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江西省上饶市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题
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这是一份江西省上饶市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共6页。试卷主要包含了是虚数单位，复数满足，则，命题“对，”的否定为，若，则，已知整数的数对列如下等内容，欢迎下载使用。
选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共12题，每小题5分，共60分）
1．是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B． C． D．
2．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系（ ）
A． B．或 C．与相交但不垂直 D．
3．命题“对，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12B．81 C．64 D．24
5．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．B． C． D．
8．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于A,B两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．B． C． D．
9．已知整数的数对列如下:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第20个数对是（ ）
A．（3，3） B．（4，2）
C．（4，3） D．（5，2）
10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有_____________种(用数字作答).
14．在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是_____________.
15．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为_____________.
16．若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为_____________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）已知命题：和命题：
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
（本题满分12分）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
（1）已知实数，均为正数，求证：.
（2）已知，都是正数，并且，求证：.
20.（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，
已知，E为的中点．
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值．
21．（本题满分12分）如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为．
（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；
（2）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值．
22．（本题满分12分）已知，函数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．其中…为自然对数的底数．
2020-2021学年度上学期期末考试
高二年级数学（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题
24 14． 15． 16．
三、解答题
17．【详解】不等式即，解得，
不等式即，解得，
则命题：，命题：，
（1）当时，命题：，命题：，
若和都是真命题，则； 5分
（2）因为是的充分不必要条件，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为. 5分
18.【详解】（1）），，又，
曲线在点处的切线方程为，即； 6分
（2）的定义域为，且，
令，得；令，得，
函数在上单调递减,． 6分
19．【详解】（1），
又因为，，所以，，
由基本不等式得，，当且仅当时，取等号，
即时取等号，所以. 6分
（2）
因为，都是正数，所以，
又，所以，所以，
所以，即. 6分
20．【详解】（1）设交点为,连接，
是边长为2的菱形，是的中点，
，
又平面,平面 ，，平面，
平面， 4分
（2）
是等边三角形，又是等边三角形，
，
又平面，
以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图:
则，，
设平面的法向量，
则,,令，得，所以，
又平面,是平面的一个法向量，，
二面角的余弦值为. 12分
21．【详解】（1）设，，由，，
可得，，
由点在上可得：，化简得：，同理可得：
，
∵、两点不同，不妨设，，
∴弦所在的直线方程为． 6分
（2）设，，，由，得，
代入，化简得：，
同理可得：，
显然，∴、是方程的两个不同的根，
∴，，
∴，即直线的方程为，
∵，，
∴，，
所以线段与的比为
∴线段与的比为定值． 12分
22．【详解】（1）由题意，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增，
因为，又由，，
所以函数在上有唯一的零点，
综上可得，函数在上有唯一零点. 4分
（2）由（1）可得且，
由，
令，所以，
设，
则，可得，所以单调递增，
又由，即，函数单调递增，
所以，
所以，
即，又因为，则
构造函数，可得，
所以函数在单调递减，且，
所以且，
所以，即，
从而，综上所述，.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
C
B
B
B
C
A
D
D
C
B
选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共12题，每小题5分，共60分）
1．是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B． C． D．
2．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系（ ）
A． B．或 C．与相交但不垂直 D．
3．命题“对，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12B．81 C．64 D．24
5．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．B． C． D．
8．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于A,B两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．B． C． D．
9．已知整数的数对列如下:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第20个数对是（ ）
A．（3，3） B．（4，2）
C．（4，3） D．（5，2）
10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有_____________种(用数字作答).
14．在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是_____________.
15．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为_____________.
16．若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为_____________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）已知命题：和命题：
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
（本题满分12分）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
（1）已知实数，均为正数，求证：.
（2）已知，都是正数，并且，求证：.
20.（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，
已知，E为的中点．
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值．
21．（本题满分12分）如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为．
（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；
（2）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值．
22．（本题满分12分）已知，函数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．其中…为自然对数的底数．
2020-2021学年度上学期期末考试
高二年级数学（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题
24 14． 15． 16．
三、解答题
17．【详解】不等式即，解得，
不等式即，解得，
则命题：，命题：，
（1）当时，命题：，命题：，
若和都是真命题，则； 5分
（2）因为是的充分不必要条件，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为. 5分
18.【详解】（1）），，又，
曲线在点处的切线方程为，即； 6分
（2）的定义域为，且，
令，得；令，得，
函数在上单调递减,． 6分
19．【详解】（1），
又因为，，所以，，
由基本不等式得，，当且仅当时，取等号，
即时取等号，所以. 6分
（2）
因为，都是正数，所以，
又，所以，所以，
所以，即. 6分
20．【详解】（1）设交点为,连接，
是边长为2的菱形，是的中点，
，
又平面,平面 ，，平面，
平面， 4分
（2）
是等边三角形，又是等边三角形，
，
又平面，
以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图:
则，，
设平面的法向量，
则,,令，得，所以，
又平面,是平面的一个法向量，，
二面角的余弦值为. 12分
21．【详解】（1）设，，由，，
可得，，
由点在上可得：，化简得：，同理可得：
，
∵、两点不同，不妨设，，
∴弦所在的直线方程为． 6分
（2）设，，，由，得，
代入，化简得：，
同理可得：，
显然，∴、是方程的两个不同的根，
∴，，
∴，即直线的方程为，
∵，，
∴，，
所以线段与的比为
∴线段与的比为定值． 12分
22．【详解】（1）由题意，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增，
因为，又由，，
所以函数在上有唯一的零点，
综上可得，函数在上有唯一零点. 4分
（2）由（1）可得且，
由，
令，所以，
设，
则，可得，所以单调递增，
又由，即，函数单调递增，
所以，
所以，
即，又因为，则
构造函数，可得，
所以函数在单调递减，且，
所以且，
所以，即，
从而，综上所述，.
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