江西省宜春市2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（word版 含答案）

江西省2020-2021学年下学期期中考试

高二年级数学（理）试题

命题人：     审题人：

一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

.直角坐标系中点，在极坐标系中的坐标为（      ）

A．          B．          C．           D．

.若直线（为参数）与直线平行，则常数=（      ）

A．              B．               C．               D.

.已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（      ）

A．        B．        C．       D．

.函数的图像大致是（      ）

A．      B．

C．                          D．

.若，则等于（      ）

A．               B．                C．               D．

.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（     ）

A．               B．                C．                   D．

.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（      ）.

A．            B．             C．              D．

8.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（     ）

A．            B．           C．               D．

.在平面直角坐标系中，已知直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为（     ）

A.            B．        C．        D.

.2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（      ）

A． B． C． D．

.直线被椭圆截得最长的弦为（      ）

1.                B.                 C.                D.

.已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意恒成立，则当取最大值时，实数的值为（      ）

A.               B.             C.               D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数的图象在点处的切线方程为_____________．

14.已知随机变量服从正态分布，，则____________

.的展开式中含项的系数为___________

.已知圆与轴交于点A、B，过圆上动点M(M不与A、B重合)作圆的切线，过点A、B分别作轴的垂线，与切线分别交于点,直线与交于点，关于的对称点为，

则点的轨迹方程___________

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

.(本小题满分10分)

已知直线经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为.

(1)写出直线的参数方程，并把圆的极坐标方程化为直角坐标下的普通方程；

(2)设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积．

.(本小题满分12分)

在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐之外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用。但一个优秀的小视频除要有很好的素材与拍摄成品外，更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平，将所制作的某小视频分享到自己的朋友圈里，并请朋友圈里的朋友按照自己的审美给予评价。通过收集100位朋友（男、女各前50位）的评价，得到列联表如下：

（1）能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？

（2）将频率视为概率，从参与评价50位男性朋友中抽取10人，记评价优秀的人数为，

求的数学期望和方差。附：

.(本小题满分12分)

如图所示的几何体中，是菱形，，平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

.(本小题满分12分)

据悉从2021年起，江西省将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化。在数学学科中，变化如下：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、解决问题的能力。已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分分，全部选对得分，漏选得分，有错误选项的或不选的得分，每道多选题共有个选项，正确答案往往为项或项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组通过研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为,正确答案是“选三项”的概率为，现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．

（1）若学生甲乱猜某多选题答案，在已知该题正确答案是“选两项”的条件下，求他不得分的概率；

（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，分别求出甲和乙答一道多选题得分的期望，看看谁的策略得分更高？

.(本小题满分12分)

已知椭圆的两焦点是,点在椭圆上,且，

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上点的直线与，轴的交点分别为且.若关于原点对称，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.

．(本小题满分12分)

已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若关于的方程有两个不等实数根，

证明：.

江西省2020-2021学年下学期期中考试

高二年级数学（理）试题参考答案

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

.          14. 0.16         15.         16.

三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：（1）直线的参数方程为(为参数)，即（为参数）  2分

由，得，所以，    4分

得，即．     5分

（2）把（为参数）代入，得，  8分

∴．   10分

18.解：(1)由列联表可知，，

所以没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关.       5分

(2)由表中数据，男性朋友对该小视频评价优秀的比率为，

因此男性朋友对该小视频评价恰好优秀的概率的估计值为0.7.

由题意得，所以随机变量的期望，

        12分

19.（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，，

在菱形中，，

∵平面，平面，∴，

又，，平面，∴平面，

∵，分别是，的中点，∴，，

又，，∴，且，

∴四边形是平行四边形，则，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）由（1）中证明知，平面，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由及是菱形，

得，，，则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，则，即，

取，求得，所以，

同理，可求得平面的一个法向量为，

设平面与平面构成的二面角的平面角为，则

，又，，

∴，∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.

20.解：（1）分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．

①猜一个选项得3分的概率为；      2分②猜两个选项得5分的概率为，     4分

故学生甲不得0分的概率；     5分

（2）设甲、乙两人的得分分别为，，两人的得分期望分别为，，

学生甲：，，

学生甲的得分的分布列为故．    8分

学生乙：，，，

学生乙的得分的分布列为故，            11分

因为，所以学生甲的策略最好．    12分

21.（1）点在椭圆上且

又椭圆过点，

，解得.

∴椭圆的标准方程为：.       5分

（2）点在椭圆上，.

设经过点的直线方程为：，

可得，.

，即.        7分

直线斜率为，方程为，

即，，联立解得，

，点到直线的距离为，

当且仅当，即时，等号成立，

，

四边形面积的最大值为.      12分

22.（1）解：因为，所以.

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.             4分

（2）证明：方程可化为.

设，显然在上是增函数，又，

所以有，即方程有两个实数根，.

由（1）可知，则有，所以的取值范围为.

因为方程有两个实数根，，所以，则，要证，即证.

，需证.

需证.不妨设，令，则，即要证.

设，则，所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.       12分