2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二（下）期中数学试卷

一．选择题：

1．（5分）如果直线与直线平行，那么系数等于　　

A．6 B． C． D．

2．（5分）在等差数列中，，，则通项为　　

A． B． C． D．

3．（5分）在等比数列中，，，则的值为　　

A． B． C． D．3

4．（5分）设、是不同的直线，，，是不同的平面，下列四个命题中不正确的是　　

A．若，，则 

B．若，，，则 

C．若，，则 

D．若，，则平面，平行或相交

5．（5分）如图，矩形，下列结论中不正确的是　　

A． B． C． D．

6．（5分）抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是　　

A． B． C． D．

8．（5分）直线与圆交于，两点，则是原点）的面积为　　

A． B． C． D．

二．多选题：

9．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．平行于同一条直线的两个平面平行 

B．平行于同一个平面的两个平面平行 

C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 

D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

10．（5分）已知，、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列命题中不正确命题是　　

A．若，，则 

B．若，，则 

C．若上有两个点到的距离相等，则 

D．若，，则

11．（5分）设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是　　

A．若，则数列有最大项 

B．若数列有最大项，则 

C．若数列是递增数列，则对任意，均有 

D．若对任意，均有，则数列是递增数列

12．（5分）在中，点，，，给出满足的条件得到动点的轨迹方程，下列正确的是　　

A．若周长为10，则点的轨迹方程为 

B．若面积为10，则点的轨迹方程为 

C．若，则点的轨迹方程为 

D．以上都不对

三．填空题：

13．（5分）经过点且与直线平行的直线方程为 　　．

14．（5分）已知等比数列的各项都为正数，它的前三项依次为1，，，则数列的通项公式　　．

15．（5分）若椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为8，则椭圆的标准方程为 　　．

16．（5分）垂直于所在的平面，若，，，则到的距离为 　　．

四．解答题：

17．（10分）已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆经过点．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．

18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．

（1）求证：；

求证：平面．

19．（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求．

20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，，的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面．

21．（12分）数列中，，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求；

（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，对应的准线方程为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点，，且使线段恰好被直线平分？若存在，求的倾斜角的取值范围，若不存在，说明理由．

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题：

1．（5分）如果直线与直线平行，那么系数等于　　

A．6 B． C． D．

【分析】根据直线平行的条件，列出关于的方程并解之，即可得到实数的值．

【解答】解：与直线平行，

，解之得

故选：．

【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数之值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．

2．（5分）在等差数列中，，，则通项为　　

A． B． C． D．

【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程组求出和，即可得到通项公式．

【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，

则，①

，②

由①②，解得，，

所以通项公式为．

故选：．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式应用问题，考查了运算求解能力，是基础题．

3．（5分）在等比数列中，，，则的值为　　

A． B． C． D．3

【分析】由已知结合等比数列的性质，即可直接求解．

【解答】解：等比数列中，，，

由等比数列的性质得，，

与同号，，

．

故选：．

【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．

4．（5分）设、是不同的直线，，，是不同的平面，下列四个命题中不正确的是　　

A．若，，则 

B．若，，，则 

C．若，，则 

D．若，，则平面，平行或相交

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．

【解答】解：对于，若，则垂直于内的所有直线，垂直于平行的所有直线，又，，故正确；

对于，若，，则，又，，故正确；

对于，若，，则或与相交或与异面，故错误；

对于，若，，则平面，平行或相交，故正确．

故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

5．（5分）如图，矩形，下列结论中不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】由矩形，得，若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故不正确．

【解答】解：矩形，

，若，则平面，

又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，

故不正确，故不正确；

矩形，

，，

平面，，故正确；

矩形，

由三垂线定理得，故正确；

矩形，

由直线与平面垂直的性质得，故正确．

故选：．

【点评】本题考查直线与直线垂直的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三垂线定理和直线与平面垂直的性质的合理运用．

6．（5分）抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为　　

A． B． C． D．

【分析】由椭圆方程求得左焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，设出抛物线方程，再由焦点坐标求得，则抛物线方程可求．

【解答】解：由椭圆，得，，则，

则椭圆左焦点为，，

由题意可设抛物线方程为，

则，，

抛物线方程为，

故选：．

【点评】本题考查椭圆与抛物线的几何性质，是基础题．

7．（5分）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是　　

A． B． C． D．

【分析】由题设条件可知，．当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时有，在第三象限交点时有．显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为．由此能够求出的最大值．

【解答】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，

则由椭圆定义，

于是．

当不在直线与椭圆交点上时，、、三点构成三角形，于是，

而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，

在第三象限交点时有．

显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为

．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式，中档题．

8．（5分）直线与圆交于，两点，则是原点）的面积为　　

A． B． C． D．

【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．

【解答】解：圆的圆心为

到直线的距离

弦长

原点到直线的距离

的面积为

故选：．

【点评】本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．

二．多选题：

9．（5分）下列命题中，正确的是　　

A．平行于同一条直线的两个平面平行 

B．平行于同一个平面的两个平面平行 

C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 

D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

【分析】由直线与直线、直线与平面的位置关系判定；由平面与平面平行的判定判断；由两平面平行的性质判断；由平面与平面平行的性质判断．

【解答】解：对于，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故错误；

对于，由平面与平面平行的判定可得，平行于同一个平面的两个平面平行，故正确；

对于，一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故正确；

对于，由平面与平面平行的性质可知，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故正确．

故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

10．（5分）已知，、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列命题中不正确命题是　　

A．若，，则 

B．若，，则 

C．若上有两个点到的距离相等，则 

D．若，，则

【分析】选择结论中也可能在平面内，选项根据面面垂直的判定定理进行判定，选项当两点在平面两侧时不正确，选项举反例，如正方体共顶点的三个平面．

【解答】解：选项，若，，则，不正确，也可能在平面内；

选项，若，，则，根据面面垂直的判定定理可知正确；

选项，若上有两个点到的距离相等，则，不正确，当两点在平面两侧时不正确；

选项，若，，则，不正确，如正方体共顶点的三个平面；

故选：．

【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．

11．（5分）设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是　　

A．若，则数列有最大项 

B．若数列有最大项，则 

C．若数列是递增数列，则对任意，均有 

D．若对任意，均有，则数列是递增数列

【分析】由已知结合等差数列的求和公式及数列单调性的性质，判断各选项即可判断．

【解答】解：因为，

若，根据二次函数的性质可知，数列有最大项，正确，正确；

若数列是递增数列，则，

若，则，但不一定对任意，均有，错误；

若数列是递减数列，则，一定存在实数，

当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有，

因此数列是递增数列，所以，正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，考查了逻辑推理的能力，属于中档题．

12．（5分）在中，点，，，给出满足的条件得到动点的轨迹方程，下列正确的是　　

A．若周长为10，则点的轨迹方程为 

B．若面积为10，则点的轨迹方程为 

C．若，则点的轨迹方程为 

D．以上都不对

【分析】题目中给出了的两个顶点、的坐标，当给出周长时，可得到到、两点的距离和为定值，且定值大于的距离，可知的轨迹为椭圆除去轴上的两点；当的面积为定值10时，可得到轴的距离为定值5，从而可得的轨迹是两条直线；当中，时，可知到原点的距离为定值2，从而得到的轨迹是圆除去与轴的两个交点．

【解答】解：如图，在平面直角坐标系中

，．

若周长为10，则，

的轨迹为以、为焦点，长轴长为6的椭圆，方程为：，故正确；

若面积为10，设到所在直线距离为，则，即，．

，．的轨迹方程为：，故正确；

若，则，即，，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆、圆的定义，解答的关键是对圆锥曲线定义的理解，属中档题．

三．填空题：

13．（5分）经过点且与直线平行的直线方程为 　　．

【分析】先根据所求直线与直线平行可设为，然后将点代入可求出的值，最后将的值代入即可得到答案．

【解答】解：设与直线平行的直线方程为，

然后将点代入可得到

故过点且与直线平行的直线方程为

故答案为：

【点评】本题主要考查直线的平行问题，当直线的斜率存在时两直线互相平行可斜率相等、当两直线的斜率都不存在时也平行．

14．（5分）已知等比数列的各项都为正数，它的前三项依次为1，，，则数列的通项公式　　．

【分析】因为此等比数列的前三项依次为1，，，根据等比数列的性质可得，第2项的平方等于第1第3项之积，列出关于的方程，由各项都大于0，求出满足题意的方程的解即可得到的值，然后把的值代入得到前3项的值，根据前3项的值分别求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式．

【解答】解：由1，，为等比数列的前3项，得到，

化简得：，由得到，所以解得，

所以等比数列的前3项依次为：1，3，9，则，，

则数列的通项公式．

故答案为：

【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．

15．（5分）若椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为8，则椭圆的标准方程为 　　．

【分析】，焦点到对应准线的距离，联立方程组解出，．

【解答】解：．焦点到对应准线的距离，，，，

故答案为：．

【点评】求椭圆的标准方程，关键根据题目条件，列出关于，的方程组去解．本题用到了椭圆的基本几何性质．

16．（5分）垂直于所在的平面，若，，，则到的距离为 　　．

【分析】过作的垂线交于，连接，证明垂直，可得即是到的距离．

【解答】解：如图，过作的垂线交于，

，

为的中点，，

可得，

垂直于所在的平面，平面，

可得，，

，，

是直角三角形，

，，平面，

平面，

，

那么即是到的距离，

由，，是直角三角形，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了点线面的位置关系和证明，点线距离的求法，属于基础题．

四．解答题：

17．（10分）已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆经过点．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．

【分析】（Ⅰ）抛物线的焦点为即，再利用椭圆定义，求出，得出，可求得方程

（Ⅱ）双曲线中由（Ⅰ），，可求得方程

【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点右焦点，左焦点，

所求椭圆方程为

（Ⅱ），则所求双曲线的方程为

【点评】本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．

18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．

（1）求证：；

求证：平面．

【分析】（1）利用为直三棱柱，证明，利用，说明，证明平面，推出．

（2）设，说明为的中点，说明，然后证明平面．

【解答】解：（1）为直三棱柱，

平面，平面，

（2分）

，，，

，（4分）

又，

平面，又平面，

（7分）

（2）设，为平行四边形，

为的中点（10分）

又为中点，（12分）

平面，平面，

平面（14分）

【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．

19．（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求．

【分析】由已知条件列出与的方程组求出与，从而求出，进而推出，由等差数列的定义可得数列为等差数列，故利用等差数列的求和公式进行求解．

【解答】解：设等差数列的公差为，则

．

，，

即

解得，．

，

，

数列是等差数列，其首项为，公差为，

．

【点评】本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，是高考考查的重点．

20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，，的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面．

【分析】要证明平面，即证明平面中存在一条直线与平行，连接交于，则符合要求，证明后，利用线面平行的判定定理，即可得到答案．

若要证明平面，我们可以证明平面中有两条相交直线与垂直，根据已知中直三棱柱中，，，，分别是，，的中点，且，结合线面垂直的判定定理，即可得到答案．

【解答】证明：（Ⅰ）连接交于，连接，．

，分别是，的中点，

且，四边形是矩形．

是的中点（3分）

又是的中点，

（5分）

则由平面，

平面，

平面，

（Ⅱ）在直三棱柱中，底面，

．

又，

即，

面（9分）

而面，

（12分）

又，

平面（14分）

【点评】本题考查的知识点是直线 与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握判定定理的使用方法和步骤是解答本题的关键．

21．（12分）数列中，，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求；

（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由条件，可得，从而为等差数列，利用，可求公差，从而可求数列的通项公式；

（2）利用则，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；

先裂项求和，再根据对任意成立，得对任意成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数．

【解答】解：（1）由题意，，

为等差数列，设公差为，

由题意得，

（2）若则，时，

时，

故

（3）

若对任意成立，即对任意成立，

的最小值是，，的最大整数值是7．

即存在最大整数，使对任意，均有

【点评】本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．

22．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，对应的准线方程为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点，，且使线段恰好被直线平分？若存在，求的倾斜角的取值范围，若不存在，说明理由．

【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，从而求出，，，从而求椭圆的方程；

（Ⅱ）设存在直线．故椭圆交于，，线段中点为，；从而求的倾斜角的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为；

由题意．

椭圆方程为

（Ⅱ）设存在直线．故椭圆交于，，线段中点为，．

由

则判别式△

得①

又．代入①

解得，

．

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的关系应用，属于基础题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/12/1 16:07:32；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394