2022届高考一轮复习第四章导数专练_讨论单调性（Word含答案）

第四章导数专练_讨论单调性

1．已知函数，．若，求函数的单调区间；

解：，

，

当时，令，得：；令，得；

当时，令，得：或，

令，得；

因此，当时，在递增，在递减；

当时，在，递减；在递增．

2．已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

解：，（1分）

当时，在上恒成立，

在上是递增的，（2分）

当时，令，则，令，则，

在上递减，在上递增，（4分）

综上所述，当时，是上的增函数．

当时，在是减函数，在上是增函数．（5分）

3．已知函数．若在上单调，求的取值范围；

解：的定义域是，故在上有定义，

，

当时，，当时，，故在上单调递减，满足题意；

当时，令，得或，

由题在上单调，只需，解得或，

综上，的取值范围为，，．

4．已知函数．

（1）讨论的单调性；

解：的定义域是，

，

当时，在上恒成立，故在上单调递增；分

当时，令，得，在，上有，在，上有，

在，上是减函数，在，上是增函数分

5．已知函数．讨论函数的单调性；

解：函数的定义域是，

由，

得，

由于，则，即在区间上，，递减，

当时，，，的变化如下：

当时，，即在区间，上，，递减，

综上：当时，在递减，在区间上递增，在，递减，

当时，函数在区间上单调递减．

6．已知函数．当时，求函数的单调区间；

解：（1）函数的定义域为，

当时，，则，

记，则，

显然在上单调递减，且（1），

所以当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以（1），即恒成立，

所以函数在上单调递减，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．

7．已知函数．讨论函数的单调性；

解：的定义域是，

，

对于，

①△即时，

在恒成立，故在递减，

②△时，时，令，

解得：（舍，，

故时，，，时，，

故在递增，在，递减，

时，令，

解得：，，

故时，，，时，，

，时，，

故在递减，在，递增，在，递减；

综上：时，在递减，

时，在递增，在，递减，

时，在递减，在，递增，在，递减．

8．已知，其中为实数．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论的单调性．

解：（1）若，则，

，

设曲线在处的切线方程的斜率为，

则，又（1），

所以，在处的切线方程为：，即；

（2），

①当时，，，，，

故在上单调递减，在上单调递增；

同理可得，

②当时，在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，在上单调递增；

④当时，在，上单调递增，在上单调递减；

综上所述，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减．

9．已知函数．若在上单调递增，求的取值范围；

解：，

因为在上单调递增，

所以恒成立，所以，

令，则，

令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，

所以，即的取值范围是，．

10．已知函数，．当时，求证：在上单调递增；

解：证明：当时，，，

则，又在上单调递增，且，且（1），

，，使得，

当时，，当，时，，

在上单调递减，在，上单调递增，

，

，

，，

，

在上单调递增；