第三节　不等关系与一元二次不等式学案

这是一份第三节　不等关系与一元二次不等式学案，共17页。学案主要包含了易错点分析等内容，欢迎下载使用。

第三节　不等关系与一元二次不等式
学习要求:
1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式.


　　1.两个实数比较大小的依据
(1)a-b>0⇔a>b.
(2)a-b=0⇔a=b.
(3)a-b<0⇔a 2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒① a+c>b+d . 
(4)可乘性:a>b,c>0⇒② ac>bc ;a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd. 
(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n>1).
(6)可开方性:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2).






3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象



一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个相异实根x1,x2(x1 有两个相等实根x1=x2=- b2a
没有实根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
③ {x|xx2}
xx≠-b2a
R
④ ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1 ⌀
⌀
　　▶提醒　开口向上的二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.
知识拓展
　　1.倒数性质的四个必备结论
(1)a>b,ab>0⇒1a<1b.
(2)a<0 (3)a>b>0,0bd.
(4)0 2.简单分式不等式
(1)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.
(2)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).
3.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时,不要忘记讨论当a=0时的情形.
4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0,c>0或a>0,Δ<0.
(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0,c<0或a<0,Δ<0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)a>b⇔ac2>bc2. (　　)
(2)a=b⇔ac=bc. (　　)
(3)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. (　　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)√　(4)✕
2.(新教材人教B版必修第一册P71练习BT1改编)已知集合A={x|x2-5x+4<0},B={x|x2-x-6<0},则A∩B= (　　)
A.(-2,3)　　　　B.(1,3)
C.(3,4)　　　　D.(-2,4)
答案　B
3.(易错题)若a>b>0,c A.ac−bd>0　　　　B.ac−bd<0 C.ad>bc　　　　D.ad 答案　D
【易错点分析】　误用不等式的可乘性致误.
4.比较两数的大小:7+10　　　 3+14.
答案　>
5.(易错题)对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
答案　(-4,0]
【易错点分析】　对参数的讨论忽略二次项系数为0的情况致误.

比较两个数(式)的大小
　　典例1　 (1)已知a>b>0,m>0,则 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.ba=b+ma+m
B.ba>b+ma+m
C.ba D.ba与b+ma+m的大小关系不确定
(2)若a=ln33,b=ln22,比较a与b的大小.
答案　(1)C　
解析　(1)ba−b+ma+m=b(a+m)-a(b+m)a(a+m)=m(b-a)a(a+m).
因为a>b>0,m>0,
所以b-a<0,a+m>0,
所以m(b-a)a(a+m)<0,即ba−b+ma+m<0,
所以ba (2)因为a=ln33>0,b=ln22>0,
所以ab=ln33·2ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log89>1,所以a>b.

名师点评
　　比较大小常用的方法

　　▶提醒　用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配方等.

1.若a,b∈[0,+∞),A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是 (　　)
A.A≤B　　　　B.A≥B
C.AB
答案　B　由题意得,B2-A2=-2ab≤0,又A≥0,B≥0,所以A≥B.
2.比较a2b+b2a与a+b(a>0,b>0)两个代数式的大小.
解析　a2b+b2a-(a+b)
=a3+b3-a2b-ab2ab
=a2(a-b)+b2(b-a)ab=(a-b)(a2-b2)ab
=(a-b)2(a+b)ab.
因为a>0,b>0,所以(a-b)2(a+b)ab≥0,
故a2b+b2a≥a+b.
不等式性质的应用
1.(2020沈阳调研)若实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.yx<1　　　　 B.2-x<2-y
C.lg(x-y)>0　　　　D.x2>y2
答案　B　由x>y,得-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.
2.(多选题)(2020商丘九校联考)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是 (　　)
A.xy>yz　　　　B.xy>xz
C.xz>yz　　　　D.x|y|>|y|z
答案　ACD　因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0z,x>0,所以xy>xz,故B正确;对于C,因为x>y,z<0,所以xz 3.(2020河南开封模拟)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C　充分性:当a>b≥0时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>b·b,此时成立.当0>a>b时,不等式a|a|>b|b|等价为-a·a>-b·b,即a2b时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>-b·b,即a2>-b2,此时成立.故充分性成立;必要性:当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a-b>0,即a>b.当a>0,b<0时,a>b.当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a-b>0,即a>b,故必要性成立.
综上可得,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
名师点评
判断不等式是否成立的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项,利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件;
(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
一元二次不等式的解法
角度一　不含参数的一元二次不等式
典例2　(1)(2020江西模拟)已知集合A={x|x2-4x≤0},B={x|y=log2(2-x)},则A∩B=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.{x|0≤x<2}　　　　B.{x|x<2}
C.{x|0≤x≤4}　　　　D.{x|x≤4}
(2)(2020黑龙江大庆一中模拟)已知集合A={x|-3 A.{1,2}　　　　
B.{0,1,2}
C.{1,2,3}　　　　
D.{-1,0,1,2,3}
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)因为A={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},B={x|2-x>0}={x|x<2},
所以A∩B={x|0≤x<2}.
(2)因为B={x∈N*|x2-2x-8<0}={x∈N*|(x-4)(x+2)<0}={x∈N*|-2 所以A∩B={x|-3 角度二　含参数的一元二次不等式
　　典例3　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解析　原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式可化为x-2a(x+1)≥0,
解得x≥2a或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为x-2a(x+1)≤0.
当2a>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤2a;
当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当2a<-1,即-2 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为xx≥2a或x≤-1;
当-2 当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为x-1≤x≤2a.
名师点评
1.解不含参数的一元二次不等式的步骤

2.解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;
(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;
(3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.

1.(2020河南部分重点中学模拟)集合A={x|x>2},B={x|x2-2x-3>0},则A∩B= (　　)
A.(3,+∞)　　　　
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(2,+∞)　　　　
D.(2,3)
答案　A　B={x|x2-2x-3>0}=(-∞,-1)∪(3,+∞),A={x|x>2},故A∩B=(3,+∞).
2.解不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解析　原不等式变形为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以ax-1a(x-1)<0.
当a>1,即1a<1时,解得1a 当a=1时,无解;
当01时,解得1 综上,当0 当a=1时,不等式的解集为⌀;
当a>1时,不等式的解集为x|1a 一元二次不等式恒成立问题
角度一　在R上恒成立问题
　　典例4　(2020大庆实验中学期中)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对于任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.(-∞,2)　　　　B.(-∞,2]
C.(-2,2)　　　　D.(-2,2]
答案　D　当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;当a-2≠0,即a≠2时,
有a-2<0,Δ=[-2(a-2)]2-4×(a-2)×(-4)<0,
解得-2 综上,实数a的取值范围是(-2,2].
角度二　在给定区间上恒成立问题
　　典例5　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是　　　　　　. 
答案　m0 解析　f(x)<-m+5可化为mx2-mx+m-6<0,
令g(x)=mx2-mx+m-6=mx-122+34m-6,m≠0,x∈[1,3].要使g(x)<0在[1,3]上恒成立,则g(x)在[1,3]上的最大值小于零.
当m>0时,易知g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,
解得m<67,则0 当m<0时,易知g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1)=m-6<0,
解得m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是m0 角度三　给定参数范围的恒成立问题
典例6　对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
解析　f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知,在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
所以g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0,g(1)=x-2+x2-4x+4>0,解得x<1或x>3.
故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.
名师点评
1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法:
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).
(2)转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.

1.(2020铁岭调研)若不等式4x2+ax+4>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-16,0)　　　　
B.(-16,0]
C.(-∞,0)　　　　
D.(-8,8)
答案　D　由题意知Δ=a2-4×4×4<0,即a2<64,解得-8 2.(2020湖北八校联考)若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对x∈(0,2]恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 
答案　-∞,1-32∪1+32,+∞
解析　∵x∈(0,2],∴a2-a≥xx2+1=1x+1x.
要使a2-a≥1x+1x在x∈(0,2]上恒成立,则a2-a≥1x+1xmax.由均值不等式得x+1x≥2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立.则1x+1xmax=12,故a2-a≥12,解得a≤1-32或a≥1+32.故实数a的取值范围为-∞,1-32∪1+32,+∞.
3.若mx2-mx-1<0对m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围是　　　　　. 
答案　1-32,1+32
解析　设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是一条直线,由题意得,g(m)<0在[1,2]上恒成立,
则g(1)<0,g(2)<0,即x2-x-1<0,2x2-2x-1<0,
解得1-32



A组　基础达标

1.(2020辽宁协作校模拟)已知a>b,则“c≤0”是“ac A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
2.已知集合M=x1x<1,N={x|x2-2x-3<0},则M∩N = (　　)
A.⌀　　　　 B.(-1,0)
C.(1,3)　　　　D.(-1,0)∪(1,3)
答案　D
3.(2020黑龙江哈尔滨第三中学模拟)已知a,b,c满足c A.ab>ac　　　　B.c(b-a)<0
C.cb20
答案　A
4.(2020安徽阜阳太和第一中学模拟)已知x>y,则下列各式中一定成立的是 (　　)
A.1x<1y　　　　B.x+1y>2 C.12x>12y　　　　D.2x+2-y>2
答案　D
5.(多选题)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为 (　　)
A.若a>b,则ac B.若ac2>bc2,则a>b
C.若aab>b2
D.若a>0>b,则|a|<|b|
答案　BC
6.(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是 (　　)
A.a121b-c
C.a+2b+2>ab　　　　D.ac2 答案　ABC　因为y=x12在(0,+∞)上是增函数,所以a121b−c.因为a+2b+2−ab=2(b-a)(b+2)b>0,所以a+2b+2>ab.当c=0时,ac2=bc2,所以D不正确.故选ABC.
7.(2020山西适应性测试)若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 (　　)
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)　　　　B.(-1,3)
C.(1,3)　　　　 D.(-∞,1)∪(3,+∞)
答案　A　由ax-b>0的解集为(1,+∞),可知a>0且ba=1,
令(ax+b)(x-3)=0,解得x1=-1,x2=3,
因为a>0,所以(ax+b)(x-3)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
8.(2020安徽宣城二中模拟)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是 (　　)
A.32,152　　　　B.[2,8]
C.[2,8)　　　　D.[2,7]
答案　C　因为4[x]2-36[x]+45<0,所以32<[x]<152,所以2≤x<8.
9.(2020江苏徐州第一中学模拟)给出下列三个论断:①a>b;②1a<1b;③a<0且b<0.
以其中的两个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出一个真命题:　　　　　　　　. 
答案　①③⇒②(或②③⇒①)
解析　①③⇒②:若a<0且b<0,则ab>0,又a>b,所以aab>bab,即1a<1b.
②③⇒①:若a<0且b<0,则ab>0,又1a<1b,所以1a×ab<1b×ab,即b 10.(2020江西南昌莲塘第一中学模拟)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解析　(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,
∴原不等式可化为a2-6a-3<0,
解得3-23 ∴原不等式的解集为{a|3-23 (2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
即-1+3=a(6-a)3,-1×3=-6-b3,
解得a=3±3,b=-3.

B组　能力拔高

11.(2020浙江绍兴嵊州模拟)若不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为 (　　)
A.[0,+∞)　　　　B.[-4,+∞)
C.[-4,4]　　　　 D.(-∞,-4]
答案　B　f(x)=x2+a|x|+4为偶函数,当a≥0,x>0时,f(x)=x2+ax+4,
因为x=-a2≤0, f(0)=4>0,所以不等式恒成立;
当a<0,x>0时, f(x)=x2+ax+4,
可得Δ=a2-16≤0,解得-4≤a<0.
综上,a∈[-4,+∞).
12.(多选题)(2020江西宜春模拟)函数f(x)=2 020x+sin(2 020x),若f(x2+x)+f(1-m)≥0恒成立,则实数m的取值范围为 (　　)
A.[1,+∞)　　　　B.-∞,34
C.[2,+∞)　　　　D.(-∞,1]
答案　B　因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=-2 020x-sin(2 020x)=-f(x),
f′(x)=2 020+2 020cos(2 020x)≥0,所以函数f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数.
于是f(x2+x)+f(1-m)≥0⇒f(x2+x)≥f(m-1)⇒x2+x≥m-1,
即m≤x2+x+1=x+122+34恒成立,所以实数m的取值范围为-∞,34.
13.(2020北京海淀质检)设a<0,若不等式-cos2x+(a-1)cos x+a2≥0对于任意的x∈R恒成立,则a的取值范围是　　　　. 
答案　(-∞,-2]
解析　令t=cos x,则t∈[-1,1],设f(t)=t2-(a-1)t-a2,则f(t)≤0对t∈[-1,1]恒成立,
∴f(-1)≤0,f(1)≤0⇒a-a2≤0,2-a-a2≤0,
∵a<0,∴a≤-2.
14.设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)<0的解集是(1,5),则f(x)=　　　　;若对于任意x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t有解,则实数t的取值范围为　　　　. 
答案　2x2-12x+10;[-10,+∞)
解析　由题意知,1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-b2=6,c2=5,解得b=
-12,c=10,所以f(x)=2x2-12x+10.不等式 f(x)≤2+t在x∈[1,3]时有解,等价于2x2-12x+8≤t在x∈[1,3]时有解,则只要t≥(2x2-12x+8)min即可,不妨设g(x)=2x2-12x+8,x∈[1,3],则g(x)在[1,3]上单调递减,
所以g(x)≥g(3)=-10,所以t≥-10.

C组　思维拓展

15.(多选题)不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,则下列各式中不成立的为 (　　)
A.|a+2b|≥2　　　　B.|a+2b|≤2
C.|a|≥1　　　　 D.b≤1
答案　ABC　因为不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},所以x1,x2是方程x2+ax+b=0的两个实数根,则x1x2=b,x1+x2=-a.
令a=-1,b=0,则x1=0,x2=1,但|a+2b|=1,所以A不成立;
令a=-2,b=1,则x1=x2=1,|a+2b|=4,所以B不成立;
令a=0,b=-1,则x1=-1,x2=1,|a|=0,所以C不成立;
b=x1x2≤x1+x222≤|x1|+|x2|22≤1,所以D中式子成立.
16.(2020四川仁寿第二中学模拟)已知函数f(x)=x2+ln(|x|+1),若对于x∈[-1,2], f(x2+2ax-2a2)<9+ln 4恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.-1 B.-1 C.a>2+62或a<2-62　　　　
D.2-62 答案　A　由题意得,函数f(x)=x2+ln(|x|+1)的定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)=(-x)2+ln(|-x|+1)=x2+ln(|x|+1)=f(x),
所以函数f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,
又9+ln 4=32+ln(|3|+1)=f(3),
所以不等式f(x2+2ax-2a2)<9+ln 4对于x∈[-1,2]恒成立等价于|x2+2ax-2a2|<3对于x∈[-1,2]恒成立,
即x2+2ax-2a2<3①,x2+2ax-2a2>-3②对于x∈[-1,2]恒成立.
令g(x)=x2+2ax-2a2-3,
则g(-1)=-2a2-2a-2<0,g(2)=-2a2+4a+1<0,
解得a>2+62或a<2-62,满足①式.
令h(x)=x2+2ax-2a2+3=0,
则当Δ=4a2+8a2-12<0,即-1 当Δ=4a2+8a2-12=0,即a=±1时,不满足②式;
当Δ=4a2+8a2-12>0,即a<-1或a>1时,
由h(-1)=1-2a-2a2+3>0,h(2)=4+4a-2a2+3>0,
且-a<-1或-a>2,知不存在a使②式成立.
综上所述,实数a的取值范围是-1