第二节　充分条件与必要条件,全称量词与存在量词学案

这是一份第二节　充分条件与必要条件,全称量词与存在量词学案，共15页。学案主要包含了易错点分析等内容，欢迎下载使用。

第二节　充分条件与必要条件,全称量词与存在量词
学习要求:
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.


　　1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)若p⇒q,则p是q的① 充分条件 ; 
(2)若q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)若既有p⇒q,又有q⇒p,则p是q的② 充要条件 ,记作p⇔q. 
▶提醒　(1)A是B的充分不必要条件是指A⇒B且B⇒/A;
(2)A的充分不必要条件是B是指B⇒A且A⇒/B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.
知识拓展
　　充要条件与集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
　　2.全称量词与全称量词命题
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.
(2)全称量词命题:含有③ 全称量词 的命题. 
(3)全称量词命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为④ ∀x∈M,p(x) . 
3.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词:短语“存在一个 ”“至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量词.
　　▶提醒　常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何”等;常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某一个”“有的”等.
(2)存在量词命题:含有⑤ 存在量词 的命题. 
(3)存在量词命题的符号表示:
形如“存在M中的元素x,使p(x)成立”的命题,用符号简记为⑥ ∃x∈M,p(x) . 
知识拓展
　　全称量词命题与存在量词命题的否定




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若p:x>1,q:x≥1,则p是q的充分不必要条件. (　　)
(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题. (　　)
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. (　　)
(4)若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.(　　)
答案　(1)√　(2)✕　(3)√　(4)√
2.(新教材人教B版必修第一册P40T9改编)设a,b∈R且ab≠0,则“ab>1”是“a>1b”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　D
3.(易错题)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定是(　　)
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2
D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2
答案　D
【易错点分析】　因不清楚全称量词命题或存在量词命题的否定致误.
4.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　A
5.(新教材人教B版必修第一册P28例1改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是　　　　　　　　　　. 
答案　有些表面积相等的三棱锥体积不相等


全称量词命题与存在量词命题
1.(2020广东广州模拟)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是　 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0
B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0
C.∃x∈[0,+∞),x3+x<0
D.∃x∈[0,+∞),x3+x≥0
答案　C　全称量词命题的否定是存在量词命题,所以,命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是“∃x∈[0,+∞),x3+x<0”,故选C.
2.(2020湖南长沙长郡中学模拟)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+3<0,则命题p的否定是 (　　)
A.∃x∈R,x2+2x+3>0　　　　
B.∀x∈R,x2+2x+3≤0
C.∀x∈R,x2+2x+3≥0　　　　
D.∀x∈R,x2+2x+3>0
答案　C　命题p为存在量词命题,其否定为∀x∈R,x2+2x+3≥0.
3.(2020四川宜宾调研)下列命题是假命题的是 (　　)
A.∃x∈R,sin x-cos x=3
B.∃x∈R,cos x≥1
C.∀x∈(0,+∞),x-1≥ln x
D.∀x∈0,π2,tan x>x
答案　A　因为y=sin x-cos x=2sinx-π4的值域为[-2,2],所以A是假命题;
因为cos x∈[-1,1],所以B是真命题;
令f(x)=x-1-ln x,则f′(x)=1-1x=x-1x,
当01时,f′(x)>0,
所以函数f(x)=x-1-ln x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)=x-1-ln x在x=1处取得极小值,也是最小值,为f(1)=0,
所以f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,所以C是真命题;
由y=tan x与y=x的图象(图略),可知∀x∈0,π2,tan x>x,所以D是真命题.
4.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　. 
答案　14,+∞
解析　当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=14-m,
由f(x)min≥g(x)min,得0≥14-m,所以m≥14.
名师点评
1.判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可.
2.含量词的命题中参数的取值范围问题,可根据命题的含义,利用函数的最值求解.
充分条件与必要条件的判断
　　典例1　(1)(2020浙江金华兰溪第三中学模拟)若a>0,b>0,则“lg(ab)>0”是“lg(a+b)>0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2020河南开封二模)“a2=1”是“函数f(x)=lg21-x+a为奇函数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)因为lg(ab)>0,所以ab>1,又a>0,b>0,所以a,b中至少有一个大于1,则a+b>1,所以lg(a+b)>0.当a=b=23时,符合a+b>1,即lg(a+b)>0,但是不符合ab>1,即lg(ab)>0,因此“lg(ab)>0”是“lg(a+b)>0”的充分不必要条件,故选A.
(2)a2=1时,a=±1,当a=-1时,f(x)=lg1+x1-x,定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(x)=-f(-x),所以函数f(x)=lg21-x+a为奇函数;当a=1时,f(x)=lg3-x1-x,f(x)≠-f(-x),所以函数f(x)=lg21-x+a不是奇函数.所以a2=1时,f(x)不一定为奇函数.当f(x)是奇函数时,由f(0)=0可得a=-1,则a2=1,所以“a2=1”是“函数f(x)=lg21-x+a为奇函数”的必要不充分条件,故选B.
名师点评
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立时,对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
▶提醒　判断条件之间的关系要注意条件之间关系的语句描述,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“A的一个充分不必要条件是B”的含义.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2019浙江,5,4分)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　由a>0,b>0,得4≥a+b≥2ab,即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立,故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,故选A.
2.(2020海南质检)设函数f(x)=2mx+1,x≥0,-x-1x,x<0,则“m>1”是“f [f(-1)]>4”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案　A　当m>1时,f[f(-1)]=f -(-1)-1-1=f(2)=22m+1>4,
当f [f(-1)]>4时,
f [f(-1)]=f-(-1)-1-1=f(2)=22m+1>4=22,
∴2m+1>2,解得m>12.
故“m>1”是“f[f(-1)]>4”的充分不必要条件.
充分、必要条件的应用
　　典例2　(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A.a≥9　　　　B.a≤9　　　　C.a≥10　　　　D.a≤10
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为　　　　. 
答案　(1)C　(2)[0,3]
解析　(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈[1,3],x2≤a”⇔a≥9.则a≥10是命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.
(2)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,
∴1-m≥-2,1+m≤10,1-m≤1+m,解得0≤m≤3,
故0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.
　　◆变式1　若将本例(2)中的条件“x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解析　由典例2(2)知P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的充分不必要条件,
∴x∈P⇒x∈S且x∈S⇒/x∈P.
∴[-2,10]⫋[1-m,1+m].
∴1-m≤-2,1+m>10或1-m<-2,1+m≥10,∴m≥9,
则m的取值范围是[9,+∞).
◆变式2　本例(2)条件不变,问:是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.
解析　不存在.理由:由典例2(2)知P={x|-2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴1-m=-2,1+m=10,无解,
∴不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
名师点评
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.




逻辑推理与数学抽象——突破双变量“存在性或任意性”问题

　　已知函数f(x)=3x2+2x-a2-2a,g(x)=196x−13,若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解析　f(x)=3x2+2x-a(a+2),则f′(x)=6x+2,由f′(x)=0得x=-13.
当x∈-1,-13时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈-13,1时, f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)min=f-13=−a2−2a−13.又由题意可知,f(x)的值域是-13,6的子集,
所以f(-1)≤6,-a2-2a-13≥-13,f(1)≤6,
解得-2≤a≤0,所以实数a的取值范围是[-2,0].

　　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,找到函数f(x)的值域和g(x)的值域的关系,从而构建关于参数的不等式组,求得参数的取值范围.

　已知函数f(x)=2x,x∈0,12,函数g(x)=kx-2k+2(k>0),x∈0,12,若存在x1∈0,12及x2∈0,12,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解析　由题意得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为2-2k,2-32k,并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-32k<0,解得k<12或k>43,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是12,43.


A组　基础达标

1.(2020浙江杭州第二中学模拟)在△ABC中,“cos Atan B”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
答案　C
2.(2020安徽淮北二模)已知f(x)是R上的偶函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)-f(x2)=0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
3.(2020天津北辰二模)“sin x=0”是“cos x=-1”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
4.(2020山东青岛检测)若直线l1:a2x-3y+2=0,l2:2ax+5y-a=0.p:a=0,q:l1与l2平行,则下列结论中正确的是(　　)
A.p是q的必要不充分条件
B.q是p的充分不必要条件
C.p是q的充分不必要条件
D.q是p的既不充分也不必要条件
答案　C
5.(多选题)下列命题中是真命题的是 (　　)
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N+,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lg x<1
D.∃x∈R,tan x=2
答案　ACD
6.(2020浙江,6,4分)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　B　当m,n,l在同一平面内时,它们可能相互平行,所以充分性不成立.当m,n,l两两相交时,因为三条直线m,n,l 不过同一点,所以它们必在同一平面内,必要性成立.故选B.
7.(多选题)已知a,b,c是实数,则下列结论正确的是 (　　)
A.“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B.“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D.“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
答案　CD　对于A,当a=-5,b=1时,满足a2>b2,但是ab,但是a2bc2得c≠0,则有a>b成立,即充分性成立,故正确;对于D,当a=-5,b=1时,|a|>|b|成立,但是ab,但是|a|<|b|,所以必要性也不成立,故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件.故选CD.
8.(多选题)下列命题错误的是 (　　)
A.∃x∈R,ex≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是ab=-1
D.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1
答案　ABC　根据指数函数的性质可得ex>0,故A错误;当x=2时,2x>x2不成立,故B错误;当a=b=0时,ab没有意义,故C错误;因为“若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1”的逆否命题为“若x,y∈R,且x,y都小于等于1,则x+y≤2”,是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC.
9.(2020湖南永州联考)命题“∃x∈(1,+∞),x2+x≤2”的否定为　　　　　　　　　. 
答案　∀x∈(1,+∞),x2+x>2
10.(2020西南名校联盟诊断性联考)若a,b为实数,则“a>b>0”是“πa>πb”的　　　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 
答案　充分不必要
解析　因为函数f(x)=πx为单调递增函数,所以当a>b>0时,f(a)>f(b),即πa>πb成立;当πa>πb,即f(a)>f(b)时,可得a>b,但是a>b>0不一定成立,
所以“a>b>0”是“πa>πb”的充分不必要条件.

B组　能力拔高

11.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 (　　)
A.充分而不必要条件　　　　
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
答案　C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+β)=sin β.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
12.(2020浙江杭州学军中学6月模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,则“an A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　充分性:若an 必要性:取数列{an}为0,1,1,1,…,此时Snn 13.(2020宁夏固原一中模拟)已知命题“∃x∈R,mx2-x+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　. 
答案　14,+∞
解析　若命题“∃x∈R,mx2-x+1<0”是假命题,则“∀x∈R,mx2-x+1≥0”为真命题,所以m>0,Δ=1-4m≤0,解得m≥14.
14.已知p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　;若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　. 
答案　1;4
解析　由|x|≤m(m>0),得-m≤x≤m.p是q的充分条件⇒-m≥-1,m≤4⇒0 p是q的必要条件⇒-m≤-1,m≥4⇒m≥4,则m的最小值为4.

C组　思维拓展

15.(2020河南高三核心模拟)已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案　(0,2]
解析　∵|x-1|≤2,∴-1≤x≤3,即p:-1≤x≤3.∵x2-2x+1-a2≥0(a>0),∴x≤1-a或x≥1+a,∴¬q:1-a ∴a>0,1-a≥-1,1+a≤3,解得0 ∴实数a的取值范围是(0,2].
16.已知函数f(x)=x2-x+1x-1(x≥2),g(x)=ax(a>1,x≥2).
(1)若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为　　　　; 
(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为　　　　. 
答案　(1)[3,+∞)　(2)(1,3]
解析　(1)f(x)=x2-x+1x-1=x+1x-1=x−1+1x-1+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立.若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则a2≤3,a>1,解得1