在[2,a]上为减函数,在（a,4]上为增函数，
所以,…………………………11分

…………………………12分

21．解：（1）预计订单函数为；……………2分

f(5)=20+5=25;…………………………3分

f(13)=-13+55=42;…………………………4分

∴每件珠宝加工天数分别为5，13，预计订单数分别为25件，42件．………………5分

（2）售价函数为；

∴利润函数为，
s(t)＝＝；…………………7分

当时，的最大值为；………………………9分

当时，的最大值为；…………11分

故利润最大时，，此时预计的销量为26件…………………………12分

22．解：（1）函数的定义域为，且在上单调递增；

考察函数，；

因为，取，则，即；…………………2分

，取，则，即；

因为在上单调递增；…………………………4分

所以在区间上的值域为，即为；

所以函数是上的“和谐函数”；…………………………5分

（2）因为在单调递增；

因为函数是“和谐函数”；

所以存在，使得函数在区间上的值域为；

即，．

因此，即在上至少有两个不相等的实数根；…………7分

令，，方程可化为；

即在上至少有两个不相等的实数根；…………………………9分

记，的对称轴为直线；

所以；解得，…………………………11分
即t的取值范围为 ．………………12分