2020版一轮复习数学（理）江苏专版学案：第一章第一节集合的概念与运算

第一节集合的概念与运算

1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

N *或N＋




2．集合间的基本关系
表示
关系　　
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的任意一个元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等
A⊆B，且A≠B
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集
∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B
∅

3．集合的基本运算
表示
运算 　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合
{x|x∈A，且x∈B}

A∩B
并集
所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合
{x|x∈A，或x∈B}

A∪B
补集
全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合
{x|x∈U，且x∉A}

∁UA
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个．
(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B＝⇔A∪B＝.(考虑A是空集和不是空集两种情况)
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[小题体验]
1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.
答案：{1,8}
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.
答案：{1,6}
3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.
答案：{x|0≤x＜2}
4．设全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x＞3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．

答案：{2,3}

1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．
解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．因为A∪B＝{0,1,2}，所以B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．
答案：8
2．已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为________．
解析：因为a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.当a＝1时，若b＝3，则x＝4；若b＝4，则x＝5；若b＝5，则x＝6.同理，当a＝2时，若b＝3，则x＝5；若b＝4，则x＝6；若b＝5，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，则P中的元素共有4个．
答案：4
3．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a＞0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
解析：由题设条件得A＝{x|－x2＋x＋2＞0}＝{x|－1＜x＜2}，
B＝{x|x＞a}．
因为A⊆B，在数轴上表示出两集合如图所示，
故a≤－1.
答案：(－∞，－1]
4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，
根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，满足题意．
故m＝－.
答案：－

　
[题组练透]
1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．
解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
答案：9
2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．
解析：若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；
若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；
若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，
综上所述，a＝－1，故填{－1}．
答案：{－1}
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的值为0或.
答案：0或
4．(易错题)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1，m}，若3－m∈A，则非零实数m的值是________．
解析：由题意知，若3－m＝1，则m＝2，符合题意；若3－m＝2，则m＝1，此时集合B不符合元素的互异性，故m≠1；
若3－m＝3，则m＝0，不符合题意．
故m＝2.
答案：2
[谨记通法]
与集合中元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
　
[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有________个．
解析：由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
答案：4
2．已知集合A＝，B＝，则集合A，B的关系为________．
解析：x＝＋1＝，∵n∈Z，∴2n为偶数，∴2n＋1为奇数，2n＋3为奇数， ∴A＝B.
答案：A＝B
3．(2019·无锡期中)已知集合A＝{0,1,2}，集合B＝，且B⊆A，则实数x＝________.
解析：∵B＝且B⊆A，∴＝2，∴x＝.
答案：
[由题悟法]
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
[即时应用]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．
解析：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
所以A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C的个数为4.
答案：4
2．(2018·镇江二模)设集合A＝{2,4}，B＝{a2,2}(其中a＜0)，若A＝B，则实数a＝________.
解析：∵A＝{2,4}，B＝{a2,2}，且A＝B，∴a2＝4.又a＜0，∴a＝－2.
答案：－2
3．(2019·海门中学测试)已知集合A＝{1,3，}，B＝{2－x,1}．
(1)记集合M＝{1,4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2)是否存在实数x，使得B⊆A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题可知所以故x＋y＝19.
(2)假设存在实数x，使得B⊆A，则2－x＝3，或2－x＝.
若2－x＝3，则x＝－1，不合题意；
若2－x＝，则x＋－2＝0，解得x＝1，不合题意．
故不存在实数x，使得B⊆A.
　
[锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
(1)集合的运算；
(2)利用集合运算求参数；
(3)新定义集合问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：集合的运算
1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝________.
解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，
所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
答案：{1,2,4}
2．(2019·汇龙中学检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝________.
解析：因为∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}．
答案：{2,4,5}
角度二：利用集合运算求参数
3．(2019·苏州模拟)已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则实数a＝________.
解析：由题意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，而9∉U，所以a＝－4不满足题意，舍去；当a＝2时，|2a－1|＝3,3∈U，满足题意．故实数a的值为2.
答案：2
角度三：新定义集合问题
4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则AB＝________.
解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，结合Venn图可知AB＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
答案：{x|0≤x≤1或x＞2}
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
数形结合
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
新定义型问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决

[演练冲关]
1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，则P∩Q＝________.
解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}．
答案：{0,2}
2．(2018·苏州检测)设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＋b＝________.
解析：因为A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，所以5＝2a＋1，且5＝2＋b，解得a＝2，b＝3，所以a＋b＝5.
答案：5
3．(2019·南京师大附中检测)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.
解析：因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，
所以A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0＜x＜2}，
所以A⊗B＝{x|x＝0或x≥2}．
答案：{x|x＝0或x≥2}
4．(2018·泰州中学高三学情调研)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,3,6}，则(∁IA)∩B＝________.
解析：因为全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，所以∁IA＝{2,4,6}，又因为B＝{2,3,6}，所以(∁IA)∩B＝{2,6}．
答案：{2,6}

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝________.
解析：因为集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0＜x＜5}，所以A∩B＝{1,3}．
答案：{1,3}
2．定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．
解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．
答案：3
3．(2018·如皋高三上学期调研)集合A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，若A∪B＝{1,2,3}，则实数a的值为________．
解析：∵A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，且A∪B＝{1,2,3}，
∴a2＋2＝2，解得a＝0，即实数a的值为0.
答案：0
4．(2018·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________．
解析：因为A∩B＝{1,3,5}，所以C＝{1,3,5}，故集合C的子集的个数为23＝8.
答案：8

5．(2019·徐州期中)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，则集合B的子集个数是________．
解析：∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，
∴B＝{(1,2)，(2,3)，(1,3)，(1,4)}，
∴集合B的子集个数是24＝16.
答案：16
6．(2019·南通中学检测)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B.
因为A＝{x|y＝}＝{x|9－x2≥0}＝[－3,3]，
所以[－3,3]⊆[a，＋∞)，所以a≤－3.
答案：(－∞，－3]
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·常州调研)已知{1}⊆A⊆{1,2,3}，则这样的集合A有________个．
解析：根据已知条件知符合条件的A为：A＝{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，
∴集合A有4个．
答案：4
2．(2019·启东中学检测)已知集合A＝{x|0＜x≤6}，B＝{x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为________．
解析：因为A＝{x|0＜x≤6}，B＝{x∈N|2x＜33}＝{0,1,2,3,4,5}，所以A∩B＝{1,2,3,4,5}，即A∩B的元素个数为5.
答案：5
3．已知a≤1时，集合{x|a≤x≤2－a}中有且只有3个整数，则实数a的取值范围是________．
解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．
若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a＝0符合题意；
若区间端点不为整数，则区间长度2＜2－2a＜4，解得－1＜a＜0，此时，集合中有0,1,2三个整数，所以－1＜a＜0符合题意．
综上，实数a的取值范围是(－1,0].
答案：(－1,0]
4．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a＜x≤a＋3}，若B⊆(A∩B)，则实数a的取值范围为________．
解析：因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.
①当B＝∅时，满足B⊆A，此时－a≥a＋3，即a≤－.
②当B≠∅时，要使B⊆A，则解得－＜a≤－1.　
由①②可知，实数a的取值范围为(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
5．(2018·通州中学高三测试)设U＝R，A＝(a，a＋1)，B＝[0,5)，若A⊆∁UB，则实数a的取值范围是________．
解析：因为∁UB＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A⊆∁UB，所以a＋1≤0或a≥5，解得a≤－1或a≥5.
答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)
6．(2019·淮阴中学检测)设全集U为实数集R，已知集合A＝，B＝{x|1≤x≤2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．
解析：由题意知，集合A＝，阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝∩{x|1≤x≤2}＝.
答案：
7．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x＜1，且x∈Z}，则A∩B＝________.
解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x＜1，x∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
8．(2019·海安中学检测)已知集合M＝，N＝{y|y＝}，则(∁RM)∩N＝________.
解析：因为M＝＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以∁RM＝[0,2]，(∁RM)∩N＝[0,2]．
答案：[0,2]
9．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则B＝________.
解析：因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
由∁U(A∪B)＝{1,3}，
得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，
由A∩(∁UB)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁UB.
所以B＝{5,6,7,8,9}．
答案：{5,6,7,8,9}
10．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b 的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
11．(2019·启东检测)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，
(1)当a＝0时，求A∪B，A∩∁RB；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，A＝{x|0≤x≤3}，又B＝{x|－3≤x≤2}，
所以∁RB＝{x|x＜－3或x＞2}，
所以A∪B＝{x|－3≤x≤3}，A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}．
(2)因为A∩B＝A，所以A⊆B，
所以解得－3≤a≤－1，
所以实数a的取值范围为[－3，－1]．
12．(2018·南京高三部分学校联考)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，所以A＝[－1,5]．
由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞)．
所以M＝[3,5]．
(2)因为M∩C＝M，所以M⊆C，
则解得a≤2.
故实数a的取值范围为(－∞，2]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若 A⊆B，则整数m的最小值是________．
解析：由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．
由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，
因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.
答案：11

2．对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合AΔB＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合AΔB＝________.
解析：由题意知，要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以AΔB＝{1,6,10,12}．
答案：{1,6,10,12}
3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，
则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
(2)由A⊆B知解得m≤－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m＜1－m，即m＜时，需或
得0≤m＜或∅，即0≤m＜.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．