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    2022年中考数学总复习第23讲《直线与圆的位置关系》讲解(含答案) 学案
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    2022年中考数学总复习第23讲《直线与圆的位置关系》讲解(含答案) 学案

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    这是一份2022年中考数学总复习第23讲《直线与圆的位置关系》讲解(含答案) 学案,共12页。学案主要包含了解后感悟,探索研究题,方法与对策,考点概要,考题体验,知识引擎,例题精析,变式拓展等内容,欢迎下载使用。

    23讲 直线与圆的位置关系

    1直线和圆的位置关系:

    考试内容

    考试

    要求

    直线和圆

    的位置

    图形(rO的半径d是圆心O到直线l的距离)

    公共点个数

    圆心到直线的距离

    d与半径r的关系

    公共点名称

    直线名称

    a

    相交

    2

    d<r

    交点

    割线

    相切

    1

    dr

    切点

    切线

    相离

    0

    d>r

    2.圆的切线

    考试内容

    考试

    要求

    切线的

    判定 

    (1)与圆有____________________公共点的直线是圆的切线(定义法).

    b

    c

    (2)到圆心的距离等于____________________的直线是圆的切线.

    (3)半径外端点且                    半径的直线是圆的切线.

    切线的

    性质 

    (1)切线与圆只有____________________公共点.

    (2)切线到圆心的距离等于圆的____________________.

    (3)切线垂直于经过切点的                  

    切线长

    过圆外一点作圆的切线这点和                       之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

    切线长

    定理 

    从圆外一点可以引圆的____________________条切线它们的切线长____________________这一点和圆心的连线____________________两条切线的夹角.

    3.三角形与圆

    考试内容

    考试

    要求

    确定圆

    的条件

    不在               直线的三个点确定一个圆.

    b

    三角形

    的外心

    经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,               的圆心叫做三角形的              这个三角形叫做这个圆的内接三角形;外心到三角形                     的距离相等.

    a

    b

    三角形

    的内心

    与三角形各边都相切的圆叫三角形的                  内切圆的圆心叫做三角形的               这个三角形叫圆的外切三角形内心到三角形                     的距离相等.

    拓展

    直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法:

    abRtABC的两条直角边c为斜边则:直角三角形的外接圆半径R直角三角形的内切圆半径r.

    考试内容

    考试

    要求

    基本

    思想

    分类讨论思想:圆是一种极为重要的几何图形由于图形位置、形状及大小的不确定经常出现多结论情况解题时漏解出错时有发生解决这类问题一定要仔细分析缜密思考分类讨论逐一解答.

    (1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论;

    (2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论;

    (3)由于弦的位置不确定而分类讨论;

    (4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论.

    c

    基本

    方法

    判断一直线是否为圆的切线的方法:连半径证垂直;作垂线,证半径.

    1衢州)如图ABO的直径CO上的点过点CO的切线交AB的延长线于点EA30°sinE的值为(  )

    A.                    B.               C.               D.

    2湖州)如图以点O为圆心的两个圆中大圆的弦AB切小圆于点COA交小圆于点DOD2tanOABAB的长是(  )

    A4                  B2             C8                D4

    3嘉兴)如图ABCAB5BC3AC4以点C为圆心的圆与AB相切C的半径为(  )

    A2.3                  B2.4            C2.5             D2.6

    4杭州)如图ATO于点AABO的直径.若ABT40°ATB____________________.

     

    【问题】(1)如图,在平面直角坐标系xOy半径为2P的圆心P的坐标为(30)P沿x轴正方向平移使Py轴相切则平移的距离为________

    (2)通过(1)的解答你能联想直线与圆相切的哪些知识.

          

     

     

     

     

     

    【归纳】通过开放式问题归纳、疏理直线与圆的位置关系以及切线的判定和性质.

    类型一 直线与圆位置关系的判断

     无锡模拟)如图平面直角坐标系中已知P(68)MOP中点P为圆心6为半径作P则下列判断正确的有________

    OP外;MP上;x轴与P相离;y轴与P相切.

    【解后感悟】直线和圆的位置关系:设O的半径为r圆心O到直线l的距离为d则直线lO相交dr;直线lO相切dr;直线lO相离dr.

    1(1)张家界)如图O30°COB上一点OC6以点C为圆心半径为3的圆与OA的位置关系是(  )

    A相离              B.相交        C相切      D.以上三种情况均有可能

    (2)镇江模拟)已知O的半径r3设圆心O到一条直线的距离为d圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m给出下列命题:

    d5m0d5m11d5m3d1m2d1m4.

    其中正确命题的个数是(  )

    A1                  B2            C3           D5

    类型二 圆的切线性质的运用

     )如图已知三角形ABC的边ABO的切线切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点DCC作直线CEABAB的延长线于点E.

    (1)求证:CB平分ACE

    (2)BE3CE4O的半径.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【解后感悟】本题运用了切线的性质勾股定理相似三角形的判定和性质圆周角定理平行线的判定和性质连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法正确的作出辅助线是解题关键.

    2(1)泸州)如图PAPB分别与O相切于AB两点C65°P的度数为(  )

    A65°  B130°  C50°  D100°

    (2)随州)如图1PTO1相切于点TPABO1相交于AB两点可证明PTA∽△PBT,从而有PT2PA·PB.请应用以上结论解决下列问题:如图2PABPCD分别与O2相交于ABCD四点已知PA2PB7PC3CD        .

    类型三 圆的切线判定的运用

     (1)沈阳模拟)如图ABO的直径BCO于点DDEAC于点E要使DEO的切线需添加的条件是________________(不添加其他字母和线条)

    (2)      杭州市西湖区模拟)如图ABCABACAB为直径的OACEBCDDFACF.给出以下五个结论:BDDCCFEF④∠A2FDCDFO的切线.其中正确结论的序号是________

    【解后感悟】(1)解决本类题目可以是将最终的结论当做条件,而答案就是使得条件成立的结论;(2)解答此题的关键是两个基本图形的公共部分(即点DE和直径AB)的运用;在涉及切线问题时常连结过切点的半径要想证明一条直线是圆的切线常常需要作辅助线.如果已知直线过圆上某一点则作出过这一点的半径证明直线垂直于半径;如果直线与圆的公共点没有确定则应过圆心作直线的垂线证明圆心到直线的距离等于半径.

    3黄石模拟)已知:如图,在ABCABACAB为直径的OBC于点D过点DDEAC于点E.

    (1)请说明DEO的切线;

    (2)B30°AB8DE的长.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    类型四 三角形的内切圆问题

     (1)如图DABC的内切圆A40°BDC的度数是________

    (2)ABC已知C90°BC3AC4则它的内切圆半径是________

    【解后感悟】求证三角形内切圆问题时常用到面积法:SABC(abc)r其中rABC的内切圆半径abcABC的三条边的长度;

    已知直角三角形的三边长为abc(其中c为斜边)则其内切圆半径r

    解三角形与圆相切问题时常利用切线长定理及勾股定理等列方程()来求半径的长.

    4(1)如图RtABCC90°B60°内切圆O与边ABBCCA分别相切于点DEFDEF(  )

    A55°                 B60°             C75°             D80°

    (2)滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2则其内切圆半径的长为(  )

    A.                    B22           C2           D.2

    (3)遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°得正方形AB1C1D1B1C1CD于点EAB则四边形AB1ED的内切圆半径为(  )

    A.                B.            C.            D.

    类型五 圆的综合性问题

     如图已知ABO的直径BCAB连结OCADOC直线CDBA的延长线于点E.

    (1)求证:直线CDO的切线;

    (2)DE2BCADOC的值.

     

     

     

    【解后感悟】此题运用切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质解题.注意掌握辅助线的作法数形结合思想的应用.

    5(1)永新模拟)如图以点P(20)为圆心为半径作圆M(ab)P上的一点的最大值是____________________

    (2)      衢州)如图在直角坐标系中A的圆心A的坐标为(10)半径为1P为直线y=-x3上的动点过点PA的切线切点为Q则切线长PQ的最小值是____________________

    【探索研究题】

    河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为整圆”.如图直线lykx4x轴、y轴分别交于ABOAB30°Px轴上Pl相切P在线段OA上运动时使得P成为整圆的点P的个数是(  )

    A6                   B8              C10             D12

    【方法与对策】通过问题中信息解整圆的概念,构建半径与点P横坐标之间的关系建模为二元一次方程整数解的问题.这类定义型阅读理解题是中考热点题型.

    【直线与圆的位置关系的陷阱】

    已知O的半径为2直线l上有一点P满足PO2则直线lO的位置关系是(  )

    A相切               B.相离           C相离或相切      D.相切或相交

    参考答案
    23讲 直线与圆的位置关系

    【考点概要】

    2唯一 半径 垂直于 一个 半径 半径 切点 两 相等 平分 3.同一 外接圆 外心 三个顶点  内切圆 内心 三边

    【考题体验】

    1A 2.C 3.B 4.50°

    【知识引擎】

    【解析】(1)P位于y轴的左侧且与y轴相切时平移的距离为1;当P位于y轴的右侧且与y轴相切时平移的距离为5.平移的距离为15.  (2)直线与圆的位置关系;切线的判定和性质.

    【例题精析】

    1 ①③④ 

    2  (1)证明:如图1连结OBABO的切线OBABCEABOBCE∴∠13OBOC∴∠12∴∠23CB平分ACE; (2)如图2连结BDCEAB∴∠E90°BC5CDO的直径∴∠DBC90°∴∠EDBC∴△DBC∽△BECBC2CD·CECDOCCD∴⊙O的半径=. 

           

    3 (1)DBC中点(答案不唯一)  (2)①②④⑤ 4 (1)110°  (2)1 

    5 (1)证明:连结DO.ADOC∴∠DAOCOBADOCOD.OAOD∴∠DAOADO∴∠CODCOB.CODCOB∴△COD≌△COB(SAS)∴∠CDOCBO90°.DOCDO的切线. (2)∵△COD≌△COB.CDCB.DE2BCED2CD.ADOC∴△EDA∽△ECO..

     

    【变式拓展】

    1(1)C (2)C 

    2.(1)C (2) 

    3.(1)连结ODODOB∴∠BODB.ABAC∴∠BC.∴∠ODBC.ODAC.∴∠ODEDEC90°.DEO的切线. (2)连结ADABO的直径∴∠ADB90°.BDAB·cosB8×4.ABACCDBD4CB30°.DECD2. 

    1.       (1)C (2)B (3)B 

    5(1) (2)2

    【热点题型】

     

    【分析与解】直线lykx4x轴、y轴分别交于ABB(04)OB4RtAOBOAB30°OAOB×412∵⊙Pl相切设切点为M连结PMPMABPMPAP(x0)PA12x∴⊙P的半径PMPA6xx为整数PM为整数x可以取02468106个数使得P成为整圆的点P个数是6.故选A.

    【错误警示】OP垂直于直线l即圆心O到直线l距离d2rO与直线l相切;当OP不垂直于直线l即圆心O到直线l的距离d2rO与直线l相交故直线lO的位置关系是相切或相交.故选D.

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