第一节　集合学案

这是一份第一节　集合学案，共17页。学案主要包含了易错点分析等内容，欢迎下载使用。

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第一节　集合
学习要求:
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、符号语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.


　　1.元素与集合
(1)集合中元素的性质:① 确定性 、互异性、无序性. 
▶提醒　元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题.
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,则记作② a∈A ;若b不属于集合A,则记作
③ b∉A . 
(3)集合的表示方法:④ 列举法 、描述法、图示法. 
(4)常见数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
⑤ N
⑥ N*或N+
⑦ Z
⑧ Q
⑨ R
　　▶提醒　研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:
集合
{x|f(x)=0}
{x|f(x)>0}
{x|y=f(x)}
{y|y=f(x)}
{(x,y)|y=f(x)}
集合的
意义
方程f(x)
=0的解集
不等式f(x)
>0的解集
函数y=f(x)
的定义域
函数y=
f(x)的值域
函数y=f(x)
图象上的点集
　　2.集合的基本关系

文字语言
记法
集合
的基
本关
系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
⑩ A⊆B 或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
A⫋B 或B⫌A
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是 任何 集合的子集
⌀⊆A
空集是 任何非空 集合的真子集
⌀⫋B(其中B≠⌀)
　　▶提醒　(1)“⊆”与“⫋”的区别:A⊆B⇒A=B或A⫋B,若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更准确.
(2)⌀,{0}和{⌀}的区别:⌀是不含有任何元素的集合;{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.
(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.
3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为 ∁UA
图形
表示



意义
A∪B= {x|x∈A,或x∈B}
A∩B= {x|x∈A,且x∈B}
∁UA= {x|x∈U,且x∉A}
知识拓展
　　(1)子集的性质:A⊆A,⌀⊆A,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B.
(2)交集的性质:A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.
(3)并集的性质:A∪B=B∪A,(A∪B)⊇A,(A∪B)⊇B,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A.
(4)补集的性质:A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀,∁U(∁UA)=A,∁AA=⌀,∁A⌀=A.
(5)子集的个数:含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.
(6)等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B.
(7)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)任何一个集合都至少有两个子集. (　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (　　)
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0或1. (　　)
(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√
2.(新教材人教B版必修第一册P9练习BT1改编)若集合P={x∈N|x≤2 021},a=22,则(　　)
A.a∈P　　　　B.{a}∈P
C.{a}⊆P　　　　D.a∉P
答案　D
3.(2020课标Ⅱ理,1,5分)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=(　　)
A.{-2,3}　　　　
B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,0,3}　　　　
D.{-2,-1,0,2,3}
答案　A
4.(易错题)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为　　　　. 
答案　-32
【易错点分析】　本题容易因忽视集合中元素的互异性致误.
5.(易错题)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为　　　　. 
答案　9
【易错点分析】　本题容易因对集合的表示方法理解不到位致误.


集合的基本概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,ba,b,则b-a= (　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
答案　C　由题意知a≠0,因为{1,a+b,a}=0,ba,b,所以a+b=0,则ba=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故选C.
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= (　　)
A.92　　　　B.98
C.0　　　　D.0或98
答案　D　若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等的实根.
当a=0时,x=23,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=98.所以a=0或98.
3.已知P={x|2 答案　(5,6]
解析　因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围是5 名师点评
与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)用描述法表示集合时,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.
(2)集合中元素的三个性质中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
集合的基本关系
　　典例1　已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　. 
答案　(-∞,3]
解析　因为B⊆A,
所以若B=⌀,则2m-1 若B≠⌀,则2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,
解得2≤m≤3.
故符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
◆变式1　本例中,若将“B⊆A”变为“B⫋A”,求m的取值范围.
解析　因为B ⫋A,所以若B=⌀,则2m-1 若B≠⌀,
则2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1<5或2m-1≥m+1,m+1>-2,2m-1≤5,
解得2≤m≤3.
故m的取值范围为(-∞,3].
　　◆变式2　本例中,若将“B⊆A”变为“A⊆B”,求m的取值范围.
解析　若A⊆B,则m+1≤-2,2m-1≥5,即m≤-3,m≥3.所以m的取值范围为⌀.
　　◆变式3　若将本例中的“集合A={x|-2≤x≤5}”变为“集合A={x|x<-2或x>5}”,试求m的取值范围.
解析　因为B⊆A,
所以当B=⌀时,2m-1 当B≠⌀时,m+1≤2m-1,m+1>5或m+1≤2m-1,2m-1<-2,
解得m≥2,m>4或m≥2,m<-12,故m>4.
综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).
名师点评
根据两集合间的关系求参数的方法
求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴、Venn图等来解决这类问题.

1.(2020安徽安庆模拟)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},若B⊆A,则实数a= (　　)
A.-1　　　　B.2
C.-1或2　　　　D.1或-1或2
答案　C　因为B⊆A,所以必有a2-a+1=3或a2-a+1=a.
①若a2-a+1=3,则a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足条件;
当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足条件.
②若a2-a+1=a,则a2-2a+1=0,解得a=1,此时集合A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,所以a=1应舍去.
综上,a=-1或a=2.
2.若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　. 
答案　[-2,2)
解析　若B=⌀,则Δ=m2-4<0,解得-2 若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;
若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B=2,12,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
集合的基本运算
角度一　集合的运算
　　典例2　(1)(2020课标Ⅲ 理,1,5分)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)　 　　　　　　
　　A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
(2)(2020天津,1,5分)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(∁UB)=(　　)
A.{-3,3}　　　　B.{0,2}
C.{-1,1}　　　　D.{-3,-2,-1,1,3}
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)由y≥x,x+y=8,x,y∈N*得x=1,y=7或x=2,y=6或x=3,y=5或x=4,y=4,所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,选C.
(2)因为U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},所以∁UB={-2,-1,1},又A={-1,0,1,2},所以A∩(∁UB)={-1,1},故选C.
角度二　利用集合的运算求参数
　　典例3　(1)(2020课标Ⅰ理,2,5分)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a= (　　)
A.-4　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.4
(2)(2020河北邯郸二模)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是(　　)
A.[3,6)　　　　B.[1,2)
C.[2,4)　　　　D.(2,4]
　　答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=x|x≤-a2,
又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-a2=1,
∴a=-2.故选B.
(2)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=x|x>m2,
∵A∩B中有三个元素,∴1≤m2<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).
名师点评
1.解决集合的基本运算问题一般应注意:
先看元素组成,对有些集合是先进行化简,注意数形结合思想的应用.集合的运算常借助于数轴和Venn图解决.
2.关于利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法:
①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;
②若集合中的元素能一一列举,则先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.

1.(2020北京,1,4分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0 A.{-1,0,1}　　　　B.{0,1}　　　　C.{-1,1,2}　　　　D.{1,2}
答案　D　集合A与集合B的公共元素为1,2,由交集的定义知A∩B={1,2},故选D.
2.已知集合A={x|1 答案　[0,+∞)
解析　①当2m≥1-m,即m≥13时,B=⌀,符合题意;
②当2m<1-m,即m<13时,需满足m<13,1-m≤1或m<13,2m≥3,所以0≤m<13.
综上,实数m的取值范围是[0,+∞).

数学抽象——集合的新定义问题

　　(1)定义集合的商集运算为AB=x|x=mn,m∈A,n∈B,已知集合A={2,4,6},B=x|x=k2-1,k∈A,则集合BA∪B中的元素个数为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
(2)给定集合A,若对任意a,b∈A,都有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是　　　　. 
答案　(1)B　(2)②
解析　(1)由题意知,B={0,1,2},BA=0,12,14,16,1,13,则BA∪B=0,12,14,16,1,13,2,共有7个元素,故选B.
(2)①中,-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但3k+2k∉(A1∪A2),故A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.

　　以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查学生对新定义的理解和解决新定义问题的能力,充分体现了数学抽象的核心素养.解决集合的新定义问题的两个切入点:
①正确理解创新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题,而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等;
②合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件中发现可以使用集合性质的一些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.

1.设数集M=x|m≤x≤m+34,N=x|n-13≤x≤n,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的长度,则集合M∩N的长度的最小值为　　　　. 
答案　112
解析　在数轴上表示出集合M与N(图略),
可知当m=0且n=1或n-13=0且m+34=1时,M∩N的长度最小.
当m=0且n=1时,M∩N=x23≤x≤34,其长度为34−23=112;
当n=13且m=14时,M∩N=x14≤x≤13,其长度为13−14=112.
综上,M∩N的长度的最小值为112.
2.用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=C(A)-C(B),C(A)≥C(B),C(B)-C(A),C(A) 若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=　　　　. 
答案　3
解析　因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0,得x1=0,x2=-a.关于x的方程x2+ax+2=0,当Δ=0,即a=±22时,易知C(B)=3,符合题意;当Δ>0,即a<-22或a>22时,易
知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;当Δ<0,即-22 程x2+ax+2=0无实数解,当a=0时,B={0},C(B)=1,符合题意,当-22
A组　基础达标
1.(2020新高考Ⅰ,1,5分)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2 A.{x|2 C.{x|1≤x<4}　　　　D.{x|1 答案　C
2.已知集合P={x|1 A.{x|1 C.{x|3≤x<4}　　　　D.{x|1 答案　B
3.(2020重庆第八中学三模)若集合A={x∈N|(x-3)(x-2)<6},则A中的元素个数为 (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
答案　B
4.(2020黑龙江哈尔滨第三中学五模)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围为 (　　)
A.(0,1]　　　　B.[1,+∞)
C.(0,1)　　　　D.(1,+∞)
答案　B
5.(2020湖南高三二模)设A={x|x>1},B={x|x2-x-2<0},则(∁RA)∩B= (　　)
A.{x|x>-1}　　　　B.{x|-1 C.{x|-1 答案　B
6.(2020山西适应性测试)已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x+2},则A∩B中元素的个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案　C
7.(2020河南商丘质量监测)已知集合A={x|x2+2>3x},B=(a,a+2],若A∪B=R,则实数a的取值范围为 (　　)
A.[0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(-∞,0]　　　　D.(1,+∞)
答案　A
8.(多选题)(2020福建厦门双十中学高三月考)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A)叫做集合的对称差,若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},则以下说法正确的是(　　)
A.A=[-1,5]　　　　B.A-B=[1,2)
C.B-A=(5,10]　　　D.A*B=(1,2]∪(5,10]
答案　BC　A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},
B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},
故A-B={x|x∈A且x∉B}={x|1≤x<2},B-A={x|x∈B且x∉A}={x|5 A*B=(A-B)∪(B-A)=[1,2)∪(5,10].
9.(2020广东佛山二中高三月考)已知集合A={x|5x2+x-4<0},B=x|x<13,则A∩(∁RB)=(　　)
A.13,45　　　　B.13,45
C.-1,13　　　　D.-1,13
答案　A　A={x|5x2+x-4<0}={x|(5x-4)(x+1)<0}=-1,45,
∵B=x|x<13,
∴∁RB=13,+∞,
故A∩(∁RB)=-1,45∩13,+∞=13,45.故选A.
10.(2020江苏,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=　　　　. 
答案　{0,2}
解析　∵A={-1,0,1,2},B={0,2,3},∴A∩B={0,2}.
11.(2020江苏南京玄武高级中学模拟)已知全集M={x|2x2+5x<0,x∈Z},集合N={0,a},若M∩N≠⌀,则a等于　　　　. 
答案　-1或-2
解析　由2x2+5x<0,解得-52 因为N={0,a},且M∩N≠⌀,
所以a=-1或a=-2.

B组　能力拔高
12.(多选题)定义平面点集R2={(x,y)|x∈R,y∈R},M⊆R2,若∀P0∈M,∃r>0,使得{P∈R2||PP0| 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.集合{(x,y)|(x-1)2+(y-3)2<1}是开集
B.集合{(x,y)|x≥0,y>0}是开集
C.开集在全集R2上的补集仍然是开集
D.两个开集的并集是开集
答案　AD　集合{(x,y)|(x-1)2+(y-3)2<1}表示以点(1,3)为圆心,1为半径的圆面(不含边界),取在该平面点集中的任一点(x0,y0),则该点到圆周上的点的最短距离为d,取r=d,满足“开集”的定义,故A正确;
在x≥0,y>0的区域上任意取点(x0,y0),以任意正实数r为半径的圆面,均不满足条件,故B错误;
依题意可确定开集不含边界,所以开集在全集R2上的补集有边界,不是开集,故C错误;
两个开集的并集满足开集的定义,故D正确.
故选AD.
13.(2020四川高三二模)已知集合A={1,3,m},B={1,m},若A∪B=A,则m= (　　)
A.0或3　　　　B.0或3
C.1或3　　　　D.1或3
答案　B　因为A∪B=A,所以B⊆A,所以m=3或m=m.
若m=3,则A={1,3,3},B={1,3},符合题意.
若m=m,则m=0或m=1.当m=0时,A={1,3,0},B={1,0},符合题意;当m=1时,A={1,3,1},B={1,1},显然不成立.
综上m=0或m=3,故选B.
14.(多选题)(2020山东济宁第一中学模拟)若集合A={x|sin 2x=1},B=y|y=π4+kπ2,k∈Z,则下列结论正确的是(　　)
A.A∪B=B　　　　B.∁RB⊆∁RA
C.A∩B=⌀　　　　D.∁RA⊆∁RB
答案　AB　A={x|sin 2x=1}
=xx=kπ+π4,k∈Z
=xx=4kπ+π4,k∈Z,
B=yy=π4+kπ2,k∈Z
=yy=2kπ+π4,k∈Z,
显然集合xx=4kπ+π4,k∈Z⊆xx=2kπ+π4,k∈Z,
所以A⊆B,
则A∪B=B成立,所以选项A中结论正确.
∁RB⊆∁RA成立,所以选项B中结论正确,选项D中结论不正确.
A∩B=A,所以选项C中结论不正确.
15.(2020河南八市质检)在实数集R上定义运算:x*y=x·(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[0,2]　　　　 B.[-2,-1)∪(-1,0]
C.[0,1)∪(1,2]　　　　D.[-2,0]
答案　D　依题意可得x(1-x+a)>0的解集为{x|-1≤x≤1}的子集,所以当a≠-1时,0<1+a≤1或-1≤1+a<0,即-10的解集为空集,符合题意.所以-2≤a≤0.故选D.
16.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有　　　　个. 
答案　6
解析　符合题意的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.



C组　思维拓展

17.设[x]表示不大于x的最大整数,集合A={x|x2-2[x]=3},B=x|18<2x<8,则A∩B=　　　　. 
答案　{-1,7}
解析　不等式18<2x<8的解集为(-3,3),所以B=(-3,3).
若x∈A∩B,则x2-2[x]=3,-3 所以[x]的值只可能为-3,-2,-1,0,1,2.
若[x]≤-2,则x2=3+2[x]<0,此不等式无解;
若[x]=-1,则x2=1,得x=-1;
若[x]=0,则x2=3,没有符合条件的解;
若[x]=1,则x2=5,没有符合条件的解;
若[x]=2,则x2=7,有一个符合条件的解,为x=7.因此,A∩B={-1,7}.
18.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则满足上述条件的一个有序数组(a,b,c,d)=　　　　,符合条件的全部有序数组(a,b,c,d)的个数是　　　　. 
答案　(3,2,1,4)(答案不唯一,填一个正确的即可);6
解析　显然①不可能正确,否则①②都正确.若②正确,则a=2,b=3,c=1,d=4或a=3,b=2,c=1,d=4.若③正确,
则a=3,b=1,c=2,d=4.若④正确,
则a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2.
所以符合条件的有序数组共有6个.