江西省上饶市铅山一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

铅山一中2020-2021学年高二年级第二学期期中考试

数学试题（理科）

分值：150分  考试时间：120分钟 

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　)

A.ac2<bc2          B.a2>ab>b2          C.<           D.>

2.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于(　　)

A.192             B.202 C.212                      D.222

3.已知命题p：存在x0∈R，x＋4x0＋6<0，则¬p为(　　)

A.任意x∈R，x2＋4x＋6≥0   B.存在x∈R，x2＋4x＋6>0

C.任意x∈R，x2＋4x＋6>0   D.存在x∈R，x2＋4x＋6≥0

4.设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量.若α⊥β，则t等于(　　)

A.3   B.4   C.5             D.6

5.下列求导数的运算中错误的是(　　)

A.(3x)′＝3xln 3  　 B.(x2ln x)′＝2xln x＋x

C.′＝　 D.(sin x·cosx)′＝cos 2x

6.已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则¬p是¬q的(　　)

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

7.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)

A.2sin 40°         B.2cos 40°        C.          D.

8.若f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A.           B.           C.          D.

9.如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中不正确的是(　　)

A.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值

B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称

C.曲线C所围区域的面积必小于36

D.曲线C的总长度必大于6π

10.若函数f(x)＝在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是(　　)

A.           B．1－          C.           D.

11.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　　)

A.1          B.               C.              D.

12.已知函数y＝a＋8ln x的图像上存在点P，函数y＝－x2－2的图像上存在点Q，且P，Q关于x轴对称，则a的取值范围是(　　)

A.[6－8ln 2，e2－6]   B.[e2－6，＋∞)

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为________.

14.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：

若已知回归直线方程为y＝0.85x－0.25，则表中c的值为________.

15.已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________.

16.已知λ∈R，函数f(x)＝，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.用分析法证明：＋>2＋（10分）

18.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若“p且¬q”为真，求x的取值范围.（12分）

19.若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，求实数a的取值范围.           （12分）

20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B－PD－A的大小；（12分）

21.已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.（12分）

22.设函数f(x)＝x2－(a－1)x－alnx.（12分）

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)已知函数f(x)有极值m，求证：m<1(已知ln 0.5≈－0.69，ln 0.6≈－0.51).

铅山一中

2021年高二第二学期数学期中考试

答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.B2.C3.A4.C5.C6.A7.D8.D9.A10.B11.B12.D

12.解析　函数y＝－x2－2的图像与函数y＝x2＋2的图像关于x轴对称，

根据已知得函数y＝a＋8ln x的图像与函数y＝x2＋2的图像有交点，即方程a＋8ln x＝x2＋2在上有解，即a＝x2＋2－8ln x在上有解，

令g(x)＝x2＋2－8ln x，x∈，则g′(x)＝2x－＝，当x∈时，g′(x)<0；当x∈(2，e]时，g′(x)>0.故当x＝2时，g(x)取最小值g(2)＝6－8ln 2，

由于g＝10＋，g(e)＝e2－6.

故当x＝时，g(x)取到最大值10＋.

所以6－8ln 2≤a≤10＋.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为________.

答案　2x＋y－2π＋1＝0

14.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：

若已知回归直线方程为y＝0.85x－0.25，则表中c的值为________.

答案　6

15.已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________.

答案　

16.已知λ∈R，函数f(x)＝，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.

解若f(x)＝恰有2个零点有两种情况：

①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图像，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).

答案　 (1，3]∪(4，＋∞)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.用分析法证明：＋>2＋（10分）

证明：　要证明＋>2＋

<= (＋)2> (2＋)2

<=6＋7＋2>8＋5＋4

<=>2

<=42>40，

∵42>40显然成立，

∴＋>2＋.■

18.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若“p且¬q”为真，求x的取值范围.（12分）

解　因为“p且¬q”为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以q为假命题时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由得x≥3或1<x≤2或x<－3，

所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<－3}.

19.若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图像上存在与直线2x－y＝0平行的切线，求实数a的取值范围.           （12分）

解　直线2x－y＝0的斜率k＝2，

又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，

∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，

则a＝4x＋－2，x>0.

又4x＋≥2＝4，当仅当x＝时取“＝”.

∴a≥4－2＝2.

20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B－PD－A的大小；（12分）

(1)证明　设AC∩BD＝O，连接OM.

∵PD∥平面MAC且平面PBD∩平面MAC＝MO，

∴PD∥MO.∵四边形ABCD是正方形，

∴O为BD中点，所以M为PB中点.■

(2)解　取AD中点E，连接PE.

∵PA＝PD，∴PE⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，

∵OE平面ABCD，∴PE⊥OE，

∵四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD.

建立如图所示空间直角坐标系，

则B(－2，4，0)，P(0，0，)，D(2，0，0)，

易知平面PDA的一个法向量m＝(0，1，0).

设平面BPD的法向量n＝(x0，y0，z0)，则

令x＝1，则y＝1，z＝.

可取n＝(1，1，).

设二面角B－PD－A的平面角为θ(易知为锐角)，

则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝

＝＝，

∴θ＝，故二面角B－PD－A的大小为.

21.已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解　(1)∵抛物线C：x2＝y，

∴它的焦点为F.[2分]

(2)∵|RF|＝yR＋，

∴2＋＝3，得m＝.[4分]

(3)存在，联立方程

消去y得mx2－2x－2＝0(m>0)，

依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＝8m＋4>0恒成立，

方程必有两个不等实根.[6分]

设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)

∵P是线段AB的中点，∴P，

即P，∴Q，[8分]

得＝，＝.

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，

即·＋＝0，[10分]

结合(*)式化简得－－＋4＝0，

即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

∵m>0，∴m＝2.

∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.[12分]

22.设函数f(x)＝x2－(a－1)x－alnx.（12分）

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)已知函数f(x)有极值m，求证：m<1(已知ln 0.5≈－0.69，ln 0.6≈－0.51).

(1)解　f′(x)＝x－(a－1)－＝

＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

当a>0时，解f′(x)>0得x>a，解f′(x)<0得0<x<a.

所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.

综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.

(2)证明　由(1)知，a>0时，f(x)的极值m＝f(a)＝－a2＋a－alna.

所以f′(a)＝－a－ln a，f′(a)＝0有唯一实根记为a0.

因为ln 0.5<－0.5，ln 0.6>－0.6，所以a0∈(0.5，0.6).

且f(a)在(0，a0)上递增，在(a0，＋∞)上递减.

所以m＝f(a)≤f(a0)＝－a＋a0－a0ln a0

<－a＋a0＋a＝a＋a0<×0.62＋0.6＝0.78<1.

故m<1成立.■