人教版七年级上册2.2 整式的加减学案

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学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型
T
C
T
授课日期及时段
教学内容
整式的加减（一）——合并同类项
【要点梳理】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．
（1）与； （2）与； （3）与； （4）与
【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：
解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；
（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同. “两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．
举一反三：
【变式】下列每组数中，是同类项的是( ) ．
①2x2y3与x3y2 ②-x2yz与-x2y ③10mn与 ④(-a)5与(-3)5
⑤-3x22 ⑥-125与
A．①②③ B．①③④⑥ C．③⑤⑥ D．只有⑥
【答案】C
2．（2014•咸阳模拟）已知﹣4xyn+1与是同类项，求2m+n的值．
【答案与解析】
解：由题意得：m=1，n+1=4，
解得：m=1，n=3．
∴2m+n=5．
【总结升华】考查了同类项定义．同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．
【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.
2．是同类项，求出m, n的值.
【答案与解析】因为 是同类项，
所以 ， 解得：
所以
【总结升华】概念的灵活运用.
举一反三：
【变式】如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（ ）
A. a=2，b=3 B. a=1，b=2 C. a=1，b=3 D. a=2，b=2
【答案】C
解：根据题意得：a+1=2，b=3，
则a=1．
【答案】6
类型二、合并同类项
3．合并下列各式中的同类项：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
【答案与解析】
解： (1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2
【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．
举一反三：
【变式】下列运算中，正确的是（ ）
A. 3a+2b=5ab B. 2a3+3a2=5a5 C. 3a2b﹣3ba2=0 D. 5a2﹣4a2=1
【答案】C
解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
3a2b﹣3ba2=0，C正确；
5a2﹣4a2=a2，D错误，
故选：C．
4．已知，求m+n-p的值．
【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．
【答案与解析】
解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7
解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，
∴ m+n-p＝1+4-9＝-4．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与的和是单项式，则 ， ．
【答案】4，2 ．
3．合并同类项：
；；
;
（注：将“”或“”看作整体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）
（2）
（3）原式=
（4）
【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】
化简：（1） （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
【答案】原式
（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)
=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2+3(a-2b).
4. 若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n= ﹣1 ．
【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．
【答案】-1
【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得
，
解得．
m+n=﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与可以合并，则 ， ．
【答案】
类型三、化简求值
5. 当时，分别求出下列各式的值．
（1）；
（2）
【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：
解：
又
所以，原式=
（2）先合并同类项，再代入求值．
解：
当p＝2，q＝1时，原式=．
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】
解: (1)原式，
当时，原式＝．
(2)原式，
当，时，原式＝．
5. 化简求值：
（1）当时，求多项式的值．
（2）若，
求多项式的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=
=
将代入，得：
（2）把当作一个整体，先化简再求值：
原式=
由可得：
两式相加可得：，所以有
代入可得：原式=
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】.
【答案】
类型四、“无关”与“不含”型问题
6.李华老师给学生出了一道题：当x，y时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?
【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．
【答案与解析】
解：
＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15
＝15
通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．
【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．
类型五、综合应用
6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.
【答案与解析】
法一：由已知
ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)
∴ 解得：
∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而解得
解得：
【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三：
【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.
【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1
∵ 此多项式的值与x的值无关，
∴ 解得:
当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.
【变式2】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．
【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：
因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，
又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，
所以有 ，．
【巩固练习一】
一、选择题
1．判断下列各组是同类项的有 ( ) ．
(1)0.2x2y和0.2xy2；(2)4abc和4ac；(3)-130和15；(4)-5m3n2和4n2m3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．下列运算正确的是( )．
A．2x2+3x 2＝5x4
B．2x2-3x2＝-x2
C．6a3+4a4＝10a7
D．8ab2-8ba2＝0
3．在下列单项式中，与2xy是同类项的是（ ）
A．2x2y2 B．3y C．xy D．4x
4．在下列各组单项式中，不是同类项的是( )．
A．和 B．-3和100 C．和 D．和
5．如果xy≠0，，那么a的值为( )．
A．0 B．3 C．-3 D．
6. 买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、7个篮球共需要（ ）元．
A． B． C． D．
7.计算a2+3a2的结果是（ ）．
A．3a2B．4a2 C．3a4D．4a4
二、填空题
8．写出的一个同类项 ．
9. 已知多项式合并后的结果为零，则的关系为： ．
10．若与是同类项，则．
11. 合并同类项，得 ．
中没有同类项的项是 ．
13.；．
14. 如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015= ．
三、解答题
15. 若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
16.化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
17. 已知关于x，y的代数式中不含xy项，求k的值.
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】 (1)0.2x2y和0.2xy2，所含字母虽然相同，但相同字母的指数不同，因此不是同类项．(2)4abc和4ac所含字母不同．(3)-130和15都是常数，是同类项．(4)-5m3n2和4n2m3所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项．
2．【答案】B
【解析】．
3.【答案】C
4．【答案】C
【解析】和中相同的字母的次数不相同．
5．【答案】D
【解析】与互为相反数，故．
6. 【答案】A
7. 【答案】B
【解析】a2+3a2=4a2．故选B．
二、填空题：
8. 【答案】（答案不唯一）
【解析】只要字母部分为“”，系数可以是除0以外的任意有理数．
9．【答案】
【解析】均为的系数，要使合并后为0，则同类项的系数和应为0 ．
10．【答案】1，3
11．【答案】
【解析】原式=．
12．【答案】
【解析】此多项式共有五项，分别是：，显然没有同类项的项为．
13．【答案】
14.【答案】1.
【解析】：由同类项的定义可知
a﹣2=1，解得a=3，
b+1=3，解得b=2，
所以（a﹣b）2015=1．
三、解答题
15.【解析】解：由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，得，
解得．
当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．
16．【解析】
解：（1）原式==
（2）原式==
（3）原式==
（4）原式==
17. 【解析】
解：
因为不含项，所以此项的系数应为0，即有：，解得：.
∴.
【巩固练习二】
一、选择题
1.下列各组中，不是同类项的是（ ）
A. 52与25 B. ﹣ab与ba C.2b与﹣a2b D. a2b3与﹣a3b2
2．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
3． 三角形的一边长等于m+n，另一边比第一边长m-3，第三边长等于2n-m，这个三角形的周长等于( )．
A．m+3n-3 B．2m+4n-3 C．n-n-3 D．2，n+4n+3
4. 若为自然数，多项式的次数应为 （ ）．
A． B． C．中较大数 D．
5. 已知关于的多项式合并后的结果为零，则下列关于说法正确的是 （ ）．
A．同号 B．均为0 C．异号 D．互为相反数
6. 如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“?”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“?”所代表的单项式可能是( )．
A．6 B．d C．c D．e
7．若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是( )．
A．十四次多项式 B．七次多项式
C．不高于七次的多项式或单项式 D．六次多项式
二、填空题
1. （1）；（2）；（3）
2. 找出多项式中的同类项 、 、 。
3.（2015春•濮阳校级期中）如果﹣xm﹣1y2与是同类项，则m+n= ．
4．当k＝________时，代数式中不含xy项．
5．按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是 ．
6．把正整数依次排成以下数阵：
2， 4 ， 7，… …
5， 8，… …
6， 9， … …
10， … …
如果规定横为行，纵为列，如8是排在2行3列，则第10行第5列排的数是____________
三、解答题
1. 若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
2．先化简，再求值．
(1)，其中x＝-2，；
(2)．其中a＝1，b＝-2．
3．试说明多项式的值与字母x的取值无关．
4．要使关于的多项式不含三次项，求的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
3．【答案】B
【解析】 另一边长为，周长为．
4．【答案】C
【解析】是常数项，次数为0，不是该多项式的最高次项．
5．【答案】D
【解析】，所以应有即互为相反数．
6．【答案】D
【解析】题中“?”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“?”所代表的单项式可能是e，故选D．
7．【答案】C
二、填空题
1. 【答案】
2. 【答案】
3. 【答案】；
【解析】．
4. 【答案】
【解析】合并同类项得：．由题意得．故．
5. 【答案】12
【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入x的值输入计算即可．
由表列代数式：（x3﹣x）÷2
∵x=3，∴原式=（27﹣3）÷2=24÷2=12．
6. 【答案】101
【解析】第10行的第一个数是：1+2+3+…+10=55，第10行的第5个数是：55+10+11+12+13=101．
三、解答题
1.【解析】解：由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，得，
解得．
当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．
2．【解析】（1）原式．当，时，原式＝1；
（2）原式，当，时，原式＝5．
3.【答案】5
【解析】根据题意得：m﹣1=2，n=2，则m=3，n=2．故m+n=3+2=5．
4．【解析】原式=
要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0，所以有：
，即有：
所以．