新疆喀什地区伽师县2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份新疆喀什地区伽师县2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、在空间直角坐标系Oxyz中,已知,,,,则以下错误的是( )
A.B.,夹角的余弦值为
C.A,B,C,D共面D.点O到直线AB的距离是
2、已知点,,则直线AB的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3、若椭圆上一点A到焦点的距离为3,则点A到焦点的距离为( )
A.6B.5C.4D.3
4、已知P，Q分别是直线和圆上的动点，圆C与x轴正半轴交于点，则的最小值为( )
A.B.2C.D.
5、已知椭圆,双曲线,其中.若与的焦距之比为,则的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
6、已知a,b都是实数,那么“”是“方程表示圆”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7、三棱柱中,记,,,则( )
A.B.C.D.
8、已知向量,,,,的夹角为,若存在实数m使得,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.已知直线与直线垂直,则实数a的值是
B.直线必过定点
C.直线在y轴上的截距为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
10、已知点P在曲线上,点P与点Q关于y轴对称,点P与点R关于x轴对称,点R与点S关于直线对称,则下列说法正确的是( )
A.点Q与点R关于原点对称
B.点S在曲线
C.设O为坐标原点,的值不随点P位置的改变而改变
D.当且仅当点P与点Q重合时,取最小值
11、在三棱锥中,DA,DB,DC两两垂直,且,E为BC的中点,则直线AE和BC( )
A.垂直B.相交C.共面D.异面
12、在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的离心率为,且双曲线C的左焦点在直线上,A,B分别是双曲线C的左,右顶点,点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点,记PA,PB的斜率分别为,,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为B.双曲线C的方程为
C.为定值D.存在点P,使得
三、填空题
13、在正方体中,E为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_________.
14、已知圆C的方程为,则它的圆心坐标为__________.
15、抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点,经过C的焦点F射向C上的点Q,再反射后沿平行x轴的方向射出,若两平行线间的最小距离是4,则C的方程是____________.
16、已知函数,则___________;的最大值为___________
四、解答题
17、已知的三个顶点是,,,求:
（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程;
（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程.
18、在中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知.
（1）求;
（2）若,D为AC的中点;且,求的面积.
19、已知直线,.圆C满足条件:
①经过点;
②当时,被直线平分;
③与直线相切.
（1）求圆C的方程;
（2）对于,求直线与圆C相交所得的弦长为整数的弦共有几条.
20、已知直三棱柱中,,E,F分别为AC和的中点,D为棱上的点,.
（1）证明:;
（2）若D为中点,求平面与平面DFE所成锐角的余弦值.
21、如图,四棱锥的底面是平行四边形,,,,,点M在侧棱PD上,且.
（1）证明:平面平面PAD;
（2）求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值.
22、如图,在平面直角坐标系xOy中,圆与x轴的正半轴交于点A,以点A为圆心的圆与圆O交于B,C两点.
（1）当时,求BC的长;
（2）当变化时,求的最小值;
（3）过点的直线l与圆A切于点D,与圆O分别交于点E,F,若点E是DF的中点,试求直线l的方程.
参考答案
1、答案：B
解析:因为,,
所以,A正确,
因为,所以,所以A,B,C,D共面,所以C正确,
,夹角的余弦值为,所以B错误,
因为,所以,
所以点O到直线AB的距离是,D正确.
故选:B.
2、答案：A
解析:设直线AB的倾斜角为,
因为,,
所以直线AB的斜率,即,
因为,所以.
故选:A
3、答案：B
解析:椭圆,可得.
椭圆上一点A到焦点的距离为3,则点A到焦点的距离为,
由椭圆的定义可得:,解得,
故选:B.
4、答案：C
解析：如图，圆的圆心为，半径.
设点关于的对称点为，
则，解得，即.
连接BO，交直线于点P，交圆于点Q，
此时取得最小值为.
故选C.
5、答案：A
解析:椭圆,双曲线,其中.与的焦距之比为,
可得,可得,
所以双曲线的渐近线方程:.
故选:A.
6、答案：A
解析:因为,所以,
所以,即,
由能推出,反之不成立,
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选:A.
7、答案：C
解析:如图,根据向量的加减法运算法则得:
故选:C.
8、答案：C
解析:,则,,
则,
故,,
由题意可知,.
故选:C.
9、答案：BC
解析:若直线与直线垂直,则,解得或,A错误;
由可得,故直线恒过定点,B正确;
直线在y轴上的截距为,C正确;
经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或,D错误.
故选:BC.
10、答案：ACD
解析:依题意作图如下
对于A,设点P坐标为,其中,则,,
Q,R两点的横坐标与纵坐标都互为相反数,故Q与R关于原点对称,A正确;
对于B,设点S的坐标为,S与R连线段的中点为B,
由于S与R关于对称,所以B必然在直线上,并且直线SR与直线垂直,
则:①,②,联立①②,解得,,即S点的坐标为,即,将S点坐标代入,得,矛盾,故B错误;
对于C,延长PS,交x轴于C点,设,,直线PO的倾斜角为,则,,,
,
由于,所以,故,不随点P位置的改变而改变,C正确;
对于D,由两点间的距离公式得:,
设,则,在上为负,在上为正,故在上单调减,在上单调增,当时,取得最小值为1,此时取最小值是2,且P与Q重合,故D正确.
故选:ACD.
11、答案：ABC
解析:因为E为BC的中点,则直线AE和BC相交于点E,所以选项B,C正确,选项D不正确.因为E为BC的中点,所以,
因为在三棱锥中,DA,DB,DC两两垂直,且,
所以,
所以,故选项A正确.
故选:ABC.
12、答案：BC
解析:直线与x轴交点为,故双曲线的左焦点为,,又双曲线的离心率为,
,由可得,
双曲线C的方程为,渐近线方程为,故A错误,B正确;
双曲线的左顶点为,右顶点为
设,则,
,
则,
故C正确;
,
在第一象限,渐近线方程为,
,即,故,,故D错误.
故选:BC.
13、答案：
解析:在正方体中,为中点,
以D为原点,建立空间直角坐标系,
设正方体中棱长为2,
则,,,,,,
设异面直线与所成角为,
则.
异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
14、答案：
解析:圆C的方程为,即,
则圆心坐标为.
故答案为:.
15、答案：
解析:由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点,
当直线PQ斜率不存在时,易得;当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为,,,
由,得,整理得,所以,,所以;
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为4,故,抛物线方程为.
故答案为:.
16、答案：,3
解析:,
,
当时,取得最大值3,
故答案为:,3.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）是高AD所在直线的一个法向量,
故;
（2）BC的中点,是BC边所在直线的一个方向向量,
故.
18、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）因为,由正弦定理得
因为,
所以,
因为,所以,所以,
因为,所以.
（2）因为D为AC的中点所以
两边平方得,
即,即,
解得或(舍),
所以.
19、答案：（1）;
（2）7条.
解析:（1）由②可知圆C的圆心在直线上,
故可设圆C的方程为
由①③,圆心到点P与到直线的距离相等,
即,
解得,.
所以,圆C的方程为
（2）由可得:
令,
直线过定点,
又,
,在C内,
直线与C交于两点,设为A,B.
当直线过圆心C时,AB取最大值10,此时
当直线时,AB取最小值,,
,而此时m不存在,所以,
故弦长为整数的值有,,各有2条,而时有1条,故弦长为整数的弦共有7条.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:直三棱柱所以,,又因为,所以BA,BC,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
,
设,,
因为,所以.
（2）因为D为中点,,
,
令,因为,
,
所以平面DEF的法向量为,
平面的法向量为,
因为平面DEF与平面平面夹角的为锐角,
所以平面与平面DFE的夹角的余弦值为.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:因为底面ABCD是平行四边形,且,
所以底面ABCD是矩形,
所以有,又,且,AD,平面PAD,
所以平面PAD,又平面PAB,所以平面平面PAD;
（2）取AD的中点O,因为,可得,由（1）可得,而,且AB,平面ABCD,所以平面ABCD.所以以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以,,,,,.
设,由.有,
可得,,,所以.所以,,,,
设平面PAB的法向量为,则有,可取设平面MAC的法向量为,则有,可取,设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为,则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.
22、答案：（1）
（2）
（3）
解析:（1）当时,
由得,,,,
（2）由对称性,设,,则,
所以,
因为,所以当时,的最小值为;
（3）取EF的中点G,连结OG,AD,OF,则,
则,从而,不妨记,,
在中即,
中即,
由①②解得,
由题直线的斜率不为0,可设直线的方程为:,由点A到直线的距离等于r,则,所以,从而直线的方程为.