新疆喀什地区莎车县2021年高三上学期期中数学试卷（含答案解析）

这是一份新疆喀什地区莎车县2021年高三上学期期中数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年新疆喀什地区莎车县高三（上）期中数学试卷
（附教师版答案详细解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4i
B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5
D．z在复平面内对应的点在第二象限
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（　　）
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}
C．A∪∁RB＝{x|x≤﹣1或x＞2} D．A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}
3．（5分）我国明代数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是利用数学使音律公式化第一人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，将八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表表示，其中表示这些半音的频率，它们满足（i＝1，2，…，12）．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（　　）
频率
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
半音
C
C#
D
D#
E
F#
F
G
G#
A
A#
B
C
A．F B．G C．G# D．A
4．（5分）在锐角△ABC中，已知cosA（sinB+cosB）＝sinC，则下列正确的结论为（　　）
A． B． C．A＝B D．
5．（5分）已知（x3+a）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）
A．80 B．160 C．240 D．320
6．（5分）设2a＝5b＝m，且+＝2，则m等于（　　）
A． B．10 C． D．20
7．（5分）已知非零向量与满足＝且，则△ABC为（　　）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，四边形BCED是菱形，，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（　　）

A． B．2π C．4π D．8π
9．（5分）7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（　　）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
10．（5分）已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，点A，B，C是f（x）与g（x）图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知数列{an}满足3a1＝1，n2an+1﹣an2＝n2an（n∈N*），则下列选项正确的是（　　）
A．{an}是递减数列
B．{an}是递增数列，且存在n∈N*使得an＞1
C．
D．
12．（5分）已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）＝ex+sinx﹣x，若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为（　　）
A．﹣1或 B．1或 C．﹣1或2 D．﹣2或1
二、填空题（共20分）
13．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的动直线交C于A，B两点，线段AB的中点为N，点P（12，4）．当|NA|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为 　 　．
14．（5分）设等差数列{an}、{bn}、{cn}、{dn}的前n项和分别为An、Bn、∁n、Dn.＝2021，A4+B4+C4+D4＝2015，A2021+B2021+C2021+D2021＝　 　．
15．（5分）如图，已知三个两两互相垂直的半平面α，β，γ交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面γ内，顶点A，D分别在半平面α，β内，AD＝2，AB＝3，AD与平面α所成角为，二面角A﹣BC﹣O的余弦值为，则同时与半平面α，β，γ和平面ABCD都相切的球的半径为 　 　．

16．（5分）已知点F为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若△OAF（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率e∈[]，则a的取值范围为　 　．
三、解答题（共70分）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，求角C；
（Ⅱ）若b2（1+tanA）＝（c2﹣a2）（1﹣tanA），求角C．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，，点D，E分别为AC和B1C1的中点．
（1）棱AA1上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）求点A到平面BDE的距离．

19．（12分）某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利75周年”知识竞赛（满分100分），成绩统计如表：
女教师成绩分布表
成绩分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
2
3
m
8
男教师成绩分布表
成绩分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
1
3
10
n
2
（1）试估计所有老师成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若分数为80分及以上为优秀，低于80分为非优秀，请完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩优秀与性别有关？

女教师
男教师
总计
优秀



非优秀



总计



附，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0），B（2，0），三点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A，B的任意一点，F（﹣1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求△DFH内心的坐标．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x+（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝2x2﹣mex（e＝2.718…为自然对数的底数），当a＝﹣e时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），求实数m的取值范围．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（4﹣3sin2θ）＝4．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M在直线l上，点N在曲线C上，求|MN|的最小值．

2021-2022学年新疆喀什地区莎车县高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4i
B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5
D．z在复平面内对应的点在第二象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：∵＝，
∴z的共轭复数为1﹣4i．
故选：B．
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（　　）
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}
C．A∪∁RB＝{x|x≤﹣1或x＞2} D．A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}
【分析】化简集合B，根据交集、并集和补集的定义判断即可．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}，选项A错误；
A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}，选项B错误；
∁RB＝{x|x＜﹣2或x＞2}，所以A∪∁RB＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，选项C错误；
A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}，选项D正确．
故选：D．
3．（5分）我国明代数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是利用数学使音律公式化第一人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，将八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表表示，其中表示这些半音的频率，它们满足（i＝1，2，…，12）．若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为（　　）
频率
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
半音
C
C#
D
D#
E
F#
F
G
G#
A
A#
B
C
A．F B．G C．G# D．A
【分析】推导出数列{xn}（n＝1，2，3，…，13）是公比q＝的等比数列，再由D#对应的频率为x4，得到题中所求的半音与D#的频率之比为＝（）4，由此能求出结果．
【解答】解：依题意可知，xn＞0，（n＝1，2，3，…，12，13），
∵x1，x2，x3，…，x13满足（i＝1，2，…，12）．
∴（）12＝2，∴，
∴数列{xn}（n＝1，2，3，…，13）是公比q＝的等比数列，
D#对应的频率为a4，
题中所求的半音与D#的频率之比为＝＝（）4，
∴所求的半音对应的频率为：＝x8，
∴若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为G．
故选：B．
4．（5分）在锐角△ABC中，已知cosA（sinB+cosB）＝sinC，则下列正确的结论为（　　）
A． B． C．A＝B D．
【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正弦公式进行化简，然后结合同角基本关系可求tanA，进而可求A．
【解答】解：因为cosA（sinB+cosB）＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，
所以cosB（sinA﹣cosA）＝0，
由题意B为锐角，
所以cosB＞0，
所以sinA＝cosA，即tanA＝，
故A＝．
故选：A．
5．（5分）已知（x3+a）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）
A．80 B．160 C．240 D．320
【分析】利用的展开式的通项Tr+1＝，（r＝0，1，2，3，4，5，6），即可求解．
【解答】解：（x3+a）的展开式中各项系数的和为3，
故令x＝1，则（1+a）（2﹣1）6＝3，解答a＝2，
所以（x3+a）＝（x3+2），
的展开式的通项为Tr+1＝，（r＝0，1，2，3，4，5，6）
故该展开式中常数项为：+2＝320．
故选：D．
6．（5分）设2a＝5b＝m，且+＝2，则m等于（　　）
A． B．10 C． D．20
【分析】推导出a＝log2m，b＝log5m，从而+＝logm2+logm5＝logm10＝2，由此能求出结果．
【解答】解：∵2a＝5b＝m，且+＝2，
∴a＝log2m，b＝log5m，
∴+＝logm2+logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10，解得m＝．
故选：A．
7．（5分）已知非零向量与满足＝且，则△ABC为（　　）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【分析】根据＝得出B＝C，得出A＝，
由此判断△ABC是等边三角形．
【解答】解：△ABC中，＝，
∴＝，
∴cos＜，＞＝cos＜，＞，
∴B＝C，△ABC是等腰三角形；
又，
∴1×1×cosA＝，
∴cosA＝，A＝，
∴△ABC是等边三角形．
故选：D．
8．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，四边形BCED是菱形，，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（　　）

A． B．2π C．4π D．8π
【分析】将三棱锥的直观图还原，求解三角形可得BD⊥AD，BC⊥AC．取AB的中点O，则O为三棱锥A﹣BCD外接球的球心，求出半径，代入外接球的表面积公式得答案．
【解答】解：将三棱锥A﹣BCD的直观图还原，如图所示，
则，
∴BD2+DA2＝AB2，BC2+CA2＝AB2，则BD⊥AD，BC⊥AC．
取AB的中点O，连接OD，OC，则OA＝OB＝OC＝OD，
∴O为三棱锥A﹣BCD外接球的球心，半径R＝1，
故三棱锥A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝4π．
故选：C．

9．（5分）7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（　　）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
【分析】本题是一个分步计数问题，甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960．
故选：C．
10．（5分）已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，点A，B，C是f（x）与g（x）图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，由题意，数形结合，可得∠ACB＜，由tan∠ACB＝＝＜1，求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+）＝cosωx，ω＞0，将f（x）的图象向右平移个单位，
得到函数g（x）＝cos（ωx﹣）的图象，如图：

点A，B，C是f（x）与g（x）图象的连续相邻的三个交点，（不妨设B在x轴下方），
D为AC的中点，由对称性，则△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，
AC＝T＝，由cosωx＝cos（ωx﹣），
整理可得cosωx＝sinωx，可得cosωx＝±，
则yC＝﹣yB＝，所以BD＝2|yB|＝，要使△ABC为钝角三角形，
只需∠ACB＜即可，
由tan∠ACB＝＝＜1，
所以0＜ω＜•π．
故选：D．
11．（5分）已知数列{an}满足3a1＝1，n2an+1﹣an2＝n2an（n∈N*），则下列选项正确的是（　　）
A．{an}是递减数列
B．{an}是递增数列，且存在n∈N*使得an＞1
C．
D．
【分析】依题意可得，即an+1＞an，即数列{an}为单调递增数列；在等式的两边同时除以anan+1，可知，再通过放缩累加可判断选项BCD，由此得出答案．
【解答】解：由于3a1＝1，则，
又，则，可得出，
且对任意n∈N•，an＞0，则，即an+1＞an，
∴数列{an}为单调递增数列，故选项A错误；
在等式的两边同时除以anan+1，可得＝，其中n≥2，n∈N•，
∴，
累加得，，
∴，则，故选项C正确，选项B错误；
对于，
∴，
累加得，，可得，则，
∴，故选项D错误．
故选：C．
12．（5分）已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）＝ex+sinx﹣x，若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为（　　）
A．﹣1或 B．1或 C．﹣1或2 D．﹣2或1
【分析】先利用已知的等式以及函数的奇偶性求出g（x），通过分析可得g（x﹣2020）关于x＝2020对称，3|x﹣2020|关于直线x＝2020对称，由题意可得f（2020）＝0，且g（0）＝1，代入求解即可．
【解答】解：因为g（x）+h（x）＝ex+sinx﹣x①，
又函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
则g（﹣x）+h（﹣x）＝e﹣x﹣sinx+x，即g（x）﹣h（x）＝e﹣x﹣sinx+x②，
①+②可得，，
由于y＝|x﹣2020|关于直线x＝2020对称，
则y＝3|x﹣2020|关于直线x＝2020对称，
因为g（x）为偶函数，则y＝g（x）关于y轴对称，
所以g（x﹣2020）关于x＝2020对称，
由于函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，
则必有f（2020）＝0，且g（0）＝1，
即f（2020）＝30﹣λg（0）﹣2λ2＝1﹣λ﹣2λ2＝0，
解得λ＝﹣1或．
故选：A．
二、填空题（共20分）
13．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的动直线交C于A，B两点，线段AB的中点为N，点P（12，4）．当|NA|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为 　9　．
【分析】分别过点A，B，N作准线的垂线，垂足为A1，B1，M，结合抛物线的定义，推出|NA|+|NP|＝|MN|+|NP|，可判断出当M，N，P三点共线时，|MN|+|NP|取得最小值，此时yN＝yP＝4，再结合点差法，即可得解．
【解答】解：分别过点A，B，N作准线的垂线，垂足为A1，B1，M，如图所示，
由抛物线的定义知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝2|MN|，
∴|NA|+|NP|＝|AB|+|NP|＝|MN|+|NP|，
故原问题可转化为|MN|+|NP|的最小值问题，
当M，N，P三点共线时，|MN|+|NP|取得最小值，此时yN＝yP＝4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
两式相减得，＝＝＝＝，即直线AB的斜率为，
又直线AB经过点F（1，0），
∴直线AB的方程为y＝（x﹣1），
把yN＝4代入，得4＝（xN﹣1），解得xN＝9，
∴当|NA|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为9．

故答案为：9．
14．（5分）设等差数列{an}、{bn}、{cn}、{dn}的前n项和分别为An、Bn、∁n、Dn.＝2021，A4+B4+C4+D4＝2015，A2021+B2021+C2021+D2021＝　﹣2060599474　．
【分析】4个数列{an}、{bn}、{cn}、{dn}是等差数列，它们的和也是等差数列，新数列{pn}的首项为4个数列的首项和，公差为4个数列公差和，通过P4，P1 求出公差，再运用求和公式即可求解．
【解答】解：∵{an}、{bn}、{cn}、{dn}是等差数列，设pn＝an+bn+cn+dn，
∴{pn}也为等差数列，
设前n项和Pn，公差为d，
∵p1＝＝2021，P4＝A4+B4+C4+D4＝2015，
∴4p1+6d＝2015，
∴d＝﹣，
∴P2021＝2021×2021+＝2021×（2021﹣505×2023）＝﹣2060599474，
故答案为：﹣2060599474．
15．（5分）如图，已知三个两两互相垂直的半平面α，β，γ交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面γ内，顶点A，D分别在半平面α，β内，AD＝2，AB＝3，AD与平面α所成角为，二面角A﹣BC﹣O的余弦值为，则同时与半平面α，β，γ和平面ABCD都相切的球的半径为 　或　．

【分析】首先将几何体补形为一个长方体，然后利用垂直关系将原问题转化为求解三棱锥内切球的半径的问题，最后利用等体积法求解其半径即可．
【解答】解：如图所示，考查矩形ABCD所在的平面，将其补形为一个长方体，然后以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

由AD＝2，直线AD与平面α所成角为可得，
作AP⊥底面于点P，很明显AD⊥平面APB，从而BC⊥BP，∠PBA即为二面角A﹣BC﹣O的平面角，其余弦值为，则，
故，，
从而：，
设平面ABCD的法向量，则：
，
令x＝2可得y＝2，z＝1，从而，
设平面ABCD与x，y，z轴的交点分别为：P1（x，0，0），P2（0，y，0），P3（0，0，z），
则：，∴，
，∴，
，∴，
原问题进一步等价于求三棱锥O﹣P1P2P3的内切球半径，
由于，
故△P1P2P3是等腰三角形，其面积为：，
三棱锥的表面积为：，
其体积为：，
设外接球半径为R，利用等体积法有：，
即，∴．
同理，当球在三棱锥外面与四个面都相切时可得球的半径为．
故答案为：或．
16．（5分）已知点F为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若△OAF（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率e∈[]，则a的取值范围为　[，1]　．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，转化求解三角形的面积，结合离心率转化求和a的范围即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：bx+ay＝0，右焦点F（c，0），|AF|＝＝b，则|AO|＝a，
△OAF（点O为坐标原点）的面积为2，可得ab＝2，ab＝4，e2＝，
所以，因为a＞0，解得．
故答案为：[，1]．
三、解答题（共70分）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，求角C；
（Ⅱ）若b2（1+tanA）＝（c2﹣a2）（1﹣tanA），求角C．
【分析】（Ⅰ）根据两角和的余弦公式求出C的余弦值，求出C的值即可；
（Ⅱ）结合余弦定理求出C的正切值，求出C的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，
则cosAcosB﹣sinAsinB＝﹣，
故，
所以，；
（Ⅱ）若b2（1+tanA）＝（c2﹣a2）（1﹣tanA），显然，
所以，
又由tanA≠0得到tanC＝﹣1，故．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，，点D，E分别为AC和B1C1的中点．
（1）棱AA1上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）求点A到平面BDE的距离．

【分析】（1）存在点P满足题意，且．取A1C1 的中点F，连接EF，AF，DF．证明BD⊥AC，可得BD⊥AF，再求解三角形证明AF⊥PD，可得AF⊥平面PBD，进一步得到平面PBD⊥平面ABE；
（2）以D为坐标原点，分别以DB，DC，DF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BDE的一个法向量及的坐标，由可得点A到平面BDE的距离．．
【解答】解：（1）存在点P满足题意，且．
证明如下：取A1C1 的中点F，连接EF，AF，DF．
则EF∥A1B1∥AB，∴AF⊂平面ABE，
∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，
∴BD⊥平面ACC1A1，则BD⊥AF，
在平面ACC1A1内，，∠PAD＝∠ADF＝90°，
∴Rt△PAD∽Rt△ADF，从而可得AF⊥PD，
又∵PD∩BD＝D，∴AF⊥平面PBD，
∵AF⊂平面ABE，∴平面PBD⊥平面ABE；
（2）以D为坐标原点，分别以DB，DC，DF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（，0，0），A（0，，0），E（，，1），
∴，，．
设平面BDE的一个法向量为，
由，取y＝4，得．
∴点A到平面BDE的距离为．

19．（12分）某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利75周年”知识竞赛（满分100分），成绩统计如表：
女教师成绩分布表
成绩分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
2
3
m
8
男教师成绩分布表
成绩分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
1
3
10
n
2
（1）试估计所有老师成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若分数为80分及以上为优秀，低于80分为非优秀，请完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩优秀与性别有关？

女教师
男教师
总计
优秀



非优秀



总计



附，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）根据成绩分布表数据，结合平均数公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题设可知，m＝12，n＝4，
设所有教师成绩的平均分为，
则＝（5+1）×55+（2+3）×65+（3+10）×75+（12+4）×85+（8+2）×95＝78.8分．
（2）2×2列联表如下：

女老师
男老师
总计
优秀
20
6
26
非优秀
10
14
24
总计
30
20
50
∵6.464＜6.635，
∵故没有99%的把握认为这次竞赛成绩优秀与性别有关．
20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0），B（2，0），三点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A，B的任意一点，F（﹣1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求△DFH内心的坐标．
【分析】（Ⅰ）设椭圆标准方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），然后将已知点的坐标代入，解出即可；
（Ⅱ）设△DFH中FH边上的高为h，而S△DFH＝h，易知当点D在椭圆的上顶点时，h最大值为，再设△DFH的内切圆半径为R，由即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），
依题意，，解得，
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）易知|FH|＝2，设△DFH中FH边上的高为h，则，
当点D在椭圆的上顶点时，h最大值为，则S△DFH的最大值为，
设△DFH的内切圆半径为R，由于△DFH的周长为定值6，则，
∴R的最大值为，
∴内切圆的圆心坐标为．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x+（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝2x2﹣mex（e＝2.718…为自然对数的底数），当a＝﹣e时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），求实数m的取值范围．
【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论．
（2）分别求出函数g（x1）和f（x2）的最小值，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝+﹣＝＝，
①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞2a，即f（x）的单调递增区间是（2a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2a，即单调递减区间是（0，2a）．
②当a＜0时，由f′（x）＞0得x＞﹣6a，即f（x）的单调递增区间是（﹣6a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜﹣6a，即单调递减区间是（0，﹣6a）．
（2）当a＝﹣e时，由（1）知，函数f（x）在（﹣6a，+∞）上递增，在（0，﹣6a）上递减，
即当x＝﹣6a＝e∈（1，3）时，函数取得极小值，同时也是最小值f（e）＝alne+e+＝﹣e+e+e＝e．
若对任意x1∈[1，4]，存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），
即等价为g（x1）≥e即可，
由2x2﹣mex≥e得2x2﹣e≥mex，
即m≤，
设h（x）＝，则h′（x）＝＝＝，
由h′（x）＝0，得x＝1+，或x＝1﹣（舍），
即当1＜x＜1+时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，
当1+＜x＜4时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，
则当x＝时，h（x）取得极大值同时也是最大值，
∵h（1）＝＝﹣，h（4）＝＝﹣，
∴h（1）＜h（4），
即函数h（x）的最小值为h（1）＝﹣，
则m≤﹣．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（4﹣3sin2θ）＝4．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M在直线l上，点N在曲线C上，求|MN|的最小值．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（为参数），消去参数转换为普通方程为4x+3y﹣11＝0．
曲线C的极坐标方程为ρ2（4﹣3sin2θ）＝4，根据，转换为直角坐标方程为．
（Ⅱ）设N（cosβ，2sinβ），点N到直线l的距离d＝＝，
当sin（β+θ）＝1时，．